Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{k}$ mit $f_{k}(x)=k \cdot e^{-x}+3$ und $k \neq 0$ .

Zeigen Sie, dass $f_{k}^{\prime}(0)=-k$ gilt. (1 BE)

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$ , für die die Tangente im Punkt $\left(0 \mid f_{k}(0)\right)$ an den Graphen von $f_{k}$ eine positive Steigung hat und ihre Schnittstelle mit der $x$ -Achse größer als $\frac{1}{2}$ ist. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Tangentengleichung

Allgemein hat die Tangente im Punkt $(0\mid f_k(0))$ den Funktionsterm:

Tangentenformel
	↓
$\displaystyle f_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle f_k'\left(x\right)\cdot\left(x-x_0\right)+f_k\left(x_0\right)$
	↓	$x_0=0$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle f_k'\left(0\right)\cdot\left(x-0\right)+f_k\left(0\right)$
	↓	Verwende $f_k'(0)=-k$ (letzte Teilaufgabe)
	$=$	$\displaystyle -k\cdot x+f_k\left(0\right)$
	↓	Berechne $f_k(0)=k\cdot e^0+3=k+3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{-k}_{\text{Steigung}}\cdot x+\underbrace{k+3}_{\text{y-Achsenabschnitt}}$

Damit die Tangente eine positive Steigung hat, muss $k<0$ sein.

Nullstelle der Tangente

Beachte nun zusätzlich die Lage der Nullstelle

$\displaystyle f_t\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -k\cdot x+k+3$
	↓	An der Nullstelle gilt $f_t(x)=0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -k\cdot x+k+3$	$\displaystyle +kx$
$\displaystyle kx$	$=$	$\displaystyle k+3$	$\displaystyle :k$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{k+3}{k}$
	↓	$x$ soll größer sein als $\frac12$
$\displaystyle \dfrac12$	$<$	$\displaystyle \dfrac{k+3}{k}$	$\displaystyle \cdot k$
	↓	Das Vorzeichen muss sich drehen, weil $k$ negativ ist.
$\displaystyle \dfrac12\cdot k$	$>$	$\displaystyle k+3$	$\displaystyle -k$
$\displaystyle -\dfrac12\cdot k$	$>$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot (-1)$
	↓	Das Vorzeichen dreht sich.
$\displaystyle \dfrac12\cdot k$	$<$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle k$	$<$	$\displaystyle -6$

Für $k<-6$ hat $f_t(x)$ positive Steigung und gleichzeitig eine Nullstelle mit $x>\dfrac12$ .

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Aufgabe 3

Ableitung bestimmen

$f'_k(0)$ bestimmen

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Tangentengleichung

Nullstelle der Tangente

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$\displaystyle f_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle k\cdot e^{-x}+3$
	↓	Kettenregel mit $e^{-x}$
$\displaystyle f_k'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle k\cdot\left(-1\right)\cdot e^{-x}$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -k\cdot e^{-x}$

$x=0$ einsetzen in Ableitung
	↓
$\displaystyle f_k'\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle -k\cdot e^{-0}$
	↓	$e^0=1$
	$=$	$\displaystyle -k\cdot1$
	$=$	$\displaystyle -k$

Aufgabe 3

Ableitung bestimmen

fk′(0)f'_k(0)fk′​(0) bestimmen

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Tangentengleichung

Nullstelle der Tangente

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$f'_k(0)$ bestimmen