Pyramidenvolumen

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Seitenlänge a und Höhe h hat das Volumen:

$V=\frac 1 3 a^2\cdot h$

Nebenbedingung über feste Kantenlänge

Die Seitenkanten haben laut Angabe die feste Länge 1 dm. Die Höhe, die halbe Diagonale und die Seitenkante bilden gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck

Mithilfe des Satz des Pythagoras erhältst du:

$h^2+x^2=1^2$

Allerdings hilft dir das noch nicht weiter, denn du willst das a in der Volumenformel ersetzen und in dieser Nebenbedingung kommen nur x und h vor.

Einen Zusammenhang zwischen x und a bekommst du über die Grundfläche der Pyramide:

Erneut liefert der Satz des Pythagoras:

$a^2+a^2=(2x)^2$

Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen

Ersetze nun in der Volumenformel der Pyramide das $a^2$ durch den soeben gefundenen Term. Dann hast du eine Formel zur Berechnung des Volumens, die nur noch von der Höhe h abhängt.

$V=\frac 1 3 \cdot(2-2h^2)\cdot h=\frac 1 3\cdot (2h-2h^3)=\frac 2 3(h-h^3)=-\frac 2 3 h^3+\frac 2 3h$

Definitionsmenge

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Höhe mindestens 0,4 dm und höchstens 0,6 dm betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:

$D_h=[0{,}4;0{,}6]$.

Kandidaten für Extremstellen

An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von $V(h)=-\frac 2 3 h^3+\frac 23h$:

$V'(x)=-2x^2+\frac 2 3$

Nullstellen der Ableitung:

Da $x_2\approx-0{,}58$ nicht in der Definitionsmenge liegt, muss es nicht weiter beachtet werden.

Bei $x_1$ liegt eine Extremstelle der Funktion, da die Nullstelle der Ableitung die Vielfachheit 1 hat und der Graph der Ableitung dort deshalb das Vorzeichen wechselt. (Alternativ: Art der Extremstelle bestimmen)

Funktionswerte an Extremstellen und Rändern

Setze die gefundene Extremstelle $x_1=0{,}58$ und die beiden Ränder der Definitionsmenge $x_l=0{,}4$ und $x_r=0{,}6$ in den Funktionsterm V ein:

$V(0{,}58)=0{,}257$

$V(0{,}4)\approx 0{,}22$

$V(0{,}6)\approx 0{,}256$

Für eine Höhe von $0{,}58\,\rm{dm}$ hat der Tetrapack ein maximales Volumen von ungefähr $0{,}26\,\rm{dm^3}$