Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ mit dem Scheitel $S(4\vert2)$ verläuft durch den Punkt $P(-2\vert-7)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y = a x^{2} + b x + c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ und $a\in\;\mathbb{R}\;\backslash\;\{0\}$ ; $b, c$ $\in\mathbb{R}$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = - 0,5 x + 5$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Gleichung der Symmetrieachse der Parabel $p$ an und zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel die Gleichung $y=-0{,}25x^2+2x-2$ hat.
Zeichnen Sie die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x$ $\in\lbrack-1;9\rbrack$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $-2\leqslant x\leqslant10;\;\;-5\leqslant y\leqslant6$ .

Du weißt anschaulich, dass die Symmetrieachse einer Parabel immer durch ihren Scheitelpunkt und parallel zur $y$ -Achse verläuft. Da der Scheitelpunkt mit $S (4 ∣ 2)$ in der Aufgabenstellung angegeben ist, lautet die Gleichung der Symmetrieachse $x = 4$ .
Um zu zeigen, dass die Parabel der Gleichung $y = -0{,}25x^2+2x-2$ genügt, kannst du ausnutzen, dass die Punkte $S (4 ∣ 2)$ und $P (- 2 ∣ - 7)$ auf der Parabel $p$ liegen. Da der Scheitelpunkt bereits gegeben ist, kannst du gleich die Scheitelpunktform verwenden. Für unsere Parabel $p$ lautet sie:
$y = a \cdot (x - 4)^2 + 2.$
Um den Parameter $a$ zu bestimmen, setzt du den Punkt $P$ in die Scheitelpunktform ein und löst nach $a$ auf:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} -7 &=& a \cdot (-2 - 4)^2 + 2 \\ \Leftrightarrow -7 &=& a \cdot 36 + 2 \\ \Leftrightarrow -9 &=& a \cdot 36 \\ \Leftrightarrow a &=& -0{,}25 \end{array}$
Unter Ausnutzung der zweiten binomischen Formel kannst du nun die Scheitelpunktform ausmultiplizieren und erhältst die gesuchte Gleichung für $p$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} y &=& -0{,}25 \cdot (x-4)^2 + 2 \\ &=& -0{,}25 \cdot (x^2-8x+16)+2\\ &=& -0{,}25x^2 + 2x -4+2 \\ &=& -0{,}25x^2 + 2x -2 \end{array}$
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Punkte $A_n(x\vert-0{,}25x^2+2x-2)$ auf $p$ und Punkte $B_n(x\vert-0{,}5x+5)$ auf $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $C_{n}$ und $D_{n}$ Eckpunkte von gleichschenkligen Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit $A_{n} B_{n} ∣ ∣ C_{n} D_{n}$ . Die Höhen $h$ der Trapeze haben eine Länge von $4\;\text{LE}$ . Weiter gilt: $\overline{C_nD_n}=6\;\text{LE}$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 4$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 8,5$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

Siehe Abbildung in Teilaufgabe a).
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A(x)=(0{,}5x^2-5x+26)\;\text{FE}$ .
$[$ Teilergebnis: $\overline{A_nB_n}(x)=(0{,}25x^2-2{,}5x+7)\;\text{LE}$ $]$

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes lautet
$\displaystyle A(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(\overline{A_nB_n}(x)+\overline{C_nD_n}\right)\cdot h.$
Da $\overline{C_nD_n} = 6\;\text{LE}$ und $h = 4 \;\text{LE}$ bereits gegeben sind, musst du noch die Länge der Strecke $\overline{A_nB_n}(x)$ berechnen. Da die Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ die gleiche Abszisse $x$ haben, berechnet sich die Länge $\overline{A_nB_n}(x)$ aus der Differenz der $y$ -Koordinaten von $A_{n}$ und $B_{n}$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \overline{A_nB_n}(x) = y_{B_n}(x) - y_{A_n}(x) &=& -0{,}5x + 5 - (-0{,}25x^2+2x-2)\ \text{LE}\\ &=& (0{,}25x^2 - 2{,}5x +7) \ \text{LE}. \end{array}$
Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{c} A(x) &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\overline{A_nB_n}(x) + \overline{C_nD_n} \right)\cdot h \\ &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(0{,}25x^2-2{,}5x + 7 + 6 \right)\ \text{LE}\cdot 4 \ \text{LE} \\ &=& \left(0{,}5x^2-5x+26\right) \ \text{FE}. \end{array}$
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Unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ hat das Trapez $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ und den zugehörigen Wert für $x$ .

