Für diese Teilaufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Pyramide

Die Formel für das Volumen der Pyramide ist:

wobei $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ist und $\overline{MS}$ die Höhe. Um das Volumen zu berechnen gehst du so vor:

1. Berechne $G$

2. Berechne $\overline{MS}$

3. Setze alles in die Formel ein.

1. Berechnung von $G$

Die Grundfläche der Pyramide ist das Drachenviereck $ABCD$. Mit der Formel für den Flächeninhalt von Drachenvierecken kannst du den Flächeninhalt von $ABCD$ berechnen. $\overline{BD}$ und $\overline{AC}$ sind die Diagonalen des Drachenvierecks. Also gilt:

$G = \dfrac{\overline{BD} \cdot \overline{AC}}{2} = \dfrac{9\;\text{cm} \cdot 12\;\text{cm}}{2} = 54\;\text{cm}^2.$

2. Berechnung von $\overline{MS}$

Die Höhe $\overline{MS}$ der Pyramide kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen: Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck $MCS$:

Du kennst die Seitenlängen $\overline{MC} = 8\;\text{cm}$ und $\overline{CS} = 10\;\text{cm}$. Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du nun die Seitenlänge $\overline{MS}$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} \overline{MC}^2 + \overline{MS}^2 &=& \overline{CS}^2 \\ 8^2\;\text{cm}^2 + \overline{MS}^2 &=& 10^2\;\text{cm}^2 \\ 64\;\text{cm}^2 + \overline{MS}^2 &=& 100\;\text{cm}^2 &|- 64\;\text{cm}^2\\ \overline{MS}^2 &=& 36\;\text{cm}^2 &|\surd \\ \overline{MS} &=& 6\;\text{cm} \end{array}$

3. Einsetzen in die Formel

Wenn du die beiden Werte, die du gerade berechnet hast, in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzt, erhältst du:

$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot \overline{MS} = \frac{1}{3}\cdot\ 54\;\text{cm}^2 \cdot 6\;\text{cm} = 108\;\text{cm}^3.$

Die Situation aus der Aufgabenstellung siehst du in dieser Animation veranschaulicht. Die Animation zeigt, wie sich die Pyramide $BC_2DS_2$ verändert, wenn man verschiedene Werte für $x$ einsetzt.

Die Pyramide $BC_1DS_1$, welche entsteht, wenn du für $x$ den Wert $1{,}5$ einsetzt, zeichnest du so ein:

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Du kannst hier folgendermaßen vorgehen:

1. Rechne das um $70\;\%$ verkleinerte Volumen der Pyramide $ABCDS$ aus. Dies ist das gewünschte Volumen der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$.

2. Berechne das Volumen $V(x)$ der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$ in Abhängigkeit von $x$.

3. Setze $V(x) = \text{"gewünschtes Volumen"}$ und löse nach $x$ auf.

1. Berechnung des gewünschten Volumens

Das Volumen der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$ soll um $70\;\%$ kleiner als das der Pyramide $ABCDS$ sein. In Teilaufgabe a) hast du schon das Volumen der Pyramide $ABCDS$ berechnet:

Um herauszufinden, wie groß dieses Volumen wird, wenn man es um $70\;\%$ verkleinert, wendest du die übliche Formel für die Prozentrechnung an.

Als Grundwert nimmst du $G = 108\text{cm}^3$, da das der Wert ist, den du um $70\;\%$ verkleinern willst.

Als Prozentsatz $p$ nimmst du $100\;\% - 70\;\% = 30\;\%$, also $p = 0{,}3$. Denn du willst das Volumen um $70\;\%$ verkleinern, das heißt, du willst $30\;\%$ des ursprünglichen Volumens haben.

Gesucht ist der Prozentwert $W$. Mit der Formel für die Prozentrechnung erhältst du:

Das Volumen der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$ soll also $32{,}4\;\text{cm}^3$ betragen.

2. Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von $x$

Wie du in der Animation sehen kannst, ist $BC_2DS_2$ eine Pyramide, deren Volumen von $x$ abhängig ist. Das liegt daran, dass zwei Längen in der Pyramide von $x$ abhängen:

• Um die Streckenlänge $\overline{MC_2}$ zu erhalten, wird die Streckenlänge $\overline{MC} = 8\;\text{cm}$ um $2x\; \text{cm}$ verkürzt. Also gilt:

• Die Streckenlänge $\overline{MS}$ hast du schon in Aufgabe a) berechnet. Das war die Höhe der Pyramide $ABCDS$: $\overline{MS} = 6\;\text{cm}$. Um die Streckenlänge $\overline{MS_2}$ zu erhalten, wird diese Strecke um $x \;\text{cm}$ verlängert. Also gilt:

Indem du diese beiden Werte in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzt, erhältst du das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ in Abhängigkeit von $x$. Die Formel lautet: $V(x) = \frac{1}{3}\cdot G \cdot \overline{MS_2}$. Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche von $BC_2DS_2$ und $\overline{MS_2}$ die Höhe.

Die Grundfläche von $BC_2DS_2$ ist ein Dreieck (genauer: Das Dreieck $BC_2D$). Dessen Grundseite ist $[BD]$ mit Seitenlänge $\overline{BD} = 9\text{cm}$. Die Höhe des Dreiecks ist $\overline{MC_2} = (8 - 2x)\;\text{cm}.$ Also ist der Flächeninhalt:

Die Höhe von $BC_2DS_2$ ist:

$\overline{MS_2} = (6 + x)\;\text{cm}$.

Also ist das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ :

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3}\cdot G \cdot \overline{MS_2} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot (36 - 9x)\;\text{cm}^2 \cdot (6 + x)\;\text{cm} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}(36 - 9x)(6 + x)\;\text{cm}^3 \\\\ &=& (-3x^2 - 6x + 72)\;\text{cm}^3. \end{array}$

3. $V(x) = \text{"gewünschtes Volumen"}$

Nun hast du eine Formel $V(x)$ für das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ in Abhängigkeit von $x$ (2. Schritt) und den Wert $32{,}4\;\text{cm}^3$, den das Volumen annehmen soll (1. Schritt). Gesucht ist der $x$-Wert $(x \in \mathbb{R}, 0 < x < 4)$, bei dem dieses Volumen angenommen wird. Dazu setzt du $V(x) = 32{,}4\;\text{cm}^3$ und löst nach $x$ auf:

Nun bekommst du mit der Mitternachtsformel die Lösungen dieser Quadratischen Gleichung:

Die Lösung $x_1$ ist hier nicht von Bedeutung, da nur $x$ mit $0 < x < 4$ gesucht sind.

Das $x$, für welches die Pyramide $BC_2DS_2$ das Volumen $32{,}4\;\text{cm}^3$ annimmt, ist also $x = x_2 = 2{,}77.$

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens.

Der Winkel $S_3C_3M$ hängt - genau wie das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ - von $x$ ab. Das siehst du auch in der Animation oben. Um herauszufinden für welches $x$ der türkise Winkel im Bild (also $S_3C_3M$) den Wert $72°$ annimmt, betrachstest du das rechtwinklige Dreieck $MC_3S_3$, das in der Animation rot eingefärbt ist.

Von diesem kennst du die Seitenlängen $\overline{MS_3} = (6 + x)\;\text{cm}$ und $\overline{MC_3} = (8 - 2x)\;\text{cm}$. Die Strecke $[MS_3]$ ist die Gegenkathete des Winkels $S_3C_3M$, die Strecke $[MC_3]$ ist seine Ankathete. Wenn du die Gegenkathehe und die Ankathete eines Winkels gegeben hast, kannst du den Tangens anwenden:

Nun löst du diese Gleichung nach $x$ auf:

Zum Schluss setzt du den erhaltenen Wert für $x$ in den Taschenrechner ein und rundest auf zwei Nachkommastellen:

$x = \dfrac{8\cdot \tan(72°) - 6}{1 + 2\cdot\tan(72°)} \approx 2{,}60.$