Zur Berechnung der Streckenlänge $\overline{CM}$ kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $CMB$ verwenden. In diesem Dreieck ist $[BC]$ die Hypotenuse der Länge $\overline{BC}=6\text{cm}$, da der rechte Winkel beim Punkt $M$ liegt. Beachtest du, dass $\overline{BM}=3\text{cm}$ gegeben ist und bezeichnen $\overline{CM}=x$, so gilt allgemein:

$x^2+{\overline{BM}}^2={\overline{BC}}^2.$

Setzt du nun die konkreten Zahlenwerte ein und löst die Gleichung nach $x$ auf, so erhältst du:

Ziehst du nun aus $x^2=27$ die Wurzel, so erhältst du $x=3\sqrt{3}\approx \mathrm{5,20}\text{cm}$. Dabei solltest du die Lösung mit dem negativen Vorzeichen vernachlässigen, da eine negative Streckenlänge im Anwendungskontext sinnlos ist.

Um den angegebenen Winkel zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten:

Variante 1: Verwendung der Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Dreiecke $ABD$ und $BCD$ gleichschenklig sind. Du weißt, dass in gleichschenkligen Dreiecken die beiden Basiswinkel immer den Wert $60°$annehmen. Also kannst du berechnen:

Variante 2: Verwende den Kosinus

Falls du die Argumentation mithilfe der gleichschenkligen Dreiecke in Variante 1 nicht direkt gesehen hast, kannst du den gesuchten Winkel natürlich auch berechnen. Dazu betrachten wir das Dreieck $MBC$. Den Winkel $\sphericalangle CBM$ in diesem Dreieck kannst du zum Beispiel über den Kosinus berechnen:

$\cos (\sphericalangle CBM)={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}={\displaystyle \frac{\overline{MB}}{\overline{BC}}}={\displaystyle \frac{3\text{cm}}{6\text{cm}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Wendest du nun die Umkehrfunktion des Kosinus an, so erhältst du für den Winkel $\sphericalangle CBM$:

${\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=60°$

Insgesamt gilt nun $\beta =\sphericalangle CBA=2\cdot \sphericalangle CBM=2\cdot 60°=120°.$

Firmenlogo

In Aufgabe a) wurde $\overline{CM}=\mathrm{5,2}\text{cm}$ berechnet. Die Zeichnung erfolgt mithilfe dieses Ergebnisses.

Das fertige Firmenlogo sieht dann so aus.

Um die Streckenlänge $\overline{MG}$ zu berechnen, musst du bei dieser Teilaufgabe den Strahlensatz verwenden. Es gilt die Verhältnisgleichung:

Wenn du diese Gleichung nun nach der gesuchten Streckenlänge $\overline{MG}$ umstellst, so erhältst du:

$\overline{MG}=\mathrm{0,6}\cdot \overline{MH}=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{6,5}\text{cm}=\mathrm{3,9}\text{cm}.$

Die Berechnung der zweiten Streckenlänge $\overline{OR}$ ist etwas komplizierter, denn neben dem Strahlensatz musst du hier auch den Satz des Pythagoras verwenden.

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du zunächst die Streckenlänge $\overline{MR}$ berechnen. Im Dreieck $MHR$ gilt nämlich:

Da $\overline{MH}=\mathrm{6,5}\text{cm}$ und $\overline{RQ}=\mathrm{5,2}\text{cm}$ gegeben sind, kannst du dies direkt einsetzen und erhältst:

Ziehst du nun die Wurzel und vernachlässigst wie oben die Lösung mit dem negativen Vorzeichen, so gilt:

Nun sollte man feststellen, dass nach dem Strahlensatz die Verhältnisgleichung

gilt. Diese kannst du direkt nach der einzigen noch unbekannten Größe $\overline{MO}$ auflösen und gleichzeitig dein oben berechnetes Ergebnis für $\overline{MR}$ einsetzen:

$\overline{MO}=\mathrm{0,6}\cdot \overline{MR}=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{7,00}\text{cm}=\mathrm{4,20}\text{cm}.$

Mit diesen beiden Ergebnissen berechnet sich die gesuchte Strecke $\overline{OR}$ zu:

$\overline{OR}=\overline{MR}-\overline{MO}=\mathrm{7,00}\text{cm}-\mathrm{4,20}\text{cm}=\mathrm{2,80}\text{cm}.$

Wir wollen zunächst den Flächeninhalt des Dreiecks $MPO$ berechnen. Dessen Grundseite $\overline{OP}$ ist (indirekt) gegeben, denn nach Aufgabe (c) gilt

$$Die Höhe $\overline{MG}$ hast du in Aufgabe c) berechnet. Es ist $\overline{MG}=\mathrm{3,90}\text{cm}$. Der Flächeninhalt ist also gegeben durch:

$\begin{array}{ccc}{A}_{\text{Dreieck}}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \text{Grundseite}\cdot \text{Höhe}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{MG}\cdot \overline{OP}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{3,90}\text{cm}\cdot \mathrm{3,12}\text{cm}\\ & =& \mathrm{6,08}{\text{cm}}^2.\end{array}$

Jetzt musst du noch den Flächeninhalt der durch die Kreisbögen $\stackrel{⌢}{D}$ und $\stackrel{⌢}{A}$ sowie der Strecke $[BD]$ begrenzten Fläche berechnen.