Du hast in Aufgabe c) eine allgemeine Formel $A (x)$ zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes berechnet. Man erkennt, dass $A (x)$ eine nach oben offene Parabel beschreibt, denn $A (x)$ ist eine Gleichung von der Form $a x^{2} + b x + c$ mit $a > 0$ . Um nun den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $A (x)$ mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen, denn daraus kannst du den Scheitelpunkt und damit den minimalen Wert des Flächeninhalts direkt ablesen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} A(x) &=& 0{,}5x^2-5x+26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x^2-10x \right) + 26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x^2-2\cdot 5x + 5^2 - 5^2\right) + 26\\ &=& 0{,}5 \cdot \left[\left(x-5\right)^2 - 25\right] + 26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x-5\right)^2 - 12{,}5 + 26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x-5\right)^2 + 13{,}5. \end{array}$
An dieser Darstellung erkennen wir, dass die Koordinaten des Scheitelpunktes von $A (x)$ $x = 5$ und $y = 13,5$ lauten. Somit ist $A_{\text{min}} = 13{,}5 \ \text{FE}$ für $x = 5.$
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Die Trapeze $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ haben einen Flächeninhalt von $25\;\text{FE}$ . Berechnen Sie die zugehörigen Werte für $x$ .
Sind diese Trapeze Rechtecke? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
- Diese Trapeze sind Rechtecke.
- Diese Trapeze sind keine Rechtecke.
Mithilfe der Formel aus Aufgabe c) setzt man:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} 25 &=& 0{,}5x^2 - 5x + 26 \\ \Leftrightarrow 0 &=& 0{,}5x^2-5x + 1 \end{array}$
und löst mit der Mitternachtsformel:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{c} x_{1{,}2} &=& \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 0{,}5 \cdot 1}}{2 \cdot 0{,}5} \\ &=& 5 \pm \sqrt{23}. \end{array}$
Damit ist $x_1 = 5 + \sqrt{23} \approx 9{,}80$ und $x_2 = 5 - \sqrt{23} \approx 0{,}20$ .
In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Du weißt, dass in jedem Fall $\overline{C_nD_n}=6\;\text{LE}$ gelten soll. Also muss
$\overline{A_3B_3}= \overline{A_4B_4}=\overline{C_3D_3}= \overline{C_4D_4}=6 \ \text{LE}.$
Da in einem Rechteck auch alle vorkommenden Winkel rechtwinklig ( $90 °$ ) sind, muss
$\displaystyle \overline{A_3D_3}= \overline{B_3C_3}= \overline{B_4C_4}= \overline{A_4D_4}= h = 4 \ \text{LE}$
gelten. In diesem Fall würde sich aber ein Flächeninhalt von
$A = 6 \ \text{LE} \cdot 4 \ \text{LE} = 24 \ \text{FE}$
ergeben. Damit können die Trapeze keine Rechtecke sein.
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Berechnen Sie das Maß $\varepsilon$ des Winkels $D_{1} C_{1} B_{1}$ .

Bei dieser Teilaufgabe gibt es mehrere Lösungswege. Der vermutlich einfachste verwendet den Tangens, denn es gilt (wie zum Beispiel anhand der Skizze aus Teilaufgabe b) erkannt werden kann):
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} \tan \varepsilon = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{{Ankathete}}} &=& \dfrac{h}{0{,}5 \cdot \left(\overline{C_1D_1}-\overline{A_1B_1}\right)} \\ &=& \dfrac{4}{0{,}5 \cdot \left(6- (0{,}25\cdot 4^2 - 2{,}5\cdot 4 +7)\right)} \\ &=&\dfrac{4}{0{,}5 \cdot (6-1)} \\ &=& 1{,}6 \end{array}$
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens an, so erhältst du für den Winkel $\varepsilon$ :
$\varepsilon = \tan^{-1}(1{,}6) \approx 57{,}99°.$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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