Nachtermin Teil B

Du weißt anschaulich, dass die Symmetrieachse einer Parabel immer durch ihren Scheitelpunkt und parallel zur $y$-Achse verläuft. Da der Scheitelpunkt mit $S(4|2)$ in der Aufgabenstellung angegeben ist, lautet die Gleichung der Symmetrieachse $x=4$.

Um zu zeigen, dass die Parabel der Gleichung $y = -0{,}25x^2+2x-2$ genügt, kannst du ausnutzen, dass die Punkte $S(4|2)$ und $P(-2|-7)$ auf der Parabel $p$ liegen. Da der Scheitelpunkt bereits gegeben ist, kannst du gleich die Scheitelpunktform verwenden. Für unsere Parabel $p$ lautet sie:

$y = a \cdot (x - 4)^2 + 2.$

Um den Parameter $a$ zu bestimmen, setzt du den Punkt $P$ in die Scheitelpunktform ein und löst nach $a$ auf:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} -7 &=& a \cdot (-2 - 4)^2 + 2 \\ \Leftrightarrow -7 &=& a \cdot 36 + 2 \\ \Leftrightarrow -9 &=& a \cdot 36 \\ \Leftrightarrow a &=& -0{,}25 \end{array}$

Unter Ausnutzung der zweiten binomischen Formel kannst du nun die Scheitelpunktform ausmultiplizieren und erhältst die gesuchte Gleichung für $p$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} y &=& -0{,}25 \cdot (x-4)^2 + 2 \\ &=& -0{,}25 \cdot (x^2-8x+16)+2\\ &=& -0{,}25x^2 + 2x -4+2 \\ &=& -0{,}25x^2 + 2x -2 \end{array}$

Siehe Abbildung in Teilaufgabe a).

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes lautet

Da $\overline{C_nD_n} = 6\;\text{LE}$ und $h = 4 \;\text{LE}$ bereits gegeben sind, musst du noch die Länge der Strecke $\overline{A_nB_n}(x)$ berechnen. Da die Punkte $A_n$ und $B_n$ die gleiche Abszisse $x$ haben, berechnet sich die Länge $\overline{A_nB_n}(x)$ aus der Differenz der $y$-Koordinaten von $A_n$ und $B_n$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \overline{A_nB_n}(x) = y_{B_n}(x) - y_{A_n}(x) &=& -0{,}5x + 5 - (-0{,}25x^2+2x-2)\ \text{LE}\\ &=& (0{,}25x^2 - 2{,}5x +7) \ \text{LE}. \end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann:

Du hast in Aufgabe c) eine allgemeine Formel $A(x)$ zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes berechnet. Man erkennt, dass $A(x)$ eine nach oben offene Parabel beschreibt, denn $A(x)$ ist eine Gleichung von der Form $ax^2 + bx + c$ mit $a>0$. Um nun den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $A(x)$ mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen, denn daraus kannst du den Scheitelpunkt und damit den minimalen Wert des Flächeninhalts direkt ablesen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} A(x) &=& 0{,}5x^2-5x+26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x^2-10x \right) + 26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x^2-2\cdot 5x + 5^2 - 5^2\right) + 26\\ &=& 0{,}5 \cdot \left[\left(x-5\right)^2 - 25\right] + 26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x-5\right)^2 - 12{,}5 + 26 \\ &=& 0{,}5 \cdot \left(x-5\right)^2 + 13{,}5. \end{array}$

An dieser Darstellung erkennen wir, dass die Koordinaten des Scheitelpunktes von $A(x)$ $x=5$ und $y = 13{,}5$ lauten. Somit ist $A_{\text{min}} = 13{,}5 \ \text{FE}$ für $x = 5.$

Mithilfe der Formel aus Aufgabe c) setzt man:

und löst mit der Mitternachtsformel:

Damit ist $x_1 = 5 + \sqrt{23} \approx 9{,}80$ und $x_2 = 5 - \sqrt{23} \approx 0{,}20$.

In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Du weißt, dass in jedem Fall $\overline{C_nD_n}=6\;\text{LE}$ gelten soll. Also muss

$\overline{A_3B_3}= \overline{A_4B_4}=\overline{C_3D_3}= \overline{C_4D_4}=6 \ \text{LE}.$

Da in einem Rechteck auch alle vorkommenden Winkel rechtwinklig ($90°$) sind, muss

gelten. In diesem Fall würde sich aber ein Flächeninhalt von

$A = 6 \ \text{LE} \cdot 4 \ \text{LE} = 24 \ \text{FE}$

ergeben. Damit können die Trapeze keine Rechtecke sein.

