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Aufgaben
1.0 Die Parabel pp mit dem Scheitel S(42)S(4\vert2) verläuft durch den Punkt P(27)P(-2\vert-7). Sie hat eine Gleichung der Form y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c mit GG = R\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R} und a  R  \  {0}a\in\;\mathbb{R}\;\backslash\;\{0\}; b,cb,c R\in\mathbb{R}. Die Gerade gg hat die Gleichung y=0,5x+5y=-0,5x+5 mit GG = R\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R}. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1 Geben Sie die Gleichung der Symmetrieachse der Parabel pp an und zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel die Gleichung y=0,25x2+2x2y=-0,25x^2+2x-2 hat.

Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg für xx [1;9]\in\lbrack-1;9\rbrack in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 2x10;    5y6-2\leqslant x\leqslant10;\;\;-5\leqslant y\leqslant6.
1.2 Punkte An(x0,25x2+2x2)A_n(x\vert-0,25x^2+2x-2) auf pp und Punkte Bn(x0,5x+5)B_n(x\vert-0,5x+5) auf gg habendieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten CnC_n und DnD_n Eckpunkte von gleichschenkligen Trapezen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit AnBnCnDnA_nB_n||C_nD_n. Die Höhen hh der Trapeze haben eine Länge von 44 LE. Weiter gilt: CnDn=6\overline{C_nD_n}=6 LE.

Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=4x=4 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=8,5x=8,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt AA der Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(0,5x25x+26)A(x)=(0,5x^2-5x+26) FE.
[Teilergebnis: AnBn(x)=(0,25x22,5x+7)\overline{A_nB_n}(x)=(0,25x^2-2,5x+7) LE]
1.4 Unter den Trapezen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n hat das Trapez A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 den minimalen Flächeninhalt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 und den zugehörigen Wert für xx.
1.5 Die Trapeze A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 haben einen Flächeninhalt von 2525 FE. Berechnen Sie die zugehörigen Werte für xx. Sind diese Trapeze Rechtecke? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
1.6 Berechnen Sie das Maß ε\varepsilon des Winkels D1C1B1D_1C_1B_1.
1.1 Du weißt anschaulich, dass die Symmetrieachse einer Parabel immer durch ihren Scheitelpunkt und parallel zur yy-Achse verläuft. Da der Scheitelpunkt mit S(42)S(4|2) in der Aufgabenstellung angegeben ist, lautet die Gleichung der Symmetrieachse x=4x=4.

Um zu zeigen, dass die Parabel der Gleichung y=0,25x2+2x2y = -0,25x^2+2x-2 genügt, kannst du ausnutzen, dass die Punkte S(42)S(4|2) und P(27)P(-2|-7) auf der Parabel pp liegen. Da der Scheitelpunkt bereits gegeben ist, kannst du gleich die Scheitelpunktform verwenden. Für unsere Parabel pp lautet sie:
y=a(x4)2+2.\displaystyle y = a \cdot (x - 4)^2 + 2.
Um den Parameter aa zu bestimmen, setzt du den Punkt P P in die Scheitelpunktform ein und löst nach aa auf:
7=a(24)2+27=a36+29=a36a=0,25\displaystyle \begin{array}{c} -7 &=& a \cdot (-2 - 4)^2 + 2 \\ \Leftrightarrow -7 &=& a \cdot 36 + 2 \\ \Leftrightarrow -9 &=& a \cdot 36 \\ \Leftrightarrow a &=& -0,25 \end{array}
Unter Ausnutzung der zweiten binomischen Formel kannst du nun die Scheitelpunktform ausmultiplizieren und erhältst die gesuchte Gleichung für pp:

y=0,25(x4)2+2=0,25(x28x+16)+2=0,25x2+2x4+2=0,25x2+2x2\displaystyle \begin{array}{c} y &=& -0,25 \cdot (x-4)^2 + 2 \\ &=& -0,25 \cdot (x^2-8x+16)+2\\ &=& -0,25x^2 + 2x -4+2 \\ &=& -0,25x^2 + 2x -2 \end{array}
Parabel und Trapez
1.2 Siehe Abbildung in Aufgabe 1.1.
A(x)=12(AnBn(x)+CnDn)h.\displaystyle A(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(\overline{A_nB_n}(x)+\overline{C_nD_n}\right)\cdot h.
Da CnDn=6\overline{C_nD_n} = 6 LE und h=4h = 4 LE bereits gegeben ist, musst du noch die Länge der Strecke AnBn(x)\overline{A_nB_n}(x) berechnen. Da die Punkte AnA_n und BnB_n die gleiche Abszisse xx haben, berechnet sich die Länge AnBn(x)\overline{A_nB_n}(x) aus der Differenz der yy-Koordinaten von AnA_n und BnB_n:

