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Aufgaben
1.0 Die Skizze unten zeigt das Viereck ABCDABCD mit folgenden Maßen:
AB=8,7 cm;    CD=5,2 cmBAD=ADC=90;    DCB=115\overline{AB}=8,7 \ \text{cm};\;\;\overline{CD}=5,2 \ \text{cm}\\\angle BAD=\angle ADC=90^\circ;\;\;\angle DCB=115^\circ
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
Viereck
1.1 Berechnen Sie den Flächeninhalt AA des Vierecks ABCDABCD.
[Ergebnis: A=52,1 cm2A=52,1 \ \text{cm}^2]
1.2 Der Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Mittelpunkt BB und dem Mittelpunktswinkel CBA\angle CBA beträgt 5%5 \% des Flächeninhalts des Vierecks ABCDABCD. Berechnen Sie den Radius r r des Kreissektors.
1.1
Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Hier gehst du zum Beispiel so vor: Überlege dir zuerst, welche Art von Viereck ABCDABCD ist. Wende dann die Formel für den Flächeninhalt dieses Vierecks an und überprüfe, welche Längen du gegeben hast und welche gesucht sind. Berechne dann die fehlenden Längen. Setze zum Schluss alles in die Formel ein.
Bei dem Viereck ABCDABCD handelt es sich um ein Trapez. Die Formel für den Flächeninhalt ist also:
A=ADAB+CD2\displaystyle A = \overline{AD} \cdot \frac{\overline{AB} + \overline{CD}}{2}
Die Seitenlängen AB\color{009999} \overline{AB} und CD\color{009999} \overline{CD} sind bereits gegeben, dir fehlt also nur noch die Höhe AD\color{cc0000} \overline{AD} des Trapezes, um dessen Flächeninhalt zu berechnen.
Um auf die Höhe zu kommen, betrachtest du das rechtwinklige Dreieck EBCEBC (im Bild rot Markiert):
Du kannst wie folgt vorgehen:
  1. Berechne den Winkel CBE\angle{CBE} des Dreiecks
  2. Berechne die Seitenlänge BE\overline{BE} des Dreiecks.
  3. Berechne mithilfe des Tangens die Höhe CE\overline{CE} des Dreiecks.
CE\overline{CE} ist genauso lang wie AD \overline{AD}. Das ist also die gesuchte Höhe des Trapezes.

1: Berechnung des Winkels CBE\angle{CBE}

Die Innenwinkelsumme eines Trapezes beträgt immer 360°360°. Da du bereits drei Winkel des Trapezes kennst, kannst du damit den fehlenden Winkel ausrechnen:
90°+90°+115°+CBE=360°295°+CBE=360°295°CBE=65°\begin{array}{rcll} \color{009999} 90° + 90° + 115° +\color{cc0000} \angle{CBE} &=& 360°\\ 295° + \angle{CBE} &=& 360° &| - 295°\\ \angle CBE &=& 65° \end{array}

2: Berechnung der Seitenlänge BE\overline{BE}

Gegeben ist die Seitenlänge

AB=8,7cm\color{009999}\overline{AB} = 8,7 \text{cm}.

Außerdem gilt:

AE=CD\overline{AE} = \overline{CD}.

Die Länge CD=5,2cm\color{009999}\overline{CD} = 5,2\text{cm} ist gegeben.
Daher kannst du folgern:

AE=5,2cm\overline{AE} = 5,2\text{cm}

Und damit kommst du auf die gesuchte Seitenlänge BE\color{cc0000}\overline{BE}:

BE=ABAE=8,7cm5,2cm=3,5cm\begin{array}{rcl} \overline{BE} &=& \overline{AB} - \overline{AE} \\ &=& 8,7\text{cm} - 5,2\text{cm} = 3,5\text{cm} \end{array}