Bei dieser Teilaufgabe gibt es mehrere Lösungswege. Der vermutlich einfachste verwendet den Tangens, denn es gilt (wie zum Beispiel anhand der Skizze aus Teilaufgabe b) erkannt werden kann):

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} \tan \varepsilon = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{{Ankathete}}} &=& \dfrac{h}{0{,}5 \cdot \left(\overline{C_1D_1}-\overline{A_1B_1}\right)} \\ &=& \dfrac{4}{0{,}5 \cdot \left(6- (0{,}25\cdot 4^2 - 2{,}5\cdot 4 +7)\right)} \\ &=&\dfrac{4}{0{,}5 \cdot (6-1)} \\ &=& 1{,}6 \end{array}$

Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens an, so erhältst du für den Winkel $\varepsilon$:

$\varepsilon = \tan^{-1}(1{,}6) \approx 57{,}99°.$

Zur Berechnung der Streckenlänge $\overline{CM}$ kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $CMB$ verwenden. In diesem Dreieck ist $[BC]$ die Hypotenuse der Länge $\overline{BC} = 6\;\text{cm}$, da der rechte Winkel beim Punkt $M$ liegt. Beachtest du, dass $\overline{BM} = 3\;\text{cm}$ gegeben ist und bezeichnen $\overline{CM} = x$, so gilt allgemein:

$x^2 + \overline{BM}^2 = \overline{BC}^2.$

Setzt du nun die konkreten Zahlenwerte ein und löst die Gleichung nach $x$ auf, so erhältst du:

Ziehst du nun aus $x^2 = 27$ die Wurzel, so erhältst du $x = 3 \sqrt{3} \approx 5{,}20\;\text{cm}$. Dabei solltest du die Lösung mit dem negativen Vorzeichen vernachlässigen, da eine negative Streckenlänge im Anwendungskontext sinnlos ist.

Um den angegebenen Winkel zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten:

Variante 1: Verwendung der Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Dreiecke $ABD$ und $BCD$ gleichschenklig sind. Du weißt, dass in gleichschenkligen Dreiecken die beiden Basiswinkel immer den Wert $60°$annehmen. Also kannst du berechnen:

Variante 2: Verwende den Kosinus

Falls du die Argumentation mithilfe der gleichschenkligen Dreiecke in Variante 1 nicht direkt gesehen hast, kannst du den gesuchten Winkel natürlich auch berechnen. Dazu betrachten wir das Dreieck $MBC$. Den Winkel $\sphericalangle CBM$ in diesem Dreieck kannst du zum Beispiel über den Kosinus berechnen:

$\cos(\sphericalangle CBM) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{{Hypotenuse}}} = \dfrac{\overline{MB}}{\overline{BC}} = \dfrac{3 \ \text{cm}}{6 \ \text{cm}} = \dfrac{1}{2}.$

Wendest du nun die Umkehrfunktion des Kosinus an, so erhältst du für den Winkel $\sphericalangle CBM$:

$\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 60°$

Insgesamt gilt nun $\beta = \sphericalangle CBA = 2 \cdot \sphericalangle CBM = 2 \cdot 60° = 120°.$

Firmenlogo

In Aufgabe a) wurde $\overline {CM}=5{,}2\;\text{cm}$ berechnet. Die Zeichnung erfolgt mithilfe dieses Ergebnisses.

Das fertige Firmenlogo sieht dann so aus.

Um die Streckenlänge $\overline{MG}$ zu berechnen, musst du bei dieser Teilaufgabe den Strahlensatz verwenden. Es gilt die Verhältnisgleichung:

Wenn du diese Gleichung nun nach der gesuchten Streckenlänge $\overline{MG}$ umstellst, so erhältst du:

$\overline{MG} = 0{,}6 \cdot \overline{MH} = 0{,}6 \cdot 6{,}5 \ \text{cm} = 3{,}9 \ \text{cm}.$

Die Berechnung der zweiten Streckenlänge $\overline{OR}$ ist etwas komplizierter, denn neben dem Strahlensatz musst du hier auch den Satz des Pythagoras verwenden.

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du zunächst die Streckenlänge $\overline{MR}$ berechnen. Im Dreieck $MHR$ gilt nämlich:

Da $\overline{MH} = 6{,}5\;\text{cm}$ und $\overline{RQ} = 5{,}2 \;\text{cm}$ gegeben sind, kannst du dies direkt einsetzen und erhältst:

Ziehst du nun die Wurzel und vernachlässigst wie oben die Lösung mit dem negativen Vorzeichen, so gilt:

Nun sollte man feststellen, dass nach dem Strahlensatz die Verhältnisgleichung

gilt. Diese kannst du direkt nach der einzigen noch unbekannten Größe $\overline{MO}$ auflösen und gleichzeitig dein oben berechnetes Ergebnis für $\overline{MR}$ einsetzen:

$\overline{MO} = 0{,}6 \cdot \overline{MR} = 0{,}6 \cdot 7{,}00 \ \text{cm} = 4{,}20 \ \text{cm}.$

Mit diesen beiden Ergebnissen berechnet sich die gesuchte Strecke $\overline{OR}$ zu:

