Parameter a und b bestimmen

Nach zwei Tagen noch $400 m^2$:

$I) M(2)=400$

$II)a\cdot e^{b\cdot 2}=400$

Nach neun Tagen noch $140 m^2$:

$I) M(9)=140$

$II)a\cdot e^{b\cdot 9}=140$

Forme zum Beispiel die erste Gleichung nach a um:

$I) a=\dfrac{400}{e^{2b}}$

Setze in die zweite Gleichung ein:

$II)\dfrac{400}{e^{2b}}\cdot e^{9b}=140$

Löse nach b auf:

Setze das gefundene b in die umgeformte erste Gleichung ein:

$I)a=\frac{400}{e^{2\cdot (-0{,}15)}} \Rightarrow a\approx540$

Größe des Rasens

Zu Beginn ($t_0=0)$ sind $90$ % des Rasens vermoost.

Mit $M(t)=540\cdot e^{-0{,}15t}$ kannst du ablesen oder berechnen (M(0) ausrechnen), dass zu Beginn $540 m^2$ bewachsen sind.

Sei x die Größe des Rasens mit Prozentsatz 0,9 und Prozentwert 540 kann dann der Grundwert bestimmt werden:

$x\cdot 0{,}9 = 540$ $\Rightarrow x=600$

Der Rasen ist $600 m^2$ groß.

Wenn die Bemoosung um ca $65\%$ zurückgeht, sind nach einer Woche noch $100\%-65\%=35\%$ vorhanden.

Da die prozentuale Zu- oder Abnahme beim exponentiellen Wachstum unabhängig vom Startwert ist, musst du, wenn du mit Prozenten rechnest, die 540 in der folgenden Rechnung weglassen:

$0{,}35=e^{-0{,}15t}$

Wende den ln an:

$\ln(0{,}35)=-0{,}15t$

und somit $t=\dfrac{\ln(0{,}35)}{-0{,}15}\approx 7$

Die Werbeaussage trifft also annähernd zu