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Teil 2, Analysis II

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellungen zum Ausdrucken findest du hier

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=112(x4−20x2+64)f(x)=\frac 1 {12}(x^4-20x^2+64) mit der Definitionsmenge Df=[−3;4,5]D_f=[-3;4{,}5] sowie die lineare Funktion g:y=154g:y=\frac {15}4 mit der Definitionsmenge Dg=RD_g=\mathbb R.

    Die Graphen der Funktion f und g in einem kartesischen Koordinatensystem werden mit GfG_f bzw. GgG_g bezeichnet.

    1. Geben Sie an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begrĂŒnden Sie Ihre Entscheidung.

      "Der Graph der Funktion f ist auf DfD_f achsensymmetrisch zur y-Achse." (2 BE)

    2. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. (5 BE)

    3. Bestimmen Sie Art und Koordinaten sÀmtlicher Extrempunkte von GfG_f und geben Sie die Wertemenge WfW_f der Funktion an. (8 BE)

    4. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen GfG_f und die Gerade GgG_g in ein kartesisches Koordinatensystem.

      Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1 LE =1 cm1\ LE\ =1\ cm (5 BE)

    5. Die Graphen der beiden Funktionen f und g schneiden sich an den Stellen x1=−1x_1=-1 , x2=1x_2=1 und x3=19x_3=\sqrt{19} (Nachweis nicht erforderlich) und schließen somit zwei endliche FlĂ€chenstĂŒcke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts des kleineren der beiden FlĂ€chenstĂŒcke. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. (4 BE)

  2. 2

    Als Teilnehmer eines Auswahlverfahrens zur Einstellung von Werkstudenten bei einer großen

    Molkerei wird Ihnen folgende Aufgabe gestellt:

    Ein Schokodrink soll in einem Tetra Pak abgefĂŒllt werden, welcher die Form einer geraden Pyramide mit quadratischer GrundflĂ€che hat. Die vier Seitenkanten der Pyramide sollen aus verpackungstechnischen GrĂŒnden jeweils eine feste LĂ€nge von 1 dm haben.

    Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht ĂŒber dem Punkt H, in dem sich die Diagonalen der GrundflĂ€che im rechten Winkel schneiden.

    Aus verkaufstechnischen GrĂŒnden soll die Höhe des Tetra Paks mindestens 0,4 dm und höchstens 0,6 dm betragen.

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    Bild

    1. Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V:h↩V(h)V:h\mapsto V(h) auf. Dabei steht h fĂŒr die Höhe der Pyramide in dm und V(h)V(h) fĂŒr das Volumen der Pyramide in dm3dm^3.

      [Mögliches Teilergebnis: V(h)=−23h3+23hV(h)=-\frac 2 3h^3+\frac 2 3 h] (4 BE)

    2. Bestimmen Sie unter den oben genannten Vorgaben, fĂŒr welche Höhe h der Tetra Pak den maximalen Rauminhalt aufweist. Berechnen Sie dieses maximale Volumen. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (7 BE)

  3. 3

    90% einer RasenflĂ€che sind vermoost. Das Moos soll mit einem umweltvertrĂ€glichen Mittel zurĂŒckgedrĂ€ngt werden. Die zeitliche Entwicklung der vom Moos bedeckten RasenflĂ€che wird nĂ€herungsweise mittels der Modellfunktion M mit der Funktionsgleichung M(t)=a⋅ebtM(t)=a\cdot e^{bt} mit t∈R0+t\in \mathbb{R}^+_0 und a,b∈R\{0}a,b \in \mathbb{R}\backslash\{0\} beschrieben. Dabei steht die Variable t fĂŒr die Zeit in Tagen ab dem Zeitpunkt t0=0t_0=0 der Ausbringung des Mittels. Der jeweilige Funktionswert von M gibt die

    gesamte mit Moos bedeckte FlÀche in m2m^2 zum Zeitpunkt t an. Bekannt ist, dass zwei Tage nach Ausbringung des Mittels noch 400m2400m^2 und nach neun Tagen nur noch 140m2140m^2 vermoost sind.

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    1. Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b. Runden Sie a ganzzahlig und b auf zwei Nachkommastellen. Berechnen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts der RasenflĂ€che. (5 BE)

    2. FĂŒr die folgende Teilaufgabe gilt: a=540;b=−0,15a=540; b=-0{,}15

      Der Hersteller des umweltvertrĂ€glichen Mittels wirbt damit, dass die mit Moos bedeckte FlĂ€che nach der Ausbringung innerhalb einer Woche um ca. 65% zurĂŒckgehen wird. ÜberprĂŒfen Sie diese Werbeaussage, indem Sie berechnen, nach wie vielen Tagen diese Reduzierung laut dem Modell aus 3.0 erreicht wird. Runden Sie auf ganze Tage.


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