Nachtermin Teil A

Bei dem Viereck $ABCD$ handelt es sich um ein Trapez. Die Formel für den Flächeninhalt ist also:

Die Seitenlängen $\color{009999} \overline{AB}$ und $\color{009999} \overline{CD}$ sind bereits gegeben, dir fehlt also nur noch die Höhe $\color{cc0000} \overline{AD}$ des Trapezes, um dessen Flächeninhalt zu berechnen.

Um auf die Höhe zu kommen, betrachtest du das rechtwinklige Dreieck $EBC$ (im Bild rot Markiert):

Du kannst wie folgt vorgehen:

1. Berechne den Winkel $\sphericalangle{CBE}$ des Dreiecks

2. Berechne die Seitenlänge $\overline{BE}$ des Dreiecks.

3. Berechne mithilfe des Tangens die Höhe $\overline{CE}$ des Dreiecks.

$\overline{CE}$ ist genauso lang wie $\overline{AD}$. Das ist also die gesuchte Höhe des Trapezes.

1: Berechnung des Winkels $\sphericalangle CBE$

2: Berechnung der Seitenlänge $\overline{BE}$

3: Berechnung der Höhe $\overline{CE}$

Nun hast du ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem du eine Seitenlänge und einen weiteren Winkel kennst. Das reicht aus, um alle anderen Seitenlängen und Winkel auszurechnen. Falls du das noch nicht wusstest, siehe Sinus, Kosinus und Tangens. Das heißt, du kannst nun die Höhe des Dreiecks berechnen:

Du hast in den beiden vorherigen Schritten einen Winkel des Dreiecks ($\color{009999}\sphericalangle CBE = 65°$) und dessen Ankathete ($\color{009999} \overline{BE} = 3{,}5~\text{cm}$) berechnet. Gesucht ist die Gegenkathete $\color{cc0000}\overline{CE}$ dieses Winkels, denn das ist die Höhe des Dreiecks. Also musst du hier den Tangens benutzen:

Jetzt hast du die Höhe des Trapezes: $\overline{AD}=\overline{CE}=7{,}5\ \text{cm}$.

Du musst das also nur noch in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen:

Das Trapez hat also einen Flächeninhalt von $52{,}1\ \text{cm}^2$.

In dieser Aufgabe geht es um einen Kreissektor. Die Formel für den Flächeninhalt ist:

Dabei ist $A_{Sektor}$ der Flächeninhalt des Kreissektors, $\alpha$ der Mittelpunktswinkel und $r$ der Radius. Gesucht ist $r$. Um $r$ zu ermitteln, berechnest du $A_{Sektor}$ und $\alpha$ und stellst dann die Formel nach $r$ um.

Berechnung von $A_{Sektor}$

Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt laut Aufgabenstellung $5\;\%$ von dem Flächeninhalt des Trapezes. Diesen kennst du aus der vorherigen Aufgabe: $A_{Trapez} = 52{,}1\text{cm}^2$. Also kannst du nun mit der Formel für die Prozentrechnung $A_{Sektor}$ berechnen:

Berechnung von $\alpha$

Der Mittelpunktswinkel des Kreissektors ist laut Aufgabenstellung der Winkel $\sphericalangle CBA.$ Dieser entspricht dem Winkel $\sphericalangle CBE = 65°$, den du schon in Aufgabe a) berechnet hast.

Berechnung von r durch Umstellen der Formel

Setzt du nun alles in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissektors ein, erhältst du:

Also ist der Radius des Kreissektors $2{,}1\ \text{cm}.$

Für diese Teilaufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Pyramide

Die Formel für das Volumen der Pyramide ist:

wobei $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ist und $\overline{MS}$ die Höhe. Um das Volumen zu berechnen gehst du so vor:

1. Berechne $G$

2. Berechne $\overline{MS}$

3. Setze alles in die Formel ein.

1. Berechnung von $G$

Die Grundfläche der Pyramide ist das Drachenviereck $ABCD$. Mit der Formel für den Flächeninhalt von Drachenvierecken kannst du den Flächeninhalt von $ABCD$ berechnen. $\overline{BD}$ und $\overline{AC}$ sind die Diagonalen des Drachenvierecks. Also gilt:

$G = \dfrac{\overline{BD} \cdot \overline{AC}}{2} = \dfrac{9\;\text{cm} \cdot 12\;\text{cm}}{2} = 54\;\text{cm}^2.$

2. Berechnung von $\overline{MS}$

Die Höhe $\overline{MS}$ der Pyramide kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen: Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck $MCS$:

Du kennst die Seitenlängen $\overline{MC} = 8\;\text{cm}$ und $\overline{CS} = 10\;\text{cm}$. Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du nun die Seitenlänge $\overline{MS}$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} \overline{MC}^2 + \overline{MS}^2 &=& \overline{CS}^2 \\ 8^2\;\text{cm}^2 + \overline{MS}^2 &=& 10^2\;\text{cm}^2 \\ 64\;\text{cm}^2 + \overline{MS}^2 &=& 100\;\text{cm}^2 &|- 64\;\text{cm}^2\\ \overline{MS}^2 &=& 36\;\text{cm}^2 &|\surd \\ \overline{MS} &=& 6\;\text{cm} \end{array}$

