Trage zunächst die gegebenen Daten ein.

Die Zeilen- bzw Spaltenbeschrifutng ist C für Camping und F für Ferien.

Außerdem direkt gegeben ist $P\left(C\right)=15\mathrm{\%}P\backslash left(C\backslash right)=15\backslash \%$, die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person im Park campt und $P\left(F\right)=60\mathrm{\%}P\backslash left(F\backslash right)=60\backslash \%$ für die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person den Park in den Ferien besucht:

Trickreicher sind die $20\mathrm{\%}20\backslash \%$. Diese Zahl ist nämlich nicht als $P(C\cap F)P\backslash left(C\backslash cap\; F\backslash right)$ in das obere linke Feld einzutragen (was man bereits daran merkt, dass $20\mathrm{\%}>15\mathrm{\%}20\backslash \%>15\backslash \%$, was nicht sein kann!).

Es handelt sich bei dieser Wahrscheinlichkeit um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_C\left(F\right)P\_C\backslash left(F\backslash right)$, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die in den Ferien kommt, dann auch campt.

Nur $20\mathrm{\%}20\backslash \%$ von den $60\mathrm{\%}60\backslash \%$ campen, also berechnest du: $P(F\cap C)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,12}P\backslash left(F\backslash cap\; C\backslash right)=0\{,\}2\backslash cdot0\{,\}6=0\{,\}12$

Jetzt kannst du die Vierfeldertafel vervollständigen:

Die gefragte Wahrscheinlichkeit $P(\bar{F}\cap C)P\backslash left(\backslash overline\{F\}\backslash cap\; C\backslash right)$ ist $3\mathrm{\%}3\backslash \%$

a) Campingplatz zu klein

Es sind $n=200n=200$ Familien vor Ort, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\mathrm{0,25}p=0\{,\}25$ übernachten. Der Campingplatz reicht nicht aus, wenn mehr als 50 Familien übernachten.

Wenn du mit $XX$ die Anzahl der Familien bezeichnest, die über Nacht bleiben möchten, dann kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Campingplatz nicht ausreicht, durch die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X>50)P\backslash left(X>50\backslash right)$ berechnen.

Vor allem, wenn du das Tafelwerk benutzt, kannst du nur kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X\le k)P\backslash left(X\backslash le\; k\backslash right)$ nachschauen, also für höchstens k Treffer.

Schreibe deshalb mithilfe des Gegenereignisses um und schlage anschließend im Tafelwerk nach:

In $\mathrm{46,21}\mathrm{\%}46\{,\}21\backslash \%$ der Fälle reicht der Campingplatz nicht aus.

b) Wahrscheinlichkeit für Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung

Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, lassen sich Erwartungswert und Standardabweichung sehr einfach berechnen:

Erwartungswert

$\mu =n\cdot p=200\cdot \mathrm{0,25}=50\backslash mu=n\backslash cdot\; p=200\backslash cdot0\{,\}25=50$ (Es sind im Durchschnitt 50 Übernachtungen zu erwarten.

Standardabweichung

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{200\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}}\approx \mathrm{6,12}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\backslash left(1-p\backslash right)\}=\backslash sqrt\{200\backslash cdot0\{,\}25\backslash cdot0\{,\}75\}\backslash approx6\{,\}12$

"Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert"

Die gesuchten Werte kannst du berechnen durch

$\mu -\sigma =50-\mathrm{6,12}=\mathrm{43,88}\backslash mu-\backslash sigma=50-6\{,\}12=43\{,\}88$

$\mu +\sigma =50+\mathrm{6,12}=\mathrm{56,12}\backslash mu+\backslash sigma=50+6\{,\}12=56\{,\}12$

Zugehörige Wahrscheinlichkeit

Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit .

Erneut musst du diesen Term umschreiben, um die Werte nachschlagen zu können:

In 71,17% der Fälle nimmt die Zufallsgröße einen Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert an.