Teil 2, Analysis II

Da nur gerade Exponenten für x vorkommen und somit $f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)$ gilt, könnte man meinen, dass der Graph achsensymmetrisch ist.

Allerdings ist dies aufgrund der Definitionsmenge nicht der Fall: Der Bereich rechts vom Ursprung ist größer als der links vom Ursprung (bis 4,5 bzw bis -3) und somit ist der Graph nicht symmetrisch, da links ein Teil "weggeschnitten" ist.

Gesucht sind die Nullstellen, setze deshalb zuerst

Da der Term aus drei Summanden besteht, man nicht mehr ausklammern kann und der erste Exponent das Doppelte vom zweiten ist, bietet sich die Substitution an:

Ersetze $u=x^{2}u=x^2$

Du erhältst:

$u^2-20u+64=0u^2-20u+64=0$

Bestimme die Lösungen z.B. mit der Mitternachtsformel:

$u_{1\mathrm{/}2}=\frac{-(-20)\pm \sqrt{{(-20)}^2-4\cdot 1\cdot 64}}{2\cdot 1}u\_\{1/2\}=\backslash frac\{-\backslash left(-20\backslash right)\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash left(-20\backslash right)^2-4\backslash cdot1\backslash cdot64\}\}\{2\backslash cdot1\}$ liefert $u_1=4u\_1=4$ und $u_2=16u\_2=16$

Durch die Rücksubstitution machst du aus $u_{1}u\_1$ und $u_{2}u\_2$ wieder $xx$-Werte und die Lösungen der Gleichung:

Für $u_1=4u\_1=4$:

Für $u_2=16u\_2=16$:

Aufgrund der Definitionsmenge $D_f=[-3;\mathrm{4,5}]D\_f=\backslash left[-3;4\{,\}5\backslash right]$ sind lediglich $x_1=2x\_1=2$ $x_2=-2x\_2=-2$ und $x_3=4x\_3=4$ die gesuchten Nullstellen.

Randextrema

Da beide Ränder der Definitionsmenge $D_f=[-3;\mathrm{4,5}]D\_f=[-3;4\{,\}5]$ eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrema, deren y-Koordinaten du wie gewohnt durch Einsetzen in den Funktionsterm erhältst:

$R_1(-3\mathrm{\mid }f(-3))\Rightarrow R_1(-3\mathrm{\mid }-\frac{35}{12})R\_1(-3|f(-3))\; \backslash Rightarrow\; R\_1(-3|-\backslash frac\{35\}\{12\})$ und

$R_2(\mathrm{4,5}\mathrm{\mid }f(\mathrm{4,5}))\Rightarrow R_2(\mathrm{4,5}\mathrm{\mid }\frac{1105}{192})R\_2(4\{,\}5|f(4\{,\}5))\; \backslash Rightarrow\; R\_2(4\{,\}5|\backslash frac\{1105\}\{192\})$

Ob es sich dabei um Randhoch- oder Tiefpunkte handelt, kannst du erst entscheiden, nachdem du die anderen Extremstellen bzw. das Monotonieverhalten untersucht hast.

Extremstellen bestimmen

Bestimme die erste Ableitung von $f(x)=\frac{1}{12}(x^4-20x^2+64)f(x)=\backslash frac\; 1\; \{12\}(x^4-20x^2+64)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{12}(4x^3-40x)f\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{12\}\backslash left(4x^3-40x\backslash right)$

Bestimme nun die Nullstellen der Ableitungsfunktion, um die Kandidaten für Extremstellen zu finden:

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Der Faktor $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ ist nie 0. Unterscheide deshalb:

$x=0x=0$ und $x^2-10=0x^2-10=0$

Der erste Faktor liefert direkt die erste Nullstelle $x_1=0x\_1=0$

Untersuche $x^2-10=0x^2-10=0$ weiter:

Da ist diese Nullstelle nicht in der Definitionsmenge und deshalb nicht weiter interessant.

Bestimme die Art aller Extremstellen, z.B. über die Monotonietabelle:

Bestimme vom Hochpunkt bei $x=0x=0$ und vom Tiefpunkt bei $x=\sqrt{10}x=\backslash sqrt\{10\}$ die y-Koordinaten durch Einsetzen in f:

$f\left(0\right)=\frac{16}{3}f\backslash left(0\backslash right)=\backslash frac\{16\}\{3\}$, also $HOP\left(0\mathrm{\mid }\frac{16}{3}\right)HOP\backslash left(0|\backslash frac\; \{16\}3\backslash right)$

$f(\sqrt{10})=-3f(\backslash sqrt\{10\})=-3$, also $TIP(\sqrt{10}\mathrm{\mid }-3)TIP(\backslash sqrt\{10\}|-3)$

und bereits berechnet: $R_1(-3\mathrm{\mid }-\frac{35}{12})R\_1(-3|-\backslash frac\{35\}\{12\})$ und $R_2(\mathrm{4,5}\mathrm{\mid }\frac{1105}{192})R\_2(4\{,\}5|\backslash frac\{1105\}\{192\})$

Wertemenge angeben

Wähle nun den kleinsten und den größten y-Wert aller Extrempunkte für die Wertemenge aus.

