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Aufgaben-Baustelle

In diesem Ordner werden Aufgaben untergebracht, fĂŒr die es im Augenblick keinen geeigneten Ordner gibt, und die selbst einer Bearbeitung bedĂŒrfen, problematisch sind, keine Lösung haben oder falsch angelegt sind.

  1. 1

    Terme gliedern

    1. Von welcher Art (Summe, Potenz oder 
) ist der Gesamtterm:  x(x−2)x\left(x-2\right)

    2. Von welcher Art ist der Gesamtterm:  c1⋅m⋅(T1−T0)+c2⋅M⋅(T0−T2)c_1\cdot m\cdot\left(T_1-T_0\right)+c_2\cdot M\cdot\left(T_0-T_2\right)

    3. Gliedere den Term:  0,5⋅(m1+m2)⋅v2−Eη0{,}5\cdot\left(m_1+m_2\right)\cdot v^2-\frac E\eta

  2. 2

    Terme auswerten.

    1. Berechne T(x)=x4(5−x)T\left(x\right)=x^4\left(5-x\right) fĂŒr x=−2x=-2

      Wie wĂŒrde ein gleichwertiger Term ohne Potenzschreibweise aussehen?

    2. Erstelle die Wertetabelle fĂŒr T1(x)=3x2−6x6x−12T_1\left(x\right)=\frac{3x^2-6x}{6x-12} und T2(x)=x2T_2\left(x\right)=\frac x2 mit x=0,1,2,3,4,5x=0{,}1,2{,}3,4{,}5.

      BegrĂŒnde, warum bei T1(x)T_1\left(x\right) das Einsetzen von x=2  x=2\; nicht möglich ist, also dieser Wert nicht zum Definitionsbereich des Terms gehört.

    3. ErgĂ€nze die Wertetabelle fĂŒr T(x)=12x−1T\left(x\right)=\frac1{2x-1}

      Beschreibe in Worten, wie der Term aussieht.

  3. 3

    Die Anzahl der Ladestationen fĂŒr Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nĂ€chsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man nĂ€herungsweise durch die Funktion f:y=5000⋅1,75xf:y=5000\cdot 1{,}75^x beschreiben, wobei x die Anzahl der Jahre und y die Anzahl der Ladestationen darstellt.

    1. ErgÀnzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein. (2 P)

      x01234  5000⋅1,75x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\quad 0\quad&\quad1\quad&\quad 2\quad&\quad3\quad&\quad4\;\quad\\\hline5000\cdot 1{,}75^x &&&&&\\\hline\end{array}

    2. Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprĂŒngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um 600% zugenommen haben wird. (2 P)

    3. Geben Sie an, welche jÀhrliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde. (2 P)


  4. 4

    A 2.0

    Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Viereck ABCD.

    Es gilt: AB‟=7,8 cm\overline{AB}= 7{,}8 \text{ cm}; AD‟=5,2 cm\overline{AD}=5{,}2 \text{ cm}; BC‟=8,6 cm\overline{BC}= 8{,}6 \text{ cm};

    ∹BAD=90∘\sphericalangle BAD=90^{\circ} ; ∹CBA=70∘\sphericalangle CBA=70^{\circ}.

    Viereck

    Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    A 2.1 Berechnen Sie die LÀnge der Diagonalen [BD][BD] und den FlÀcheninhalt A des Dreiecks BCD.

    [Ergebnisse: BD‟=9,4 cm\overline{BD}=9{,}4\text{ cm}; A=23,9 cm2A=23{,}9 \text{ cm}^2]

  5. 5

    Das Lösen eines LGS nach dieser Methode benötigt bei nn Unbekannten etwa n3/3n^3/3 Operationen (Additionen und Multiplikationen). Angenommen, unser Rechner schafft 100100 Millionen Operationen pro Sekunde - wie lange braucht er dann fĂŒr ein LGS mit 1010, mit 10001000, mit 100 000100\ 000 Unbekannten?

  6. 6

    Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.

    1. Aus einer (ausgedachten) Studie geht hervor, dass deutschlandweit eine aus drei Personen im hohen Alter eine Brille benötigen wird. In einem Altenheim leben 20 Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tragen genau 5 von ihnen eine Brille?

    2. Erneut ist aus einer (ausgedachten) Studie bekannt, dass eine aus drei Personen eine Brille trÀgt. Auf einem Stockwerk des Altenheims leben 5 Personen in Zimmern, die mit den Nummern 1-5 versehen sind.Mit welcher Wahrscheinlichkeit leben in den Zimmern 1 und 4 BrillentrÀger und in sonst keinem?

    3. Von einem anderen Altenheim ist bekannt, dass 40 der 50 Einwohner BrillentrÀger sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle 10 Bewohner des ersten Stockwerks BrillentrÀger?

    4. Aus einer Tanzgruppe sind vier der sechs TÀnzer BrillentrÀger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die ersten beiden TÀnzer, die den Raum betreten, BrillentrÀger?

  7. 7

    Das Serlo.org Nachhaltigkeits-Team möchte den Garten verschönern und pflanzt deshalb rote und gelbe Tulpen. Die Blumenzwiebeln sehen alle gleich aus, aber auf der Packung steht, dass rote Tulpen viermal hĂ€ufiger erblĂŒhen als gelbe.

    Wie viele Blumen muss das Team mindestens Pflanzen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine gelbe Tulpe zu pflanzen.

  8. 8

    Testaufgabe


  9. 9

    Was ist das coolste Tier?

  10. 10

    Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.

    1. Aus einer (ausgedachten) Studie geht hervor, dass deutschlandweit aus drei Mathematikern einer nicht bis drei ZÀhlen kann. In einem Raum befinden sich 3 Mathematiker. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Autor dieser Aufgabe nicht bis 3 zÀhlen?