3. Einsetzen in die Formel

Wenn du die beiden Werte, die du gerade berechnet hast, in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzt, erhältst du:

$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot \overline{MS} = \frac{1}{3}\cdot\ 54\;\text{cm}^2 \cdot 6\;\text{cm} = 108\;\text{cm}^3.$

Die Situation aus der Aufgabenstellung siehst du in dieser Animation veranschaulicht. Die Animation zeigt, wie sich die Pyramide $BC_2DS_2$ verändert, wenn man verschiedene Werte für $x$ einsetzt.

Die Pyramide $BC_1DS_1$, welche entsteht, wenn du für $x$ den Wert $1{,}5$ einsetzt, zeichnest du so ein:

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Du kannst hier folgendermaßen vorgehen:

1. Rechne das um $70\;\%$ verkleinerte Volumen der Pyramide $ABCDS$ aus. Dies ist das gewünschte Volumen der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$.

2. Berechne das Volumen $V(x)$ der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$ in Abhängigkeit von $x$.

3. Setze $V(x) = \text{"gewünschtes Volumen"}$ und löse nach $x$ auf.

1. Berechnung des gewünschten Volumens

Das Volumen der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$ soll um $70\;\%$ kleiner als das der Pyramide $ABCDS$ sein. In Teilaufgabe a) hast du schon das Volumen der Pyramide $ABCDS$ berechnet:

Um herauszufinden, wie groß dieses Volumen wird, wenn man es um $70\;\%$ verkleinert, wendest du die übliche Formel für die Prozentrechnung an.

Als Grundwert nimmst du $G = 108\text{cm}^3$, da das der Wert ist, den du um $70\;\%$ verkleinern willst.

Als Prozentsatz $p$ nimmst du $100\;\% - 70\;\% = 30\;\%$, also $p = 0{,}3$. Denn du willst das Volumen um $70\;\%$ verkleinern, das heißt, du willst $30\;\%$ des ursprünglichen Volumens haben.

Gesucht ist der Prozentwert $W$. Mit der Formel für die Prozentrechnung erhältst du:

Das Volumen der Pyramide $BC_{2}DS_{2}$ soll also $32{,}4\;\text{cm}^3$ betragen.

2. Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von $x$

Wie du in der Animation sehen kannst, ist $BC_2DS_2$ eine Pyramide, deren Volumen von $x$ abhängig ist. Das liegt daran, dass zwei Längen in der Pyramide von $x$ abhängen:

• Um die Streckenlänge $\overline{MC_2}$ zu erhalten, wird die Streckenlänge $\overline{MC} = 8\;\text{cm}$ um $2x\; \text{cm}$ verkürzt. Also gilt:

• Die Streckenlänge $\overline{MS}$ hast du schon in Aufgabe a) berechnet. Das war die Höhe der Pyramide $ABCDS$: $\overline{MS} = 6\;\text{cm}$. Um die Streckenlänge $\overline{MS_2}$ zu erhalten, wird diese Strecke um $x \;\text{cm}$ verlängert. Also gilt:

Indem du diese beiden Werte in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzt, erhältst du das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ in Abhängigkeit von $x$. Die Formel lautet: $V(x) = \frac{1}{3}\cdot G \cdot \overline{MS_2}$. Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche von $BC_2DS_2$ und $\overline{MS_2}$ die Höhe.

Die Grundfläche von $BC_2DS_2$ ist ein Dreieck (genauer: Das Dreieck $BC_2D$). Dessen Grundseite ist $[BD]$ mit Seitenlänge $\overline{BD} = 9\text{cm}$. Die Höhe des Dreiecks ist $\overline{MC_2} = (8 - 2x)\;\text{cm}.$ Also ist der Flächeninhalt:

Die Höhe von $BC_2DS_2$ ist:

$\overline{MS_2} = (6 + x)\;\text{cm}$.

Also ist das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ :

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3}\cdot G \cdot \overline{MS_2} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot (36 - 9x)\;\text{cm}^2 \cdot (6 + x)\;\text{cm} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}(36 - 9x)(6 + x)\;\text{cm}^3 \\\\ &=& (-3x^2 - 6x + 72)\;\text{cm}^3. \end{array}$

3. $V(x) = \text{"gewünschtes Volumen"}$

Nun hast du eine Formel $V(x)$ für das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ in Abhängigkeit von $x$ (2. Schritt) und den Wert $32{,}4\;\text{cm}^3$, den das Volumen annehmen soll (1. Schritt). Gesucht ist der $x$-Wert $(x \in \mathbb{R}, 0 < x < 4)$, bei dem dieses Volumen angenommen wird. Dazu setzt du $V(x) = 32{,}4\;\text{cm}^3$ und löst nach $x$ auf:

Nun bekommst du mit der Mitternachtsformel die Lösungen dieser Quadratischen Gleichung:

Die Lösung $x_1$ ist hier nicht von Bedeutung, da nur $x$ mit $0 < x < 4$ gesucht sind.

