1. Ableitung bestimmen

Bilde die erste Ableitung, mit der du das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) des Graphen beschreiben kannst:

$\vartheta(t)=0{,}04(t^4-47t^3+528t^2+576t+500)$

Ableiten:

$\vartheta'(t)=0{,}04(4t^3-141t^2+1056t+576)$

Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen

Die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten ändern kann, sind die Stellen mit waagerechten Tangenten, also der Steigung 0. Deshalb suchst du die Nullstellen der Ableitung:

Da der Grad der Funktion 3 ist und man nicht ausklammern kann, brauchst du die Polynomdivision.

Die erste Nullstelle musst du durch Probieren ermitteln. Eine Nullstelle findet man hier bei $x=24$. Diese Nullstelle liegt zwar selbst nicht im Definitionsbereich $D=[0;23]$, aber kann zur Polynomdivision trotzdem verwendet werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll} &(4t^3&-141t^2&+1056t&+576) &:(t-24)=4t^2-45t-24\\ -&(4t^3&-96t^2)\\ &&-45t^2&+1056t\\ &-&(-45t^2&+1080t)\\ &&&\quad-24t&+576\\ &&-&(-24t&+576)\\ &&&&\quad0 \end{array}$

Nun kannst du die Mitternachtsformel verwenden:

$t_{2/3}=\frac{-(-45)\pm\sqrt{(-45^2)-4\cdot4\cdot(-24)}}{2\cdot 4}$ liefert $t_2\approx-0{,}51$ und $t_3\approx 11{,}76$

Nur die Nullstelle $t=11{,}76$ ist im Definitionsbereich und muss weiter betrachtet werden.

Monotonietabelle

Unter Verwendung von $D=[0;23]$ ergibt sich die Monotonietabelle

Die Aufheizphase dauert vom Messbeginn an ca 12 Stunden (genauer 11,76 Stunden).

Die Extremstellen der 1. Ableitung erhältst du, indem du die Nullstellen der 2. Ableitung findest und untersuchst.

2. Ableitung bilden

Mit $\vartheta'(t)=0{,}04(4t^3-141t^2+1056t+576)$ ergibt sich für die 2. Ableitung:

$\vartheta''(t)=0{,}04(12t^2-282t+1056)$

Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen

Löse mit der Mitternachtsformel:

$t_{1/2}=\frac{-(-282)\pm\sqrt{(-282)^2-4\cdot12\cdot 1056}}{2\cdot 12}$ liefert $t_1\approx 4{,}67$ und $t_2\approx 18{,}83$ (beide in D)

Beide Nullstellen von $\vartheta''$ haben die Vielfachheit 1, deshalb liegen an beiden Stellen Extremstellen von $\vartheta'$.

Lage der Extremstellen von $G_{f'}$

Setze die gefundenen $t_1$ und $t_2$ in $\vartheta'$ ein, um die Temperaturzu- bzw. abnahme zu bestimmen und mit dem Wert 115°C pro Stunde zu vergleichen.

$\vartheta'(4{,}67)\approx 113{,}59$

$\vartheta'(18{,}83)\approx -113{,}10$

Fazit

Da die höchste Änderungsrate 114°C pro Stunde beträgt, wird die Anforderung eingehalten.

Bei $t=11{,}76$ hat der Graph $G_\vartheta$ seinen Hochpunkt und somit der Ofen seine maximale Temperatur.

Diese beträgt $\vartheta(11{,}76)\approx 919°C$ und ist somit unter der Temperatur von 1400°C.

Es wird also kein spezielles Tragegeschirr benötigt.