3: Berechnung der Höhe CE\overline{CE}

Nun hast du ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem du eine Seitenlänge und einen weiteren Winkel kennst. Das reicht aus, um alle anderen Seitenlängen und Winkel auszurechnen. Falls du das noch nicht wusstest, siehe Sinus, Kosinus und Tangens. Das heißt, du kannst nun die Höhe des Dreiecks berechnen:
Du hast in den beiden vorherigen Schritten einen Winkel des Dreiecks (CBE=65°\color{009999}\angle CBE = 65°) und dessen Ankathete (BE=3,5cm\color{009999} \overline{BE} = 3,5\text{cm}) berechnet. Gesucht ist die Gegenkathete CE\color{cc0000}\overline{CE} dieses Winkels, denn das ist die Höhe des Dreiecks. Also musst du hier den Tangens benutzen:
tan(65°)=GegenkatheteAnkathete=CEBE=CE3,5cm\begin{array}{rcl} \tan(65°) &=& \dfrac{Gegenkathete}{Ankathete} \\\\ &=& \dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}} \\\\ &=& \dfrac{\overline{CE}}{3,5\text{cm}} \\ \end{array}
Nun multiplizierst du mit 3,5cm3,5\text{cm}:
tan(65°)3,5cm=CE7,5cm=CE\begin{array}{rcl} \tan(65°)\cdot 3,5\text{cm} &=& \overline{CE} \\ 7,5\text{cm} &=& \overline{CE} \end{array}
Jetzt hast du die Höhe des Trapezes: AD=CE=7,5cm\overline{AD} = \overline{CE} = 7,5\text{cm}.
Du musst das also nur noch in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen:
A=ADAB+CD2=7,5cm8,7cm+5,2cm2=52,1cm2\displaystyle A = \overline{AD} \cdot \frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2} = 7,5\text{cm}\cdot \frac{8,7\text{cm} + 5,2\text{cm}}{2} = 52,1\text{cm}^2
Das Trapez hat also einen Flächeninhalt von 52,1cm252,1 \text{cm}^2.
1.2
Hier benötigst du folgendes Grundwissen: Kreissektor
In dieser Aufgabe geht es um einen Kreissektor. Die Formel für den Flächeninhalt ist:
ASektor=α360r2π\displaystyle A_{Sektor} = \frac{\alpha}{360}\cdot r^2\cdot \pi
Dabei ist ASektorA_{Sektor} der Flächeninhalt des Kreissektors, α\alpha der Mittelpunktswinkel und r r der Radius. Gesucht ist r r. Um rr zu ermitteln, berechnest du ASektorA_{Sektor} und α\alpha und stellst dann die Formel nach rr um.
Kreissektor

Berechnung von ASektorA_{Sektor}

Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt laut Aufgabenstellung 5%5\% von dem Flächeninhalt des Trapezes. Diesen kennst du aus der vorherigen Aufgabe: ATrapez=52,1cm2A_{Trapez} = 52,1\text{cm}^2. Also kannst du nun mit der Formel für die Prozentrechnung ASektorA_{Sektor} berechnen:
ASektor=0,0552,1cm2=2,6cm2\displaystyle A_{Sektor} = 0,05 \cdot 52,1 \text{cm}^2 = 2,6 \text{cm}^2

Berechnung von α\alpha

Der Mittelpunktswinkel des Kreissektors ist laut Aufgabenstellung der Winkel CBA.\angle CBA. Dieser entspricht dem Winkel CBE=65°\angle CBE = 65°, den du schon in Aufgabe 1.1 berechnet hast.

Berechnung von r durch Umstellen der Formel

Setzt du nun alles in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissektors ein, erhältst du:
ASektor=α360r2π2,6cm2=65360r2πr=2,6cm21π36065=2,1cm\displaystyle \begin{array}{rcl} A_{Sektor} &=& \dfrac{\alpha}{360}\cdot r^2\cdot \pi \\\\ 2,6 \text{cm}^2 &=& \dfrac{65}{360} \cdot r^2\cdot \pi \\\\ r &=& \sqrt{2,6 \text{cm}^2\cdot \frac{1}{\pi} \cdot \frac{360}{65}} \\\\ &=& 2,1\text{cm} \end{array}
Also ist der Radius des Kreissektors 2,1cm.2,1 \text{cm}.
2.1
Für diese Teilaufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Pyramide
Die Formel für das Volumen der Pyramide ist:
VABCDS=13GMS\displaystyle V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot \overline{MS}
wobei GG der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ist und MS\overline{MS} die Höhe. Um das Volumen zu berechnen gehst du so vor:
  1. Berechne G G
  2. Berechne MS\overline{MS}
  3. Setze alles in die Formel ein.

1.Berechnung von GG

Die Grundfläche der Pyramide ist das Drachenviereck ABCDABCD. Mit der Formel für den Flächeninhalt von Drachenvierecken kannst du den Flächeninhalt von ABCDABCD berechnen. BD\overline{BD} und AC \overline{AC} sind die Diagonalen des Drachenvierecks. Also gilt:
G=BDAC2=9cm12cm2=54cm2.\displaystyle G = \dfrac{\overline{BD} \cdot \overline{AC}}{2} = \dfrac{9\text{cm} \cdot 12\text{cm}}{2} = 54\text{cm}^2.