Das $x$, für welches die Pyramide $BC_2DS_2$ das Volumen $32{,}4\;\text{cm}^3$ annimmt, ist also $x = x_2 = 2{,}77.$

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens.

Der Winkel $S_3C_3M$ hängt - genau wie das Volumen der Pyramide $BC_2DS_2$ - von $x$ ab. Das siehst du auch in der Animation oben. Um herauszufinden für welches $x$ der türkise Winkel im Bild (also $S_3C_3M$) den Wert $72°$ annimmt, betrachstest du das rechtwinklige Dreieck $MC_3S_3$, das in der Animation rot eingefärbt ist.

Von diesem kennst du die Seitenlängen $\overline{MS_3} = (6 + x)\;\text{cm}$ und $\overline{MC_3} = (8 - 2x)\;\text{cm}$. Die Strecke $[MS_3]$ ist die Gegenkathete des Winkels $S_3C_3M$, die Strecke $[MC_3]$ ist seine Ankathete. Wenn du die Gegenkathehe und die Ankathete eines Winkels gegeben hast, kannst du den Tangens anwenden:

Nun löst du diese Gleichung nach $x$ auf:

Zum Schluss setzt du den erhaltenen Wert für $x$ in den Taschenrechner ein und rundest auf zwei Nachkommastellen:

$x = \dfrac{8\cdot \tan(72°) - 6}{1 + 2\cdot\tan(72°)} \approx 2{,}60.$

Gesucht ist die Änderungsrate ($\text{hPa}$ pro $\text{km}$) der Funktion $f$. Diese kannst Du wie folgt aus der Funktionsgleichung $y=1013\cdot0{,}87^x$ ablesen:

Die Änderungsrate ist "$1 -$ Basis", d.h. $1-0{,}87=0{,}13$.

Der Luftdruck sinkt also pro Kilometer Höhe um $13\;\%$.

Die Frage ist: Welches $x$ (Höhe) muss man einsetzen, damit als $y$-Wert (Luftdruck) $460$ rauskommt?

Um das herauszufinden, markierst du im Bild zunächst auf der $y$-Achse den Wert $460.$ Als Nächstes markierst du den Punkt auf dem Graphen mit dieser $y$-Koordinate. Von diesem Punkt liest Du schließlich die gesuchte $x$-Koordinate ab.

Die Höhe, in der der Luftdruck $460\ \text{hPa}$ beträgt, ist also $5{,}7 \;\text{km}$.

Hier benötigst du zusätzlich als Grundwissen: Prozentrechnung

Man unterteilt die Lösung dieser Aufgabe in drei Schritte:

1. Als erstes berechnet man den Luftdruck in der Höhe $11\; \text{km}$ mithilfe der Faustregel.

2. Dann berechnet man den Luftdruck in der Höhe $11\; \text{km}$ mithilfe der Funktion $f$.

3. Schließlich rechnet man aus, um wie viel Prozent der Wert für den Luftdruck, den man mit der Faustregel erhalten hat, von dem Wert abweicht, den man mithilfe von $f$ erhalten hat.

1. Berechnung mit der Faustregel

Da $11 = 2\cdot5{,}5$ gilt, halbiert sich der Luftdruck zweimal:

Einmal nach $5{,}5$ Kilometern und dann noch einmal nach $5{,}5$ (also insgesamt $11$) Kilometern.

Insgesamt erhältst du also ein Viertel des Anfangswertes:

Das heißt: Der Luftdruck in der Höhe $11 \;\text{km}$ beträgt $253\;\text{hpa}$.

2. Berechnung mit der Funktion

Dazu setzt du den $x$-Wert $11$ in die Funktionsgleichung ein:

Der Luftdruck in $11\;\text{km}$ Höhe beträgt also $219\;\text{hPa}$.

3. Berechnung der Abweichung in Prozent

Dazu setzt du die gegebenen Werte in die übliche Formel für Prozentrechnung ein.

Als Grundwert nimmst du $G = 219$, da du wissen willst, um wie viel Prozent der Faustregelwert von diesem Wert abweicht.

Als Prozentwert nimmst du $W=253-219=34^{ }$: Das ist der Unterschied zwischen den beiden Werten, die du vergleichen sollst.

Gesucht ist der Prozentsatz $p$ (also der prozentuale Unterschied zwischen $G$ und $W$). Die Formel liefert:

Der mit der Faustregel errechnete Luftdruck ist also um $16\;\%$ höher als der Wert, der sich aus der Funktion $f$ ergibt.