AnBn(x)=yBn(x)yAn(x)=0,5x+5(0,25x2+2x2) LE=0,25x22,5x+7 LE.\displaystyle \begin{array}{c} \overline{A_nB_n}(x) = y_{B_n}(x) - y_{A_n}(x) &=& -0,5x + 5 - (-0,25x^2+2x-2)\ \text{LE}\\ &=& 0,25x^2 - 2,5x +7 \ \text{LE}. \end{array}
Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann:
A(x)=12(AnBn(x)+CnDn)h=12(0,25x22,5x+7+6) LE4 LE=(0,5x25x+26) FE.\displaystyle \begin{array}{c} A(x) &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\overline{A_nB_n}(x) + \overline{C_nD_n} \right)\cdot h \\ &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(0,25x^2-2,5x + 7 + 6 \right)\ \text{LE}\cdot 4 \ \text{LE} \\ &=& \left(0,5x^2-5x+26\right) \ \text{FE}. \end{array}

1.4 Du hast in Aufgabe 1.3 eine allgemeine Formel A(x)A(x) zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes berechnet. Man erkennt, dass A(x)A(x) eine nach oben offene Parabel beschreibt, denn A(x) A(x) ist eine Gleichung von der Form ax2+bx+cax^2 + bx + c mit a>0a>0. Um nun den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für A(x)A(x) mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen, denn daraus kannst du den Scheitelpunkt und damit den minimalen Wert des Flächeninhalts direkt ablesen:

A(x)=0,5x25x+26=0,5(x210x)+26=0,5(x225x+5252)+26=0,5[(x5)225]+26=0,5(x5)212,5+26=0,5(x5)2+13,5.\displaystyle \begin{array}{c} A(x) &=& 0,5x^2-5x+26 \\ &=& 0,5 \cdot \left(x^2-10x \right) + 26 \\ &=& 0,5 \cdot \left(x^2-2\cdot 5x + 5^2 - 5^2\right) + 26\\ &=& 0,5 \cdot \left[\left(x-5\right)^2 - 25\right] + 26 \\ &=& 0,5 \cdot \left(x-5\right)^2 - 12,5 + 26 \\ &=& 0,5 \cdot \left(x-5\right)^2 + 13,5. \end{array}
An dieser Darstellung erkennen wir, dass die Koordinaten des Scheitelpunktes von A(x)A(x) x=5x=5 und y=13,5y = 13,5 lauten. Somit ist Amin=13,5 FEA_{\text{min}} = 13,5 \ \text{FE} für x=5.x = 5.
1.5 Mithilfe der Formel aus Aufgabe 1.3 setzt man :
25=0,5x25x+260=0,5x25x+1\displaystyle \begin{array}{c} 25 &=& 0,5x^2 - 5x + 26 \\ \Leftrightarrow 0 &=& 0,5x^2-5x + 1 \end{array}
und löst mit der Mitternachtsformel:
x1,2=(5)±(5)240,5120,5=5±23.\displaystyle \begin{array}{c} x_{1,2} &=& \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 0,5 \cdot 1}}{2 \cdot 0,5} \\ &=& 5 \pm \sqrt{23}. \end{array}
Damit ist x1=5+239,80x_1 = 5 + \sqrt{23} \approx 9,80 und x2=5230,20x_2 = 5 - \sqrt{23} \approx 0,20.
In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Du weißt, dass in jedem Fall CnDn=6\overline{C_nD_n}=6 LE gelten soll. Also muss
A3B3=A4B4=C3D3=C4D4=6 LE.\displaystyle \overline{A_3B_3}= \overline{A_4B_4}=\overline{C_3D_3}= \overline{C_4D_4}=6 \ \text{LE}.
Da in einem Rechteck auch alle vorkommenden Winkel rechtwinklig (90°90°) sind, muss
A3D3=B3C3=B4C4=A4D4=h=4 LE\displaystyle \overline{A_3D_3}= \overline{B_3C_3}= \overline{B_4C_4}= \overline{A_4D_4}= h = 4 \ \text{LE}
gelten. In diesem Fall würde sich aber ein Flächeninhalt von
A=6 LE4 LE=24 FE\displaystyle A = 6 \ \text{LE} \cdot 4 \ \text{LE} = 24 \ \text{FE}
ergeben. Damit können die Trapeze keine Rechtecke sein.
1.6 Bei dieser Teilaufgabe gibt es mehrere Lösungswege. Der vermutlich einfachste verwendet den Tangens, denn es gilt (wie zum Beispiel anhand der Skizze aus Teilaufgabe 1.2 erkannt werden kann):