2.Berechnung von MS\overline{MS}

Die Höhe MS\overline{MS} der Pyramide kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen: Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck MCSMCS:
Du kennst die Seitenlängen MC=8cm\overline{MC} = 8\text{cm} und CS=10cm \overline{CS} = 10\text{cm}. Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du nun die Seitenlänge MS\overline{MS}:
MC2+MS2=CS282cm2+MS2=102cm264cm2+MS2=100cm264cm2MS2=36cm2MS=6cm\displaystyle \begin{array}{rcll} \overline{MC}^2 + \overline{MS}^2 &=& \overline{CS}^2 \\ 8^2\text{cm}^2 + \overline{MS}^2 &=& 10^2\text{cm}^2 \\ 64\text{cm}^2 + \overline{MS}^2 &=& 100\text{cm}^2 &|- 64\text{cm}^2\\ \overline{MS}^2 &=& 36\text{cm}^2 &|\surd \\ \overline{MS} &=& 6\text{cm} \end{array}

3.Einsetzen in die Formel

Wenn du die beiden Werte, die du gerade berechnet hast, in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzt, erhältst du:
VABCDS=13GMS=13 54cm26cm=108cm3.\displaystyle V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot \overline{MS} = \frac{1}{3}\cdot\ 54\text{cm}^2 \cdot 6\text{cm} = 108\text{cm}^3.
2.2
Die Situation aus der Aufgabenstellung siehst du in dieser Animation veranschaulicht. Die Animation zeigt, wie sich die Pyramide BC2DS2BC_2DS_2 verändert, wenn man verschiedene Werte für xx einsetzt.
GeoGebra
Die Pyramide BC1DS1BC_1DS_1, welche entsteht, wenn du für xx den Wert 1,51,5 einsetzt, zeichnest du so ein:
GeoGebra
2.3
Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Du kannst hier folgendermaßen vorgehen:
  1. Rechne das um 70%70\% verkleinerte Volumen der Pyramide ABCDS ABCDS aus. Dies ist das gewünschte Volumen der Pyramide BC2DS2BC_{2}DS_{2}.
  2. Berechne das Volumen V(x)V(x) der Pyramide BC2DS2BC_{2}DS_{2} in Abhängigkeit von xx.
  3. Setze V(x)="gewu¨nschtes Volumen"V(x) = \text{"gewünschtes Volumen"} und löse nach xx auf.

1.Berechnung des gewünschten Volumens

Das Volumen der Pyramide BC2DS2BC_{2}DS_{2} soll um 70%70\% kleiner als das der Pyramide ABCDSABCDS sein. In Teilaufgabe 2.1 hast du schon das Volumen der Pyramide ABCDSABCDS berechnet:
VABCDS=108cm3.\displaystyle V_{ABCDS} = 108\text{cm}^3.
Um herauszufinden, wie groß dieses Volumen wird, wenn man es um 70%70\% verkleinert, wendest du die übliche Formel für die Prozentrechnung an.

Als Grundwert nimmst du G=108cm3G = 108\text{cm}^3, da das der Wert ist, den du um 70%70\% verkleinern willst.

Als Prozentsatz pp nimmst du 100%70%=30%100\% - 70\% = 30\%, also p=0,3p = 0,3. Denn du willst das Volumen um 70%70\% verkleinern, das heißt, du willst 30%30\% des ursprünglichen Volumens haben.

Gesucht ist der Prozentwert WW. Mit der Formel für die Prozentrechnung erhältst du:
W=pG=0,3108cm3=32,4cm3.\displaystyle W = p\cdot G = 0,3 \cdot 108\text{cm}^3 = 32,4\text{cm}^3.
Das Volumen der Pyramide BC2DS2BC_{2}DS_{2} soll also 32,4cm332,4\text{cm}^3 betragen.