    2. Erneut ist aus einer (diesmal nicht ausgedachten) Studie bekannt, dass viele Insektenkundler (Entomologen) Angst vor Spinnen haben, weil diese keine Insekten sind.

  11. 11

    Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl BB der Weltbevölkerung in AbhĂ€ngigkeit von der Zeit tt (in Jahren) nĂ€herungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. (Einheiten werden nicht mitgefĂŒhrt.)

    B(t)=B0⋅er⋅tB\left(t\right)=B_0\cdot e^{r\cdot t} , wobei gilt:  t ∈Rt\ \in\mathbb{R}  und  t≄0\mathrm t\geq0  sowie  r∈Rr\in\mathbb{R}  und  r>0\mathrm r>0 .

    Dabei gibt  B0{\mathrm B}_0  die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt  t=0\mathrm t=0  am 1.1.1800 an und rr ist ein Maß fĂŒr die Wachstumsrate der Bevölkerung. Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung der Bevölkerung etwa 3,73{,}7 Milliarden Menschen, und am 1.1.2050 werden etwa 9,59{,}5 Milliarden Menschen weltweit erwartet.

    1. Zeigen Sie, dass fĂŒr die Werte  B0{\mathrm B}_0  und  r\mathrm r  gilt:  B0≈0.9⋅109{\mathrm B}_0\approx0.9\cdot10^9  und  r≈9,43⋅10−3r \approx 9{,}43\cdot 10^{-3} .

    2. Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen 1.1.1800 und 1.1.2050 mit einem geeigneten Maßstab grafisch dar.

    3. Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu einem beliebigen Zeitpunkt t das Zeitintervall  Δt\Delta\mathrm t , fĂŒr das folgende Bedingung gilt:  B(t+Δt)=2⋅B(t)B(t+\Delta t)=2\cdot B(t) Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall  Δt\Delta\mathrm t  unabhĂ€ngig vom Zeitpunkt tt ist, und berechnen Sie  Δt\Delta\mathrm t  auf eine Nachkommastelle gerundet.

    4. Die natĂŒrliche TragfĂ€higkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt tTG{\mathrm t}_\mathrm{TG}, an dem die Maßzahl der zur VerfĂŒgung stehenden Nahrungsmittel

      N(t)=2,5⋅107⋅t+2,0⋅109N(t)=2{,}5\cdot 10^7\cdot t+2{,}0\cdot 10^9  mit  t∈R\mathrm t\in\mathbb{R}  und  t≄0\mathrm t\geq0  (tt in Jahren) nicht mehr grĂ¶ĂŸer ist als die Zahl der Weltbevölkerung B(t)\mathrm B(\mathrm t). (Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.) Bestimmen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens den Zeitpunkt  tTG{\mathrm t}_\mathrm{TG}. Benutzen Sie als Startwert t0=210{\mathrm t}_0=210, fĂŒhren Sie nur einen NĂ€herungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.

  12. 12

    Die Punkte A:(0|0) B:(20|0) C:(0|10) ergeben ein Dreieck. Berechne den FlÀcheninhalt in quadratdezimeter! Ein Schritt im Koordinatensystem ist zwei cm.

    Bild
  13. 13

    Die Parabel pp verlĂ€uft durch die Punkte P(−2∣19)P(-2|19) und Q(4∣−5)Q(4|-5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+cy=0{,}5x^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R} und b,c∈Rb,c \in \mathbb{R}.

    Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x−2y=0{,}5x-2 mit G=R×R\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte fĂŒr bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x2−5x+7y= 0{,}5x^2-5x+7 besitzt.

    2. Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg fĂŒr x∈[0;10]x\in [0;10] in ein Koordinatensystem. FĂŒr die Zeichnung: LĂ€ngeneinheit 1 cm;0≀x≀10;−6≀y≀81\ cm;0\le x\le10;-6\le y\le8

    3. Punkte An(x∣0,5x2−5x+7)A_n(x|0{,}5x^2-5x+7) auf der Parabel p und Punkte Cn(x∣0,5x−2)C_n(x|0{,}5x-2) auf der Gerade g besitzen dieselbe Abszisse x. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten BnB_n und DnD_n Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n, wobei gilt: BnDn‟=2 LE\overline{B_nD_n}=2\ LE und yCn>yAny_{Cn} > y_{An}.

      Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 fĂŒr x=3x=3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 fĂŒr x=6x=6 in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

  14. 14

    Es werden zwei Versuche zur AbkĂŒhlung von heißem Wasser durchgefĂŒhrt. Der Temperaturverlauf wĂ€hrend dieser Versuche lĂ€sst sich jeweils nĂ€herungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form y=(yA−yU)⋅0,9x+yUy=(y_A-y_U)\cdot 0{,}9^x+y_U (G=R+×R+,yA∈R+,yU∈R+)(\mathbb{G}=\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}, y_A \in \mathbb{R}^{+}, y_U \in \mathbb{R}^{+}) beschreiben. Dabei ist nach x Minuten die Temperatur des Wassers auf y∘Cy {}^{\circ}C gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers betrĂ€gt yA∘Cy_A {}^{\circ}C und die Umgebungstemperatur yU∘Cy_U {}^{\circ}C. Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    1. Im ersten Versuch kĂŒhlt 95∘C95^{\circ}C heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von 20∘C20^{\circ}C ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf 60∘C60^{\circ}C gesunken ist. (2 P)

    2. Im zweiten Versuch kĂŒhlt 72 ∘C72\ ^{\circ}C heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von 18∘C18^{\circ}C fĂŒr 3 Minuten ab. Anschließend wird der AbkĂŒhlvorgang in einem zweiten Raum fĂŒr weitere 8 Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von 39∘C39^{\circ}C besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum. (3 P)


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