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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Parabel pp mit dem Scheitel S(42)S(4\vert2) verläuft durch den Punkt P(27)P(-2\vert-7). Sie hat eine Gleichung der Form y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R} und a  R  \  {0}a\in\;\mathbb{R}\;\backslash\;\{0\}; b,cb,c R\in\mathbb{R}. Die Gerade gg hat die Gleichung y=0,5x+5y=-0{,}5x+5 mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Geben Sie die Gleichung der Symmetrieachse der Parabel pp an und zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel die Gleichung y=0,25x2+2x2y=-0{,}25x^2+2x-2 hat.

      Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg für xx [1;9]\in\lbrack-1;9\rbrack in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 2x10;    5y6-2\leqslant x\leqslant10;\;\;-5\leqslant y\leqslant6.

    2. Punkte An(x0,25x2+2x2)A_n(x\vert-0{,}25x^2+2x-2) auf pp und Punkte Bn(x0,5x+5)B_n(x\vert-0{,}5x+5) auf gg haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten CnC_n und DnD_n Eckpunkte von gleichschenkligen Trapezen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit AnBnCnDnA_nB_n||C_nD_n. Die Höhen hh der Trapeze haben eine Länge von 4  LE4\;\text{LE}. Weiter gilt: CnDn=6  LE\overline{C_nD_n}=6\;\text{LE}.

      Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=4x=4 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=8,5x=8{,}5 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt AA der Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(0,5x25x+26)  FEA(x)=(0{,}5x^2-5x+26)\;\text{FE}.

      [[Teilergebnis: AnBn(x)=(0,25x22,5x+7)  LE\overline{A_nB_n}(x)=(0{,}25x^2-2{,}5x+7)\;\text{LE}]]

    4. Unter den Trapezen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n hat das Trapez A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 den minimalen Flächeninhalt.

      Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 und den zugehörigen Wert für xx.

    5. Die Trapeze A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 haben einen Flächeninhalt von 25  FE25\;\text{FE}. Berechnen Sie die zugehörigen Werte für xx.

      Sind diese Trapeze Rechtecke? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    6. Berechnen Sie das Maß ε\varepsilon des Winkels D1C1B1D_1C_1B_1.

  2. 2

    Unten ist die Vorlage für ein Firmenlogo in Form eines Fisches skizziert. Die Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist Grundlage für den Fischkörper, der durch den Kreisbogen OA\overset\frown{OA} um den Mittelpunkt B B, den Kreisbogen AP\overset\frown{AP} um den Mittelpunkt DD und die Strecke [OP][OP] begrenzt wird. Das gleichschenklige Trapez OPQROPQR bildet die Schwanzflosse.

    Es gilt: BM=3\overline{BM}=3 cm; BC=6\overline{BC}=6 cm; MH=6,5\overline{MH}=6{,}5 cm; RQ=5,2\overline{RQ}=5{,}2 cm; DBOPRQDB\parallel OP\parallel RQ. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Berechnen Sie die Länge der Strecke [CM][CM] und zeigen Sie, dass für das Maß β\beta des Winkels CBACBA gilt: β=120\beta=120^\circ.

      [[Ergebnis: CM=5,20\overline{CM}=5{,}20 cm]]

    2. Zeichnen Sie die Vorlage des Firmenlogos.

    3. Für die Strecke [OP][OP] gilt: OP=0,6RQ\overline{OP}=0{,}6\cdot\overline{RQ}. Berechnen Sie die Längen der Strecken [MG][MG] und [OR][OR].

      [[Ergebnisse: MG=3,90  cm\overline{MG}=3{,}90\;\text{cm}; OR=2,80  cm\overline{OR}=2{,}80\;\text{cm}]]

    4. Zur farbigen Gestaltung werden das Dreieck MPOMPO und die Figur, die durch die Kreisbögen DA\overset\frown{DA} und AB\overset\frown{AB} sowie die Strecke [BD][BD] begrenzt wird, silber eingefärbt. Berechnen Sie den Inhalt AA der silber eingefärbten Fläche.

    5. Bestimmen Sie rechnerisch den Umfang uu der Vorlage.

      [[Teilergebnis: OBA=100,54\sphericalangle OBA=100{,}54^\circ; Ergebnis: u=31,86  cmu=31{,}86\;\text{cm}]]

    6. Das Firmenlogo wird später auf T-Shirts aufgenäht. Man geht davon aus, dass der benötigte Faden um 200  %200\;\% länger als der Umfang der Vorlage ist. Auf einer Rolle befinden sich 500500 m Faden. Berechnen Sie, wie viele Firmenlogos mit einer Rolle höchstens aufgenäht werden können.

      Firmenlogos

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