2.Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von xx

GeoGebra
Wie du in der Animation sehen kannst, ist BC2DS2BC_2DS_2 eine Pyramide, deren Volumen von xx abhängig ist. Das liegt daran, dass zwei Längen in der Pyramide von xx abhängen:

  • Um die Streckenlänge MC2\overline{MC_2} zu erhalten, wird die Streckenlänge MC=8cm\overline{MC} = 8\text{cm} um 2x  cm2x\; \text{cm} verkürzt. Also gilt:
MC2=8cm2x  cm=(82x)cm.\displaystyle \overline{MC_2} = 8 \text{cm} - 2x \;\text{cm} = (8 - 2x)\text{cm}.
  • Die Streckenlänge MS\overline{MS} hast du schon in Aufgabe 2.1 berechnet. Das war die Höhe der Pyramide ABCDSABCDS: MS=6cm\overline{MS} = 6\text{cm}. Um die Streckenlänge MS2\overline{MS_2} zu erhalten, wird diese Strecke um x  cmx \;\text{cm} verlängert. Also gilt:
MS2=6cm+x  cm=(6+x)cm.\displaystyle \overline{MS_2} = 6\text{cm} + x\;\text{cm} = (6 + x)\text{cm}.
In dem du diese beiden Werte in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzt, erhältst du das Volumen der Pyramide BC2DS2 BC_2DS_2 in Abhängigkeit von xx. Die Formel lautet: V(x)=13GMS2 V(x) = \frac{1}{3}\cdot G \cdot \overline{MS_2}. Dabei ist GG der Flächeninhalt der Grundfläche von BC2DS2BC_2DS_2 und MS2\overline{MS_2} die Höhe.
GeoGebra
Die Grundfläche von BC2DS2BC_2DS_2 ist ein Dreieck (genauer: Das Dreieck BC2DBC_2D). Dessen Grundseite ist [BD][BD] mit Seitenlänge BD=9cm\overline{BD} = 9\text{cm}. Die Höhe des Dreiecks ist MC2=(82x)cm.\overline{MC_2} = (8 - 2x)\text{cm}. Also ist der Flächeninhalt:
G=12BDMC2=129cm(82x)cm=4,5cm(82x)cm=(4,584,52x)cm2=(369x)cm2\displaystyle \begin{array}{rcll} G &=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD} \cdot \overline{MC_2}\\\\ &=& \dfrac{1}{2}\cdot 9\text{cm} \cdot (8 - 2x)\text{cm} \\\\ &=& 4,5\text{cm} \cdot(8 - 2x)\text{cm} \\\\ &=& (4,5\cdot 8 - 4,5\cdot 2x)\text{cm}^2 \\\\ &=& (36 - 9x)\text{cm}^2 \end{array}
GeoGebra
Die Höhe von BC2DS2BC_2DS_2 ist:
MS2=(6+x)cm\overline{MS_2} = (6 + x)\text{cm}.
Also ist das Volumen der Pyramide BC2DS2BC_2DS_2 : V(x)=13GMS2=13(369x)cm2(6+x)cm=13(369x)(6+x)cm3=(3x26x+72)cm3.\begin{array}{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3}\cdot G \cdot \overline{MS_2} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot (36 - 9x)\text{cm}^2 \cdot (6 + x)\text{cm} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}(36 - 9x)(6 + x)\text{cm}^3 \\\\ &=& (-3x^2 - 6x + 72)\text{cm}^3. \end{array}

3.V(x)="gewu¨nschtes Volumen"V(x) = \text{"gewünschtes Volumen"}

Nun hast du eine Formel V(x)V(x) für das Volumen der Pyramide BC2DS2BC_2DS_2 in Abhängigkeit von xx (2.Schritt) und den Wert 32,4cm332,4\text{cm}^3, den das Volumen annehmen soll (1.Schritt). Gesucht ist der xx-Wert (xR,0<x<4)(x \in \mathbb{R}, 0 < x < 4), bei dem dieses Volumen angenommen wird. Dazu setzt du V(x)=32,4cm3 V(x) = 32,4\text{cm}^3 und löst nach xx auf:
V(x)=32,4cm3(3x26x+72)cm3=32,4cm332,4cm3(3x26x+39,6)cm3=0\displaystyle \begin{array}{rcll} V(x) &=& 32,4\text{cm}^3 \\ (-3x^2 - 6x + 72) \text{cm}^3 &=& 32,4\text{cm}^3 &| -32,4\text{cm}^3\\ (-3x^2 - 6x + 39,6)\text{cm}^3 &=& 0 \end{array}
Nun bekommst du mit der Mitternachtsformel die Lösungen dieser Quadratischen Gleichung:
x1/2=6±36+4339,66x1=6+511,264,77x2=6511,262,77\displaystyle \begin{array}{rcll} x_{1/2} &=& \dfrac{6 \pm \sqrt{36 + 4\cdot 3\cdot 39,6}}{-6} \\\\ x_1 &=& \dfrac{6 + \sqrt{511,2}}{-6} \approx -4,77 \\\\ x_2 &=& \dfrac{6 - \sqrt{511,2}}{-6} \approx 2,77 \end{array}
Die Lösung x1x_1 ist hier nicht von Bedeutung, da nur xx mit 0<x<40 < x < 4 gesucht sind.