$\overline{OR} = \overline{MR} - \overline{MO} = 7{,}00 \ \text{cm} - 4{,}20 \ \text{cm} = 2{,}80 \ \text{cm}.$

Wir wollen zunächst den Flächeninhalt des Dreiecks $MPO$ berechnen. Dessen Grundseite $\overline{OP}$ ist (indirekt) gegeben, denn nach Aufgabe (c) gilt

$$Die Höhe $\overline{MG}$ hast du in Aufgabe c) berechnet. Es ist $\overline{MG} = 3{,}90 \ \text{cm}$. Der Flächeninhalt ist also gegeben durch:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} A_{\text{Dreieck}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{MG} \cdot \overline{OP} \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}90 \ \text{cm} \cdot 3{,}12 \ \text{cm} \\ &=& 6{,}08 \ \text{cm}^2. \end{array}$

Jetzt musst du noch den Flächeninhalt der durch die Kreisbögen $\overset{\frown}{DA}$ und $\overset{\frown}{AB}$ sowie der Strecke $[BD]$ begrenzten Fläche berechnen.

Dazu berechnet man zunächst die Fläche des Kreissektors mit Mittelpunkt $B$ und Radius $\overline{BD}$. Der für diese Rechnung benötigte Winkel ist $\sphericalangle DBA = 60°$. Dann ist der Flächeninhalt des Kreissektors gegeben durch:

$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\sphericalangle DBA}{360°}\cdot \overline{BD}^2 \cdot \pi = \dfrac{60°}{360°} \cdot (6 \ \text{cm})^2 \cdot \pi = 6 \pi = 18{,}85 \ \text{cm}^2.$

Das Gleiche machst du nun auch für den Kreissektor mit Mittelpunkt $D$ und Radius $\overline{BD}$. Wir erhalten erneut:

$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\sphericalangle ADB}{360°}\cdot \overline{BD}^2 \cdot \pi = \dfrac{60°}{360°} \cdot (6 \ \text{cm})^2 \cdot \pi = 6 \pi = 18{,}85 \ \text{cm}^2.$

Bei diesem Vorgehen wird nun aber der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks $ABD$ doppelt berechnet. Dessen Flächeninhalt berechnet sich zu

und muss einmal abgezogen werden. Insgesamt findest du damit also für die Fläche der beschriebenen Figur:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} A_{\text{Figur}} &=& 2 \cdot A_{\text{Sektor}} - A_{\text{ABD}} + A_{\text{Dreieck}} \\ &=& 2 \cdot 18{,}85 \ \text{cm}^2 - 15{,}2 \ \text{cm}^2 + 6{,}08 \ \text{cm}^2 \\ &=& 28{,}19 \ \text{cm}^2. \end{array}$

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass für den Umfang $u$ allgemein gilt:

Die einzige Größe, die in dieser Formel noch nicht gegeben oder berechnet wurde, ist der Winkel $\sphericalangle OBA$. Ihn zu berechnen, funktioniert mithilfe des Kosinussatzes wie folgt:

Wir betrachten das Dreieck $MBO$. Der Kosinussatz lautet:

Du weißt bereits, dass $\overline{MO} = 4{,}20 \ \text{cm}$ und $\overline{BM} = 3{,}00 \ \text{cm}$ ist. Weiter ist $\overline{OB} = 6{,}00 \ \text{cm}$, denn die Strecke $[OB]$ ist der Radius des Kreissektors und damit ist die Länge $\overline{OB} = \overline{BC} = 6 \ \text{cm}$. Setzen wir diese Zahlenwerte in die Formel von oben ein und lösen nach $\cos(\sphericalangle OBM)$ auf, so erhalten wir:

Für unseren gesuchten Winkel $\sphericalangle{OBA}$ gilt schließlich:

Damit kannst du nun den Umfang mithilfe der oben aufgestellten Formel berechnen. Der Umfang ist:

$u = 2 \cdot \dfrac{100{,}54°}{360°} \cdot 2 \pi \cdot 6 \ \text{cm} + 2 \cdot 2{,}8 \ \text{cm} + 5{,}2 \ \text{cm} = 31{,}86 \ \text{cm}.$

Der benötigte Faden ist gemäß Angabe um $200\;\%$ größer als der Umfang $u$ der Vorlage, das bedeutet, die benötigte Fadenlänge $l_{\text{Faden}}$ ist:

$l_{\text{Faden}} = \dfrac{(100\;\% + 200\;\%) \cdot 31{,}86 \ \text{cm}}{100\;\%} = 95{,}58 \ \text{cm}.$

Auf einer Rolle befinden sich $500$ m Faden. In cm entspricht dies einer Länge $l_{\text{Rolle}}$ von

Um die Anzahl $N$ der Logos, die gedruckt werden können, zu berechnen, musst du nun den folgenden Quotienten berechnen:

Insgesamt können also $523$ Logos mit dem zur Verfügung stehenden Faden genäht werden.