tanε=GegenkatheteAnkathete=h0,5(C1D1A1B1)=40,5(6(0,25422,54+7))=40,5(61)=1,6\displaystyle \begin{array}{c} \tan \varepsilon = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{{Ankathete}}} &=& \dfrac{h}{0,5 \cdot \left(\overline{C_1D_1}-\overline{A_1B_1}\right)} \\ &=& \dfrac{4}{0,5 \cdot \left(6- (0,25\cdot 4^2 - 2,5\cdot 4 +7)\right)} \\ &=&\dfrac{4}{0,5 \cdot (6-1)} \\ &=& 1,6 \end{array}
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens an, so erhältst du für den Winkel ε\varepsilon:
ε=tan1(1,6)57,99°.\displaystyle \varepsilon = \tan^{-1}(1,6) \approx 57,99°.



2.0 Unten ist die Vorlage für ein Firmenlogo in Form eines Fisches skizziert. Die Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist Grundlage für den Fischkörper, der durch den Kreisbogen OA\overset\frown{OA} um den Mittelpunkt B B, den Kreisbogen AP\overset\frown{AP} um den Mittelpunkt DD und die Strecke [OP][OP] begrenzt wird. Das gleichschenklige Trapez OPQROPQR bildet die Schwanzflosse.

Es gilt: BM=3\overline{BM}=3 cm; BC=6\overline{BC}=6 cm; MH=6,5\overline{MH}=6,5 cm; RQ=5,2\overline{RQ}=5,2 cm; DBOPRQDB\parallel OP\parallel RQ. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Fisch
2.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke [CM][CM] und zeigen Sie, dass für das Maß β\beta des Winkels CBACBA gilt: β=120\beta=120^\circ.
[Ergebnis: CM=5,20\overline{CM}=5,20 cm]
2.2 Zeichnen Sie die Vorlage des Firmenlogos.
2.3 Für die Strecke [OP][OP] gilt: OP=0,6RQ\overline{OP}=0,6\cdot\overline{RQ}. Berechnen Sie die Längen der Strecken [MG][MG] und [OR][OR].
[Ergebnisse: MG=3,90\overline{MG}=3,90 cm ; OR=2,80\overline{OR}=2,80 cm]
2.4 Zur farbigen Gestaltung werden das Dreieck MPOMPO und die Figur, die durch die Kreisbögen DA\overset\frown{DA} und AB\overset\frown{AB} sowie die Strecke [BD][BD] begrenzt wird, silber eingefärbt. Berechnen Sie den Inhalt AA der silber eingefärbten Fläche.
2.5 Bestimmen Sie rechnerisch den Umfang uu der Vorlage.
[Teilergebnis: =OBA=100,54\angle=OBA=100,54^\circ; Ergebnis: u=31,86u=31,86 cm]
2.6 Das Firmenlogo wird später auf T-Shirts aufgenäht. Man geht davon aus, dass der benötigte Faden um 200%200\% länger als der Umfang der Vorlage ist. Auf einer Rolle befinden sich 500500 m Faden. Berechnen Sie, wie viele Firmenlogos mit einer Rolle höchstens aufgenäht werden können.
2.1 Zur Berechnung der Streckenlänge CM\overline{CM} kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck CMBCMB verwenden. In diesem Dreieck ist [BC][BC] die Hypotenuse der Länge BC=6\overline{BC} = 6 cm, da der rechte Winkel beim Punkt M M liegt. Beachtest du, dass BM=3\overline{BM} = 3 cm gegeben ist und bezeichnen CM=x\overline{CM} = x, so gilt allgemein:
x2+BM2=BC2.\displaystyle x^2 + \overline{BM}^2 = \overline{BC}^2.
Setzt du nun die konkreten Zahlenwerte ein und löst die Gleichung nach xx auf, so erhältst du:
x2+32=62x2=6232=369=27\displaystyle \begin{array}{cc} && x^2 + 3^2 &=& 6^2 \\ \Leftrightarrow&& x^2 &=& 6^2 - 3^2 &=& 36 - 9 = 27 \end{array}
Ziehst du nun aus x2=27x^2 = 27 die Wurzel, so erhältst du x=335,20x = 3 \sqrt{3} \approx 5,20 cm. Dabei solltest die Lösung mit dem negativen Vorzeichen vernachlässigen, da eine negative Streckenlänge im Anwendungskontext sinnlos ist.