Als Hilfestellung: $\frac{16}{3}\approx \mathrm{5,33}\backslash frac\{16\}3\backslash approx\; 5\{,\}33$, $-\frac{35}{12}\approx -\mathrm{2,92}-\backslash frac\{35\}\{12\}\backslash approx-2\{,\}92$ und $\frac{1105}{192}\approx \mathrm{5,76}\backslash frac\{1105\}\{192\}\backslash approx5\{,\}76$

Der kleinste y-Wert ist also beim Tiefpunkt $TIP(\sqrt{10}\mathrm{\mid }-3)TIP\backslash left(\backslash sqrt\{10\}|-3\backslash right)$ und der größte y-Wert beim Randhochpunkt $R_2\left(\mathrm{4,5}\mathrm{\mid }\frac{1105}{192}\right)R\_2\backslash left(4\{,\}5\backslash \; |\backslash frac\{1105\}\{192\}\backslash right)$:

$W_f=[-3;\frac{1105}{192}]W\_f=[-3;\backslash frac\{1105\}\{192\}]$

Die Zeichnung mit der Wertetabelle ist ein guter Moment, um deine bisher berechneten Ergebnisse zu überprüfen!

Flächenstück markieren

Gesucht ist also das linke Flächenstück im Intervall $x\in [-1;1]x\backslash in\; [-1;1]$.

Differenzfunktion bilden

Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, verwendest du eine Differenzfunktion $s(x)s(x)$. Das heißt nichts anderes, als dass du vom Funktionsterm, dessen Graph in der Zeichnung weiter oben verläuft, den Funktionsterm des anderen Graphen abziehst.

Der Graph von f verläuft oberhalb vom Graphen $G_{g}G\_g$, also:

Wert des bestimmten Integrals berechnen

Der Flächeninhalt $A_{1}A\_1$ entspricht dem Wert des bestimmten Integrals

${\int }_{-1}^{1}s(x)dx\backslash int\_\{-1\}^1s(x)dx$.

Bestimme den zugehörigen Wert:

Pyramidenvolumen

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Seitenlänge a und Höhe h hat das Volumen:

$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot hV=\backslash frac\; 1\; 3\; a^2\backslash cdot\; h$

Nebenbedingung über feste Kantenlänge

Die Seitenkanten haben laut Angabe die feste Länge 1 dm. Die Höhe, die halbe Diagonale und die Seitenkante bilden gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck

Mithilfe des Satz des Pythagoras erhältst du:

$h^2+x^2=1^{2}h^2+x^2=1^2$

Allerdings hilft dir das noch nicht weiter, denn du willst das a in der Volumenformel ersetzen und in dieser Nebenbedingung kommen nur x und h vor.

Einen Zusammenhang zwischen x und a bekommst du über die Grundfläche der Pyramide:

Erneut liefert der Satz des Pythagoras:

$a^2+a^2=(2x{)}^{2}a^2+a^2=(2x)^2$

Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen

Ersetze nun in der Volumenformel der Pyramide das $a^{2}a^2$ durch den soeben gefundenen Term. Dann hast du eine Formel zur Berechnung des Volumens, die nur noch von der Höhe h abhängt.

$V=\frac{1}{3}\cdot (2-2h^2)\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (2h-2h^3)=\frac{2}{3}(h-h^3)=-\frac{2}{3}{h}^3+\frac{2}{3}hV=\backslash frac\; 1\; 3\; \backslash cdot(2-2h^2)\backslash cdot\; h=\backslash frac\; 1\; 3\backslash cdot\; (2h-2h^3)=\backslash frac\; 2\; 3(h-h^3)=-\backslash frac\; 2\; 3\; h^3+\backslash frac\; 2\; 3h$

Definitionsmenge

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Höhe mindestens 0,4 dm und höchstens 0,6 dm betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:

$D_h=[\mathrm{0,4};\mathrm{0,6}]D\_h=[0\{,\}4;0\{,\}6]$.

Kandidaten für Extremstellen

An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von $V(h)=-\frac{2}{3}{h}^3+\frac{2}{3}hV(h)=-\backslash frac\; 2\; 3\; h^3+\backslash frac\; 23h$:

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x^2+\frac{2}{3}V\text{'}(x)=-2x^2+\backslash frac\; 2\; 3$

Nullstellen der Ableitung:

Da $x_2\approx -\mathrm{0,58}x\_2\backslash approx-0\{,\}58$ nicht in der Definitionsmenge liegt, muss es nicht weiter beachtet werden.