Das xx, für welches die Pyramide BC2DS2BC_2DS_2 das Volumen 32,4cm332,4\text{cm}^3 annimmt, ist also x=x2=2,77.x = x_2 = 2,77.
2.4
Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens.
GeoGebra
Der Winkel S3C3MS_3C_3M hängt - genau wie das Volumen der Pyramide BC2DS2BC_2DS_2 - von xx ab. Das siehst du auch in der Animation oben. Um herauszufinden für welches xx der türkise Winkel im Bild (also S3C3MS_3C_3M) den Wert 72° 72° annimmt, betrachstest du das rechtwinklige Dreieck MC3S3MC_3S_3, das in der Animation rot eingefärbt ist.

Von diesem kennst du die Seitenlängen MS3=(6+x)cm\overline{MS_3} = (6 + x)\text{cm} und MC3=(82x)cm\overline{MC_3} = (8 - 2x)\text{cm}. Die Strecke [MS3][MS_3] ist die Gegenkathete des Winkels S3C3MS_3C_3M, die Strecke [MC3][MC_3] ist seine Ankathete. Wenn du die Gegenkathehe und die Ankathete eines Winkels gegeben hast, kannst du den Tangens anwenden:
tan(72°)=GegenkatheteAnkathete=(6+x)cm(82x)cm=6+x82x.\displaystyle \tan(72°) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{(6 + x)\text{cm}}{(8 - 2x)\text{cm}} = \dfrac{6 + x}{8 - 2x}.
Nun löst du diese Gleichung nach xx auf:
tan(72°)=6+x82x(82x)(82x)tan(72°)=6+x8tan(72°)2xtan(72°)=6+x6+2xtan(72°)8tan(72°)6=x+2xtan(72°)8tan(72°)6=x(1+2tan(72°)) ⁣:(1+2tan(72°)8tan(72°)61+2tan(72°)=x\displaystyle \begin{array}{rclll} \tan(72°) &=& \dfrac{6 + x}{8 - 2x} &|\cdot \left (8 - 2x \right) \\\\ \left (8 - 2x \right) \cdot \tan(72°) &=& 6 + x \\\\ 8\cdot \tan(72°) - 2x\cdot\tan(72°) &=& 6 + x &|-6\quad|+ 2x\cdot\tan(72°) \\\\ 8\cdot \tan(72°) - 6 &=& x + 2x\cdot\tan(72°) \\\\ 8\cdot \tan(72°) - 6 &=& x\cdot(1 + 2\cdot\tan(72°)) &|\colon (1 + 2\cdot\tan(72°) \\\\ \dfrac{8\cdot \tan(72°) - 6}{1 + 2\cdot\tan(72°)} &=& x \end{array}
Zum Schluss setzt du den erhaltenen Wert für xx in den Taschenrechner ein und rundest auf zwei Nachkommastellen:
x=8tan(72°)61+2tan(72°)2,60.\displaystyle x = \dfrac{8\cdot \tan(72°) - 6}{1 + 2\cdot\tan(72°)} \approx 2,60.
3.0 Auf Meereshöhe beträgt der Luftdruck unter normalen Bedingungen 1013  hPa1013\; \text{hPa} (Hektopascal). Mit zunehmender Höhe nimmt der Luftdruck ab.
Der Wert des Luftdrucks kann annähernd durch die Funktion ff mit der Gleichung y=10130,87x    y=1013\cdot0,87^{x\;\;}(G=R0+×R0+)(\mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0) beschrieben werden, wobei yy den Luftdruck in hPa\text{hPa} und xx die Höhe in Kilometer über Meereshöhe angibt.
Unten ist der Graph zu dieser Funktion abgebildet.
Graph einer Funktion
3.1 Geben Sie an, um wie viel Prozent der Luftdruck entsprechend dieser Funktion pro Kilometer Höhe sinkt.
3.2 Der minimale Luftdruck, bei dem Menschen nachweislich dauerhaft leben können, liegt bei etwa 460  hPa460 \;\text{hPa}. Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, in welcher Höhe dieser minimale Luftdruck vorherrscht.
3.3 In der Luftfahrt verwendet man für den Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck die Faustregel: „Alle 5,5  km5,5 \;\text{km} halbiert sich der Luftdruck.“ Die momentane Reisehöhe eines Flugzeugs der Fluglinie „RisingAir“ liegt bei 11  km11 \;\text{km}. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Wert des Luftdrucks entsprechend der Faustregel größer ist als der Funktionswert, der sich für diese Höhe ergibt. Runden Sie auf Ganze.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum

3.1
Gesucht ist die Änderungsrate (hPa\text{hPa} pro km\text{km}) der Funktion ff. Diese kannst Du wie folgt aus der Funktionsgleichung y=10130,87xy=1013\cdot0,87^x ablesen:

Die Änderungsrate ist "11 - Basis", d.h. 10,87=0,131-0,87=0,13.
Der Luftdruck sinkt also pro Kilometer Höhe um 13%13\%.
ff ist eine Funktion, die exponentiellen Zerfall darstellt. Solche Funktionen haben die allgemeine Form:
y=N0(1p)x\displaystyle y = N_0\cdot (1-p)^x
Es gilt:
  • N0N_0 ist der Anfangswert (hier: N0=1013N_0 = 1013)
  • pp ist die Änderungsrate (hier: 1p=0,871-p = 0,87). Diese ist gesucht.
Du erhältst also aus der gegebenen Funktion:
0,87=1pp=0,13\displaystyle \begin{array}{rcl} 0,87 &=& 1 - p \\ p &=& 0,13 \\ \end{array}
Der Luftdruck sinkt also pro Kilometer Höhe um 13%13\%.
3.2
Die Frage ist: Welches xx (Höhe) muss man einsetzen, damit als yy-Wert (Luftduck) 460460 rauskommt?
Um das herauszufinden, markierst du im Bild zunächst auf der yy-Achse den Wert 460.460. Als nächstes markierst du den Punkt auf dem Graphen mit dieser yy-Koordinate. Von diesem Punkt liest Du schließlich die gesuchte xx-Koordinate ab.
Die Höhe, in der der Luftdruck 460 hPa460\ \text{hPa} beträgt, ist also 5,7  km5,7 \;\text{km}.
3.3
Hier benötigst du zusätzlich als Grundwissen: Prozentrechnung
Man unterteilt die Lösung dieser Aufgabe in drei Schritte:
  1. Als erstes berechnet man den Luftdruck in der Höhe 11  km11\; \text{km} mithilfe der Faustregel.
  2. Dann berechnet man den Luftduck in der Höhe 11  km11\; \text{km} mithilfe der Funktion ff.
  3. Schließlich rechnet man aus, um vieviel Prozent der Wert für den Luftdruck, den man mit der Faustregel erhalten hat, von dem Wert abweicht, den man mithilfe von ff erhalten hat.

1. Berechnung mit der Faustregel

Da 11=25,511 = 2\cdot5,5 gilt, halbiert sich der Luftdruck zweimal:
Einmal nach 5,55,5 Kilometern und dann noch einmal nach 5,55,5 (also insgesamt 1111) Kilometern.

Insgesamt erhältst du also ein Viertel des Anfangswertes:
12121013 = 14 1013=253\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1013\ =\ \frac{1}{4}\cdot\ 1013=253
Das heißt: Der Luftdruck in der Höhe 11  km11 \;\text{km} beträgt 253  hpa253\;\text{hpa}.

2. Berechnung mit der Funktion

Dazu setzt du den xx-Wert 1111 in die Funktionsgleichung ein:
y=10130,8711=219\displaystyle y=1013\cdot0,87^{11}=219
Der Luftdruck in 11  km11\;\text{km} Höhe beträgt also 219  hPa219\;\text{hPa}.


3. Berechnung der Abweichung in Prozent

Dazu setzt du die gegebenen Werte in die übliche Formel für Prozentrechnung ein.

Als Grundwert nimmst du G=219G = 219, da du wissen willst, um wie viel Prozent der Faustregelwert von diesem Wert abweicht.

Als Prozentwert nimmst du W=253219=34W=253-219=34^{ }: Das ist der Unterschied zwischen den beiden Werten, die du vergleichen sollst.

Gesucht ist der Prozentsatz pp (also der prozentuale Unterschied zwischen GG und WW). Die Formel liefert:
p=WG100%=34219100%=16%\displaystyle p=\frac{W}{G}\cdot100\%=\frac{34}{219}\cdot100\%=16\%
Der mit der Faustregel errechnete Luftdruck ist also um 16%16\% höher als der Wert, der sich aus der Funktion ff ergibt.
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