Um den angegeben Winkel zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten:

Variante 1: Verwendung der Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Dreiecke ABDABD und BCDBCD gleichschenklig sind. Du weißt, dass in gleichschenkligen Dreiecken die beiden Basiswinkel immer den Wert 60°60° annehmen. Also kannst du berechnen:
β=260°=120°.\displaystyle \beta = 2 \cdot 60° = 120°.
Variante 2: Verwende den Kosinus
Falls du die Argumentation mithilfe der gleichschenkligen Dreiecke in Variante 1 nicht direkt gesehen hast, kannst du den gesuchten Winkel natürlich auch berechnen. Dazu betrachten wir das Dreieck MBCMBC. Den Winkel CBM\angle CBM in diesem Dreieck kannst du zum Beispiel über den Kosinus berechnen:
cos(CBM)=AnkatheteHypotenuse=MBBC=3 cm6 cm=12.\displaystyle \cos(\angle CBM) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{{Hypotenuse}}} = \dfrac{\overline{MB}}{\overline{BC}} = \dfrac{3 \ \text{cm}}{6 \ \text{cm}} = \dfrac{1}{2}.
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Kosinus an, so erhältst du für den Winkel CBM\angle CBM:
cos1(12)=60°\displaystyle \cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 60°
Insgesamt gilt nun
β=CBA=2CBM=260°=120°.\displaystyle \beta = \angle CBA = 2 \cdot \angle CBM = 2 \cdot 60° = 120°.
2.2 Zeichnung einfügen
2.3 Um die Streckenlänge MG\overline{MG} zu berechnen, musst du bei dieser Teilaufgabe den Strahlensatz verwenden. Es gilt die Verhältnisgleichung:
MGMH=OPRQ=0,6RQRQ=0,6.\displaystyle \dfrac{\overline{MG}}{\overline{MH}} = \dfrac{\overline{OP}}{\overline{RQ}} = \dfrac{0,6 \cdot \overline{RQ}}{\overline{RQ}} = 0,6.
Wenn du diese Gleichung nun nach der gesuchten Streckenlänge MG\overline{MG} umstellst, so erhältst du:
MG=0,6MH=0,66,5 cm=3,9 cm.\displaystyle \overline{MG} = 0,6 \cdot \overline{MH} = 0,6 \cdot 6,5 \ \text{cm} = 3,9 \ \text{cm}.
Die Berechnung der zweiten Streckenlänge OR\overline{OR} ist etwas komplizierter, denn neben dem Strahlensatz musst du hier auch den Satz des Pythagoras verwenden.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du zunächst die Streckenlänge MR\overline{MR} berechnen. Im Dreieck MHRMHR gilt nämlich:
MR2=MH2+(12RQ)2.\displaystyle \overline{MR}^2 = \overline{MH}^2 + \left( \dfrac{1}{2}\cdot \overline{RQ} \right)^2.
Da MH=6,5\overline{MH} = 6,5 cm und RQ=5,2\overline{RQ} = 5,2 cm gegeben sind, kannst du dies direkt einsetzen und erhältst:
MR2=(6,5 cm)2+(125,2 cm)2=49,01 cm2.\displaystyle \overline{MR}^2 = (6,5 \ \text{cm})^2 + \left( \dfrac{1}{2} \cdot 5,2 \ \text{cm} \right)^2 = 49,01 \ \text{cm}^2.
Ziehst du nun die Wurzel und vernachlässigst wie oben die Lösung mit dem negativen Vorzeichen, so gilt:
MR=7,00 cm.\displaystyle \overline{MR} = 7,00 \ \text{cm}.
Nun sollte man feststellen, dass nach dem Strahlensatz die Verhältnisgleichung
MOMR=MGMH=3,9 cm6,5 cm=0,6\displaystyle \dfrac{\overline{MO}}{\overline{MR}} = \dfrac{\overline{MG}}{\overline{MH}} = \dfrac{3,9 \ \text{cm}}{6,5 \ \text{cm}} = 0,6
gilt. Diese kannst du direkt nach der einzigen noch unbekannten Größe MO\overline{MO} auflösen und gleichzeitig dein oben berechnetes Ergebnis für MR\overline{MR} einsetzen:
MO=0,6MR=0,67,00 cm=4,20 cm.\displaystyle \overline{MO} = 0,6 \cdot \overline{MR} = 0,6 \cdot 7,00 \ \text{cm} = 4,20 \ \text{cm}.
Mit diesen beiden Ergebnissen berechnet sich die gesuchte Strecke OR\overline{OR} zu:
OR=MRMO=7,00 cm4,20 cm=2,80 cm.\displaystyle \overline{OR} = \overline{MR} - \overline{MO} = 7,00 \ \text{cm} - 4,20 \ \text{cm} = 2,80 \ \text{cm}.
2.4 Wir wollen zunächst den Flächeninhalt des Dreiecks MPOMPO berechnen. Dessen Grundseite OP\overline{OP} ist (indirekt) gegeben, denn nach Aufgabe 2.3 gilt
OP=0,6QR=0,65,2 cm=3,12 cm.\displaystyle \overline{OP} = 0,6 \cdot \overline{QR} = 0,6 \cdot 5,2 \ \text{cm} = 3,12 \ \text{cm}.
 Die Höhe MG\overline{MG} hast du in Aufgabe 2.3 berechnet. Es ist MG=3,90 cm\overline{MG} = 3,90 \ \text{cm}. Der Flächeninhalt ist also gegeben durch:
ADreieck=12GrundseiteHo¨he=12MGOP=123,90 cm3,12 cm=6,08 cm2.\displaystyle \begin{array}{c} A_{\text{Dreieck}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{MG} \cdot \overline{OP} \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 3,90 \ \text{cm} \cdot 3,12 \ \text{cm} \\ &=& 6,08 \ \text{cm}^2. \end{array}
Jetzt musst du noch den Flächeninhalt der durch die Kreisbögen DA\overset{\frown}{DA} und AB\overset{\frown}{AB} sowie der Strecke [BD][BD] begrenzten Fläche berechnen.

