Teil 2, Stochastik 1 - lernen mit Serlo!

Dem Freizeitpark ist ein Campingplatz angegliedert, auf dem die Parkbesucher übernachten können. Nach Angaben des Betreibers nutzen 15% aller Parkbesucher diese Übernachtungsmöglichkeit (C). 60% aller Besucher kommen in den Schulferien (F) in den Freizeitpark. Von diesen nutzen 20% das Übernachtungsangebot

Ermitteln Sie unter Verwendung einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Parkbesucher den Park außerhalb der Ferien besucht und die angegliederte Übernachtungsmöglichkeit in Anspruch nimmt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Trage zunächst die gegebenen Daten ein.
Die Zeilen- bzw Spaltenbeschrifutng ist C für Camping und F für Ferien.
Außerdem direkt gegeben ist $P\left(C\right)=15\%$ , die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person im Park campt und $P\left(F\right)=60\%$ für die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person den Park in den Ferien besucht:
$C$
$\overline{C}$
$F$
$60\%$
$\overline{F}$
$15\%$
Trickreicher sind die $20\%$ . Diese Zahl ist nämlich nicht als $P\left(C\cap F\right)$ in das obere linke Feld einzutragen (was man bereits daran merkt, dass $20\%>15\%$ , was nicht sein kann!).
Es handelt sich bei dieser Wahrscheinlichkeit um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_C\left(F\right)$ , also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die in den Ferien kommt, dann auch campt.
Nur $20\%$ von den $60\%$ campen, also berechnest du: $P\left(F\cap C\right)=0{,}2\cdot0{,}6=0{,}12$
Jetzt kannst du die Vierfeldertafel vervollständigen:
$C$
$\overline{C}$
$F$
$12\%$
$48\%$
$60\%$
$\overline{F}$
$3\%$
$37\%$
$40\%$
$15\%$
$85\%$
$100\%$
Die gefragte Wahrscheinlichkeit $P\left(\overline{F}\cap C\right)$ ist $3\%$
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	$C$	$\overline{C}$
$F$	$12\%$	$48\%$	$60\%$
$\overline{F}$	$3\%$	$37\%$	$40\%$
	$15\%$	$85\%$	$100\%$

An einem bestimmten Tag besuchen 200 Familien den Park. Insgesamt stehen 50 Campingstellplätze zur Verfügung. Eine Familie benötigt jeweils genau einen Stellplatz. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie auf dem Campingplatz übernachten möchte, beträgt erfahrungsgemäß 25%.

Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

(a) die Anzahl der Campingstellplätze an diesem Tag nicht ausreicht

(b) die Anzahl der benötigten Campingstellplätze innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: kumulierte Wahrscheinlichkeit

a) Campingplatz zu klein

Es sind $n=200$ Familien vor Ort, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0{,}25$ übernachten. Der Campingplatz reicht nicht aus, wenn mehr als 50 Familien übernachten.

Wenn du mit $X$ die Anzahl der Familien bezeichnest, die über Nacht bleiben möchten, dann kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Campingplatz nicht ausreicht, durch die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P\left(X>50\right)$ berechnen.

Vor allem, wenn du das Tafelwerk benutzt, kannst du nur kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Form $P\left(X\le k\right)$ nachschauen, also für höchstens k Treffer.

Schreibe deshalb mithilfe des Gegenereignisses um und schlage anschließend im Tafelwerk nach:

	$\displaystyle P\left(X>50\right)$
	↓ Gegenereignis
$=$	$\displaystyle 1-P\left(X\le50\right)$
	↓ Wert aus Tafelwerk
$=$	$\displaystyle 1-0{,}53791$
$=$	$\displaystyle 0{,}46209$

In $46{,}21\%$ der Fälle reicht der Campingplatz nicht aus.

b) Wahrscheinlichkeit für Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung

Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, lassen sich Erwartungswert und Standardabweichung sehr einfach berechnen:

Erwartungswert

$\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}25=50$ (Es sind im Durchschnitt 50 Übernachtungen zu erwarten.

Standardabweichung

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}=\sqrt{200\cdot0{,}25\cdot0{,}75}\approx6{,}12$

"Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert"

Die gesuchten Werte kannst du berechnen durch

$\mu-\sigma=50-6{,}12=43{,}88$

$\mu+\sigma=50+6{,}12=56{,}12$

Zugehörige Wahrscheinlichkeit

Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P\left(43{,}88<X<56{,}12\right)$ .

Erneut musst du diesen Term umschreiben, um die Werte nachschlagen zu können:

	$\displaystyle P\left(43{,}88<X<56{,}12\right)$
	↓ Runde die Grenzen. 44 ist der kleinste Wert von X, 56 der größte.
$=$	$\displaystyle P\left(44\le X\le56\right)$
	↓ Schreibe als Differenz. Von der kumulierten Wahrscheinlichkeit $P\left(X\le56\right)$ ziehst du alle Werte für $X<44$ ab. 44 ist so der kleinste Wert, der mit in die Gesamtwahrscheinlichkeit zählt.
$=$	$\displaystyle P\left(X\le56\right)-P\left(X\ \le43\right)$
$≈$	$\displaystyle 0{,}71170$

In 71,17% der Fälle nimmt die Zufallsgröße einen Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert an.

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