Teil 2, Analysis II - lernen mit Serlo!

90% einer Rasenfläche sind vermoost. Das Moos soll mit einem umweltverträglichen Mittel zurückgedrängt werden. Die zeitliche Entwicklung der vom Moos bedeckten Rasenfläche wird näherungsweise mittels der Modellfunktion M mit der Funktionsgleichung $M (t) = a \cdot e^{b t}$ mit $t \in ℝ_{0}^{+}$ und $a, b \in ℝ \ {0}$ beschrieben. Dabei steht die Variable t für die Zeit in Tagen ab dem Zeitpunkt $t_{0} = 0$ der Ausbringung des Mittels. Der jeweilige Funktionswert von M gibt die

gesamte mit Moos bedeckte Fläche in $m^{2}$ zum Zeitpunkt t an. Bekannt ist, dass zwei Tage nach Ausbringung des Mittels noch $400 m^{2}$ und nach neun Tagen nur noch $140 m^{2}$ vermoost sind.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b. Runden Sie a ganzzahlig und b auf zwei Nachkommastellen. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Rasenfläche. (5 BE)

Parameter a und b bestimmen
Nach zwei Tagen noch $400 m^{2}$ :
$I) M (2) = 400$
$I I) a \cdot e^{b \cdot 2} = 400$
Nach neun Tagen noch $140 m^{2}$ :
$I) M (9) = 140$
$I I) a \cdot e^{b \cdot 9} = 140$
Forme zum Beispiel die erste Gleichung nach a um:
$I) a = \frac{400}{e^{2 b}}$
Setze in die zweite Gleichung ein:
$I I) \frac{400}{e^{2 b}} \cdot e^{9 b} = 140$
Löse nach b auf:
Forme die linke Seite um
↓
$\frac{e^{9 b}}{e^{2 b}} \cdot 400$ $=$ $140$ $: 400$
↓
Verwende links die Potenzgesetze.
$e^{9 b - 2 b}$ $=$ $\frac{7}{20}$
$e^{7 b}$ $=$ $\frac{7}{20}$
↓
Verwende den natürlichen Logarithmus
$\ln (\frac{7}{20})$ $=$ $7 b$ $: 7$
$b$ $\approx$ $- 0,15$
Setze das gefundene b in die umgeformte erste Gleichung ein:
$I) a = \frac{400}{e^{2 \cdot (- 0,15)}} \Rightarrow a \approx 540$
Größe des Rasens
Zu Beginn ( $t_{0} = 0)$ sind $90$ % des Rasens vermoost.
Mit $M (t) = 540 \cdot e^{- 0,15 t}$ kannst du ablesen oder berechnen (M(0) ausrechnen), dass zu Beginn $540 m^{2}$ bewachsen sind.
Sei x die Größe des Rasens mit Prozentsatz 0,9 und Prozentwert 540 kann dann der Grundwert bestimmt werden:
$x \cdot 0,9 = 540$ $\Rightarrow x = 600$
Der Rasen ist $600 m^{2}$ groß.
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Setze die beiden bekannten Angaben zu Zeit und Fläche in den Funktionsterm ein und löse das entstandene Gleichungssystem. Dabei musst du die Potenzgesetze anwenden.
Vergiss nicht, danach noch die Größe des Rasens zu bestimmen. Verwende dafür, dass zu Beginn 90% des Rasens vermoost sind.
Für die folgende Teilaufgabe gilt: $a = 540; b = - 0,15$
Der Hersteller des umweltverträglichen Mittels wirbt damit, dass die mit Moos bedeckte Fläche nach der Ausbringung innerhalb einer Woche um ca. 65% zurückgehen wird. Überprüfen Sie diese Werbeaussage, indem Sie berechnen, nach wie vielen Tagen diese Reduzierung laut dem Modell aus 3.0 erreicht wird. Runden Sie auf ganze Tage.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
Wenn die Bemoosung um ca $65 %$ zurückgeht, sind nach einer Woche noch $100 % - 65 % = 35 %$ vorhanden.
Da die prozentuale Zu- oder Abnahme beim exponentiellen Wachstum unabhängig vom Startwert ist, musst du, wenn du mit Prozenten rechnest, die 540 in der folgenden Rechnung weglassen:
$0,35 = e^{- 0,15 t}$
Wende den ln an:
$\ln (0,35) = - 0,15 t$
und somit $t = \frac{\ln (0,35)}{- 0,15} \approx 7$
Die Werbeaussage trifft also annähernd zu
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Bestimme zunächst, wie viel Prozent des Rasens nach einer Woche noch bemoost sein sollen. Ignoriere dann den Startwert und bestimme durch Umformen mithilfe des Logaritmus die benötigte Zeit.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Forme die linke Seite um
	↓
$\frac{e^{9 b}}{e^{2 b}} \cdot 400$	$=$	$140$	$: 400$
	↓	Verwende links die Potenzgesetze.
$e^{9 b - 2 b}$	$=$	$\frac{7}{20}$
$e^{7 b}$	$=$	$\frac{7}{20}$
	↓	Verwende den natürlichen Logarithmus
$\ln (\frac{7}{20})$	$=$	$7 b$	$: 7$
$b$	$\approx$	$- 0,15$

Parameter a und b bestimmen

Größe des Rasens

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