Dazu berechnet man zunächst die Fläche des Kreissektors mit Mittelpunkt BB und Radius BD\overline{BD}. Der für diese Rechnung benötigte Winkel ist DBA=60°\angle DBA = 60°. Dann ist der Flächeninhalt des Kreissektors gegeben durch:
ASektor=DBA360°BD2π=60°360°(6 cm)2π=6π=18,85 cm2.\displaystyle A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\angle DBA}{360°}\cdot \overline{BD}^2 \cdot \pi = \dfrac{60°}{360°} \cdot (6 \ \text{cm})^2 \cdot \pi = 6 \pi = 18,85 \ \text{cm}^2.
Das gleiche machst du nun auch für den Kreissektor mit Mittelpunkt DD und Radius BD\overline{BD}. Wir erhalten erneut:
ASektor=ADB360°BD2π=60°360°(6 cm)2π=6π=18,85 cm2.\displaystyle A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\angle ADB}{360°}\cdot \overline{BD}^2 \cdot \pi = \dfrac{60°}{360°} \cdot (6 \ \text{cm})^2 \cdot \pi = 6 \pi = 18,85 \ \text{cm}^2.
Bei diesem Vorgehen wird nun aber der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks ABDABD doppelt berechnet. Dessen Flächeninhalt berechnet sich zu
ADreieck=12BD2sin(60°)=15,59 cm2\displaystyle A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD}^2 \cdot \sin(60°) = 15,59 \ \text{cm}^2
und muss einmal abgezogen werden. Insgesamt findest du damit also für die Fläche der beschriebenen Figur:
AFigur=2ASektorAABD+ADreieck=218,85 cm215,2 cm2+6,08 cm2=28,19 cm2.\displaystyle \begin{array}{c} A_{\text{Figur}} &=& 2 \cdot A_{\text{Sektor}} - A_{\text{ABD}} + A_{\text{Dreieck}} \\ &=& 2 \cdot 18,85 \ \text{cm}^2 - 15,2 \ \text{cm}^2 + 6,08 \ \text{cm}^2 \\ &=& 28,19 \ \text{cm}^2. \end{array}
2.5 Der Abbildung kannst du entnehmen, dass für den Umfang u u allgemein gilt:
u=2OBA360°2πBCLa¨nge des Kreisbogens von AOLa¨nge des Kreisbogens von AO und AP+2OR+RQ.\displaystyle u = \underbrace{2 \cdot \underbrace{\dfrac{\angle OBA}{360°}\cdot 2\pi \cdot \overline{BC}}_{\text{Länge des Kreisbogens von } \overset{\frown}{AO}}}_{\text{Länge des Kreisbogens von } \overset{\frown}{AO} \text{ und } \overset{\frown}{AP}} + 2 \cdot \overline{OR} + \overline{RQ}.
Die einzige Größe, die in dieser Formel noch nicht gegeben oder berechnet wurde, ist der Winkel OBA\angle OBA. Ihn zu berechnen funktioniert mithilfe des Kosinussatzes wie folgt:

