Du weißt anschaulich, dass die Symmetrieachse einer Parabel immer durch ihren Scheitelpunkt und parallel zur $y$-Achse verläuft. Da der Scheitelpunkt mit $S(4|2)$ in der Aufgabenstellung angegeben ist, lautet die Gleichung der Symmetrieachse $x=4$.

Um zu zeigen, dass die Parabel der Gleichung $y=-\mathrm{0,25}{x}^2+2x-2$ genügt, kannst du ausnutzen, dass die Punkte $S(4|2)$ und $P(-2|-7)$ auf der Parabel $p$ liegen. Da der Scheitelpunkt bereits gegeben ist, kannst du gleich die Scheitelpunktform verwenden. Für unsere Parabel $p$ lautet sie:

$y=a\cdot (x-4{)}^2+2.$

Um den Parameter $a$ zu bestimmen, setzt du den Punkt $P$ in die Scheitelpunktform ein und löst nach $a$ auf:

$\begin{array}{ccc}-7& =& a\cdot (-2-4{)}^2+2\\ \iff -7& =& a\cdot 36+2\\ \iff -9& =& a\cdot 36\\ \iff a& =& -\mathrm{0,25}\end{array}$

Unter Ausnutzung der zweiten binomischen Formel kannst du nun die Scheitelpunktform ausmultiplizieren und erhältst die gesuchte Gleichung für $p$:

$\begin{array}{ccc}y& =& -\mathrm{0,25}\cdot (x-4{)}^2+2\\ & =& -\mathrm{0,25}\cdot (x^2-8x+16)+2\\ & =& -\mathrm{0,25}{x}^2+2x-4+2\\ & =& -\mathrm{0,25}{x}^2+2x-2\end{array}$

Siehe Abbildung in Teilaufgabe a).

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes lautet

Da $\overline{C_n{D}_n}=6\text{LE}$ und $h=4\text{LE}$ bereits gegeben sind, musst du noch die Länge der Strecke $\overline{A_n{B}_n}(x)$ berechnen. Da die Punkte $A_n$ und $B_n$ die gleiche Abszisse $x$ haben, berechnet sich die Länge $\overline{A_n{B}_n}(x)$ aus der Differenz der $y$-Koordinaten von $A_n$ und $B_n$:

$\begin{array}{ccc}\overline{A_n{B}_n}(x)=y_{B_n}(x)-y_{A_n}(x)& =& -\mathrm{0,5}x+5-(-\mathrm{0,25}{x}^2+2x-2)\text{LE}\\ & =& (\mathrm{0,25}{x}^2-\mathrm{2,5}x+7)\text{LE}.\end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann:

Du hast in Aufgabe c) eine allgemeine Formel $A(x)$ zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes berechnet. Man erkennt, dass $A(x)$ eine nach oben offene Parabel beschreibt, denn $A(x)$ ist eine Gleichung von der Form $a{x}^2+bx+c$ mit $a>0$. Um nun den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $A(x)$ mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen, denn daraus kannst du den Scheitelpunkt und damit den minimalen Wert des Flächeninhalts direkt ablesen:

$\begin{array}{ccc}A(x)& =& \mathrm{0,5}{x}^2-5x+26\\ & =& \mathrm{0,5}\cdot (x^2-10x)+26\\ & =& \mathrm{0,5}\cdot (x^2-2\cdot 5x+5^2-5^2)+26\\ & =& \mathrm{0,5}\cdot [{(x-5)}^2-25]+26\\ & =& \mathrm{0,5}\cdot {(x-5)}^2-\mathrm{12,5}+26\\ & =& \mathrm{0,5}\cdot {(x-5)}^2+\mathrm{13,5.}\end{array}$

An dieser Darstellung erkennen wir, dass die Koordinaten des Scheitelpunktes von $A(x)$ $x=5$ und $y=\mathrm{13,5}$ lauten. Somit ist $A_{\text{min}}=\mathrm{13,5}\text{FE}$ für $x=5.$

Mithilfe der Formel aus Aufgabe c) setzt man:

und löst mit der Mitternachtsformel:

Damit ist $x_1=5+\sqrt{23}\approx \mathrm{9,80}$ und $x_2=5-\sqrt{23}\approx \mathrm{0,20}$.

In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Du weißt, dass in jedem Fall $\overline{C_n{D}_n}=6\text{LE}$ gelten soll. Also muss

$\overline{A_3{B}_3}=\overline{A_4{B}_4}=\overline{C_3{D}_3}=\overline{C_4{D}_4}=6\text{LE}.$

Da in einem Rechteck auch alle vorkommenden Winkel rechtwinklig ($90°$) sind, muss

gelten. In diesem Fall würde sich aber ein Flächeninhalt von

$A=6\text{LE}\cdot 4\text{LE}=24\text{FE}$

ergeben. Damit können die Trapeze keine Rechtecke sein.

Bei dieser Teilaufgabe gibt es mehrere Lösungswege. Der vermutlich einfachste verwendet den Tangens, denn es gilt (wie zum Beispiel anhand der Skizze aus Teilaufgabe b) erkannt werden kann):

$\begin{array}{ccc}\tan \epsilon ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}& =& {\displaystyle \frac{h}{\mathrm{0,5}\cdot (\overline{C_1{D}_1}-\overline{A_1{B}_1})}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,5}\cdot (6-(\mathrm{0,25}\cdot 4^2-\mathrm{2,5}\cdot 4+7))}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,5}\cdot (6-1)}}\\ & =& \mathrm{1,6}\end{array}$

Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens an, so erhältst du für den Winkel $\epsilon$:

$\epsilon ={\tan }^{-1}(\mathrm{1,6})\approx \mathrm{57,99}°.$