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Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P (- 2 | 19)$ und $Q (4 | - 5)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y = 0,5 x^{2} + b x + c$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b, c \in ℝ$ .

Die Gerade g besitzt die Gleichung $y = 0,5 x - 2$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y = 0,5 x^{2} - 5 x + 7$ besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
Einsetzen von P in p
Der Punkt P besteht aus $x = - 2$ und $y = 19$ .
$I : 19 = 0,5 \cdot (- 2)^{2} + b \cdot (- 2) + c$
Verrechne soweit möglich und bringe immer Zahl vor Buchstabe. Dadurch wird es später übersichtlicher!
$I : 19 = 0,5 \cdot 4 - 2 b + c$
$I : 19 = 2 - 2 b + c$
Bringe die 2 auf die linke Seite, damit du so weit wie möglich zusammen gefasst hast.
$I : 17 = - 2 b + c$
Einsetzen von $Q$ in $p$
Der Punkt $Q$ besteht aus $x = 4$ und $y = - 5$ .
$I I : - 5 = 0,5 \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c$
Verrechne erneut soweit wie möglich und bringe Zahl vor Buchstabe.
$I I : - 5 = 0,5 \cdot 16 + 4 b + c$
$I I : - 5 = 8 + 4 b + c$
Bringe - genau wie oben - die 8 auf die andere Seite.
$I I : - 13 = 4 b + c$
Löse das Gleichungssystem
Am einfachsten ist es hier, wenn du das System mit dem Additionsverfahren löst, da $c$ bei beiden Gleichungen mit dem gleichen Koeffizienten (nämlich 1) vorkommt.
Schreibe zunächst die beiden Gleichungen untereinander:
$I : 17 = - 2 b + c$ $I I : - 13 = 4 b + c$
Damit beim Addieren von $I$ und $I I$ das $c$ wegfällt, multiplizierst du die zweite Gleichung mit $- 1$ . Alle Vorzeichen drehen sich um:
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Du bestimmst die Funktionsgleichung der Parabel p, indem du die beiden Punkte $P (- 2 | 19)$ und $Q (4 | - 5)$ in die vorgegebene Form $y = 0,5 x^{2} + b x + c$ einsetzt. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen kannst.
Zeichnen Sie die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x \in [0; 10]$ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 c m; 0 \leq x \leq 10; - 6 \leq y \leq 8$
Punkte $A_{n} (x | 0,5 x^{2} - 5 x + 7)$ auf der Parabel p und Punkte $C_{n} (x | 0,5 x - 2)$ auf der Gerade g besitzen dieselbe Abszisse x. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ , wobei gilt: $B_{n} D_{n} = 2 L E$ und $y_{C n} > y_{A n}$ .
Zeichnen Sie die Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

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Einsetzen von P in p

Einsetzen von Q in p

Löse das Gleichungssystem

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Einsetzen von $Q$ in $p$