Wir betrachten das Dreieck MBOMBO. Der Kosinussatz lautet:
MO2=MB2+OB22MOMOcos(OBM).\displaystyle \overline{MO}^2 = \overline{MB}^2 + \overline{OB}^2 - 2 \cdot \overline{MO} \cdot \overline{MO} \cdot \cos(\angle OBM).
Du weißt bereits, dass MO=4,20 cm\overline{MO} = 4,20 \ \text{cm} und BM=3,00 cm\overline{BM} = 3,00 \ \text{cm} ist. Weiter ist OB=6,00 cm\overline{OB} = 6,00 \ \text{cm}, denn die Strecke [OB] [OB] ist der Radius des Kreissektors und damit ist die Länge OB=BC=6 cm \overline{OB} = \overline{BC} = 6 \ \text{cm}. Setzen wir diese Zahlenwerte in die Formel von oben ein und lösen nach cos(OBM)\cos(\angle OBM) auf, so erhalten wir:
(4,20 cm)2=(3 cm)2+(6 cm)223 cm6 cmcos(OBM)17,64 cm2=9 cm2+36 cm236 cm2cos(OBM)cos(OBM)=17,64 cm29 cm236 cm236 cm2=40,54°.\displaystyle \begin{array}{c} (4,20 \ \text{cm})^2 &=& (3 \ \text{cm})^2 + (6 \ \text{cm})^2 - 2 \cdot 3 \ \text{cm} \cdot 6 \ \text{cm} \cdot \cos(\angle OBM) \\ 17,64 \ \text{cm}^2 &=& 9 \ \text{cm}^2 + 36 \ \text{cm}^2 - 36 \ \text{cm}^2 \cdot \cos(\angle OBM) \\ \cos(\angle OBM) &=& - \dfrac{17,64 \ \text{cm}^2 - 9 \ \text{cm}^2 - 36 \ \text{cm}^2 }{36 \ \text{cm}^2 } = 40,54°. \end{array}
Für unseren gesuchten Winkel OBA\angle{OBA} gilt schließlich:
OBA=OBM+60°=40,54°+60°=100,54°.\displaystyle \angle OBA = \angle OBM + 60° = 40,54° + 60° = 100,54°.
Damit kannst du nun den Umfang mithilfe der oben aufgestellten Formel berechnen. Der Umfang ist:
u=2100,54°360°2π6 cm+22,8 cm+5,2 cm=31,86 cm.\displaystyle u = 2 \cdot \dfrac{100,54°}{360°} \cdot 2 \pi \cdot 6 \ \text{cm} + 2 \cdot 2,8 \ \text{cm} + 5,2 \ \text{cm} = 31,86 \ \text{cm}.
2.6 Der benötigte Faden ist gemäß Angabe um 200%200\% größer als der Umfang uu der Vorlage, das bedeutet, die benötigte Fadenlänge lFadenl_{\text{Faden}} ist:
lFaden=(100%+200%)31,86 cm100%=95,58 cm.\displaystyle l_{\text{Faden}} = \dfrac{(100\% + 200\%) \cdot 31,86 \ \text{cm}}{100\%} = 95,58 \ \text{cm}.
Auf einer Rolle befinden sich 500500 m Faden. In cm entspricht dies einer Länge lRollel_{\text{Rolle}} von
lRolle=500100 cm=50 000 cm.\displaystyle l_{\text{Rolle}} = 500 \cdot 100 \ \text{cm} = 50\ 000 \ \text{cm}.
Um die Anzahl NN der Logos, die gedruckt werden können, zu berechnen, musst du nun den folgenden Quotienten berechnen:
N=lRollelFaden=50 000 cm95,58 cm=523,12523.\displaystyle N = \dfrac{l_{\text{Rolle}}}{l_{\text{Faden}}} = \dfrac{50\ 000 \ \text{cm}}{95,58 \ \text{cm}} = 523, 12 \approx 523.
Insgesamt können also 523523 Logos mit dem zur Verfügung stehenden Faden genäht werden.
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