Bei $x_{1}x\_1$ liegt eine Extremstelle der Funktion, da die Nullstelle der Ableitung die Vielfachheit 1 hat und der Graph der Ableitung dort deshalb das Vorzeichen wechselt. (Alternativ: Art der Extremstelle bestimmen)

Funktionswerte an Extremstellen und Rändern

Setze die gefundene Extremstelle $x_1=\mathrm{0,58}x\_1=0\{,\}58$ und die beiden Ränder der Definitionsmenge $x_l=\mathrm{0,4}x\_l=0\{,\}4$ und $x_r=\mathrm{0,6}x\_r=0\{,\}6$ in den Funktionsterm V ein:

$V(\mathrm{0,58})=\mathrm{0,257}V(0\{,\}58)=0\{,\}257$

$V(\mathrm{0,4})\approx \mathrm{0,22}V(0\{,\}4)\backslash approx\; 0\{,\}22$

$V(\mathrm{0,6})\approx \mathrm{0,256}V(0\{,\}6)\backslash approx\; 0\{,\}256$

Für eine Höhe von $\mathrm{0,58}\mathrm{d}\mathrm{m}0\{,\}58\backslash ,\backslash rm\{dm\}$ hat der Tetrapack ein maximales Volumen von ungefähr $\mathrm{0,26}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{3}0\{,\}26\backslash ,\backslash rm\{dm^3\}$

Parameter a und b bestimmen

Nach zwei Tagen noch $400m^{2}400\; m^2$:

$I)M(2)=400I)\; M(2)=400$

$II)a\cdot e^{b\cdot 2}=400II)a\backslash cdot\; e^\{b\backslash cdot\; 2\}=400$

Nach neun Tagen noch $140m^{2}140\; m^2$:

$I)M(9)=140I)\; M(9)=140$

$II)a\cdot e^{b\cdot 9}=140II)a\backslash cdot\; e^\{b\backslash cdot\; 9\}=140$

Forme zum Beispiel die erste Gleichung nach a um:

$I)a={\displaystyle \frac{400}{e^{2b}}}I)\; a=\backslash dfrac\{400\}\{e^\{2b\}\}$

Setze in die zweite Gleichung ein:

$II){\displaystyle \frac{400}{e^{2b}}}\cdot e^{9b}=140II)\backslash dfrac\{400\}\{e^\{2b\}\}\backslash cdot\; e^\{9b\}=140$

Löse nach b auf:

Setze das gefundene b in die umgeformte erste Gleichung ein:

$I)a=\frac{400}{e^{2\cdot (-\mathrm{0,15})}}\Rightarrow a\approx 540I)a=\backslash frac\{400\}\{e^\{2\backslash cdot\; (-0\{,\}15)\}\}\; \backslash Rightarrow\; a\backslash approx540$

Größe des Rasens

Zu Beginn ($t_0=0)t\_0=0)$ sind $9090\%$ % des Rasens vermoost.

Mit $M(t)=540\cdot e^{-\mathrm{0,15}t}M(t)=540\backslash cdot\; e^\{-0\{,\}15t\}$ kannst du ablesen oder berechnen (M(0) ausrechnen), dass zu Beginn $540m^{2}540\; m^2$ bewachsen sind.

Sei x die Größe des Rasens mit Prozentsatz 0,9 und Prozentwert 540 kann dann der Grundwert bestimmt werden:

$x\cdot \mathrm{0,9}=540x\backslash cdot\; 0\{,\}9\; =\; 540$ $\Rightarrow x=600\backslash Rightarrow\; x=600$

Der Rasen ist $600m^{2}600\; m^2$ groß.

Wenn die Bemoosung um ca $65\mathrm{\%}65\backslash \%$ zurückgeht, sind nach einer Woche noch $100\mathrm{\%}-65\mathrm{\%}=35\mathrm{\%}100\backslash \%-65\backslash \%=35\backslash \%$ vorhanden.

Da die prozentuale Zu- oder Abnahme beim exponentiellen Wachstum unabhängig vom Startwert ist, musst du, wenn du mit Prozenten rechnest, die 540 in der folgenden Rechnung weglassen:

$\mathrm{0,35}=e^{-\mathrm{0,15}t}0\{,\}35=e^\{-0\{,\}15t\}$

Wende den ln an:

$\ln (\mathrm{0,35})=-\mathrm{0,15}t\backslash ln(0\{,\}35)=-0\{,\}15t$

und somit $t={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{0,35})}{-\mathrm{0,15}}}\approx 7t=\backslash dfrac\{\backslash ln(0\{,\}35)\}\{-0\{,\}15\}\backslash approx\; 7$

Die Werbeaussage trifft also annähernd zu