Dazu berechnet man zunächst die Fläche des Kreissektors mit Mittelpunkt $B$ und Radius $\overline{BD}$. Der für diese Rechnung benötigte Winkel ist $\sphericalangle DBA=60°$. Dann ist der Flächeninhalt des Kreissektors gegeben durch:

$A_{\text{Sektor}}={\displaystyle \frac{\sphericalangle DBA}{360°}}\cdot {\overline{BD}}^2\cdot \pi ={\displaystyle \frac{60°}{360°}}\cdot (6\text{cm}{)}^2\cdot \pi =6\pi =\mathrm{18,85}{\text{cm}}^2.$

Das Gleiche machst du nun auch für den Kreissektor mit Mittelpunkt $D$ und Radius $\overline{BD}$. Wir erhalten erneut:

$A_{\text{Sektor}}={\displaystyle \frac{\sphericalangle ADB}{360°}}\cdot {\overline{BD}}^2\cdot \pi ={\displaystyle \frac{60°}{360°}}\cdot (6\text{cm}{)}^2\cdot \pi =6\pi =\mathrm{18,85}{\text{cm}}^2.$

Bei diesem Vorgehen wird nun aber der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks $ABD$ doppelt berechnet. Dessen Flächeninhalt berechnet sich zu

und muss einmal abgezogen werden. Insgesamt findest du damit also für die Fläche der beschriebenen Figur:

$\begin{array}{ccc}{A}_{\text{Figur}}& =& 2\cdot A_{\text{Sektor}}-A_{\text{ABD}}+A_{\text{Dreieck}}\\ & =& 2\cdot \mathrm{18,85}{\text{cm}}^2-\mathrm{15,2}{\text{cm}}^2+\mathrm{6,08}{\text{cm}}^2\\ & =& \mathrm{28,19}{\text{cm}}^2.\end{array}$

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass für den Umfang $u$ allgemein gilt:

Die einzige Größe, die in dieser Formel noch nicht gegeben oder berechnet wurde, ist der Winkel $\sphericalangle OBA$. Ihn zu berechnen, funktioniert mithilfe des Kosinussatzes wie folgt:

Wir betrachten das Dreieck $MBO$. Der Kosinussatz lautet:

Du weißt bereits, dass $\overline{MO}=\mathrm{4,20}\text{cm}$ und $\overline{BM}=\mathrm{3,00}\text{cm}$ ist. Weiter ist $\overline{OB}=\mathrm{6,00}\text{cm}$, denn die Strecke $[OB]$ ist der Radius des Kreissektors und damit ist die Länge $\overline{OB}=\overline{BC}=6\text{cm}$. Setzen wir diese Zahlenwerte in die Formel von oben ein und lösen nach $\cos (\sphericalangle OBM)$ auf, so erhalten wir:

Für unseren gesuchten Winkel $\sphericalangle OBA$ gilt schließlich:

Damit kannst du nun den Umfang mithilfe der oben aufgestellten Formel berechnen. Der Umfang ist:

$u=2\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{100,54}°}{360°}}\cdot 2\pi \cdot 6\text{cm}+2\cdot \mathrm{2,8}\text{cm}+\mathrm{5,2}\text{cm}=\mathrm{31,86}\text{cm}.$

Der benötigte Faden ist gemäß Angabe um $200\%$ größer als der Umfang $u$ der Vorlage, das bedeutet, die benötigte Fadenlänge $l_{\text{Faden}}$ ist:

$l_{\text{Faden}}={\displaystyle \frac{(100\%+200\%)\cdot \mathrm{31,86}\text{cm}}{100\%}}=\mathrm{95,58}\text{cm}.$

Auf einer Rolle befinden sich $500$ m Faden. In cm entspricht dies einer Länge $l_{\text{Rolle}}$ von

Um die Anzahl $N$ der Logos, die gedruckt werden können, zu berechnen, musst du nun den folgenden Quotienten berechnen:

Insgesamt können also $523$ Logos mit dem zur Verfügung stehenden Faden genäht werden.