Begründung, dass das Dreieck $B C D_{k}$ gleichschenklig ist

Zwei Dreiecksseiten müssen gleichlang sein.

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{D_kB}$ und $\overrightarrow{D_kC}$.

$\overrightarrow{D_kB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{D_k}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-k\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{D_kC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{D_k}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-k\end{pmatrix}$

Die Beträge der beiden Vektoren sind gleich groß (es treten die gleichen Vektorkoordinaten auf).

Flächeninhalt des Dreiecks $B C D_{k}$ für $k=6$

Es ist $D_6(0|0|6)$.

Die Dreieckshöhe ist $|\overrightarrow{MD_6}|$:

$\overrightarrow{MD_6}=\overrightarrow{OD_6}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\6\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;|\overrightarrow{MD_6}|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+6^2}=\sqrt{44}$

Die Basis des Dreiecks ist der Vektor $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}.$

Für den Flächeninhalt erhält man dann:

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{32}\cdot \sqrt{44}=4\cdot \sqrt{22}\approx18{,}8\;\text{FE}$

Gleichung von $L_{k}$ in Koordinatenform

Es ist allgemein $E:\;ax+by+cz=d$

Setze nacheinander die Koordinaten der Punkte $B(4|0|0), C(0|4|0)$ und $D_k(0|0|k)$ ein. Man erhält ein lineares Gleichungssystem:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & a\cdot 4 & + & b\cdot 0 & + & c\cdot 0 & = & d \\\mathrm{II} & a\cdot 0 & + & b\cdot 4 & + & c\cdot 0 & = & d \\ \mathrm{III} & a\cdot 0 & + & b\cdot 0 & + & c \cdot k & = & d \end{array}$

Aus $\mathrm{I}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{d}{4}$.

Aus $\mathrm{II}\;\Rightarrow\;b=\dfrac{d}{4}$.

Aus $\mathrm{III}\;\Rightarrow\;c=\dfrac{d}{k}$.

$L_k:\;ax+by+cz=d\;\Rightarrow\;\dfrac{d}{4}\cdot x+\dfrac{d}{4}\cdot y+\dfrac{d}{k}\cdot z=d$

Für $d=4$ folgt dann:

Wert von $k$, für den die Größe des Winkels $30^{\circ}$ beträgt

Der Normalenvektor der z-Achse ist $\vec n_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$und sein Betrag ist gleich $1$.

Der Normalenvektor der Ebene $L_k$ ist $\vec n_ {L_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\\frac{4}{k}\end{pmatrix}$und sein Betrag ist $\sqrt{1^2+1^2+\left(\frac{4}{k}\right)^2}=\sqrt{2+\frac{16}{k^2}}$.

Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene gilt allgemein:

Setze nun $\sin30^\circ=0{,}5$ und die beiden Normalenvektoren und ihre Beträge ein:

$0{,}5=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\\frac{4}{k}\end{pmatrix}\right|}{1\cdot \sqrt{2+\frac{16}{k^2}}}\;\Rightarrow\;0{,}5=\dfrac{\frac{4}{k}}{\sqrt{2+\frac{16}{k^2}}}$

Der GTR liefert als Lösung $k\approx4{,}898979...$.

Für $k\approx4{,}9$ schneidet die Ebene $L_{4{,}9}$ die z-Achse unter einem Winkel von $30^{\circ}$.

Wert von $k$

Gegeben ist $Q(1|1| 3)$. Der Punkt $P$ hat dieselben x- und z-Koordinaten wie $Q$.

Seine y-Koordinate ist gleich null$\;\Rightarrow\;P(1|0|3)$.

Setze $P(1|0|3)$ in $L_k:\;x+y+\dfrac{4}{k}z=4$ ein:

$1+0+\dfrac{4}{k}\cdot 3=4\;\Rightarrow\;\dfrac{12}{k}=3\;\Rightarrow\;k=4$

Für $k=4$ liegen die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders in der Seitenfläche $B C D_{4}$

Für $k=4$ liegt ein Punkt einer vorderen Kante ebenfalls in der Seitenfläche $B C D_{4}$.

Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes

Ein Punkt auf der vorderen Kante des Quaders hat die Koordinaten $(1|1|h)$ mit $0\leq h\leq 3.$ Die Ebene lautet $L_4:\;x+y+\dfrac{4}{4}\cdot z=4\;\Rightarrow\; L_4:\;x+y+z=4$.

Setze diesen Punkt in $L_4:\;x+y+z=4$ ein:

Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(1|1|2)$.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

In Rot ist die Pyramide $ABCD_6$ gezeichnet. Der eingezeichnete Punkt $E$ hat die Koordinaten $(1|1|2)$ und liegt in der Ebene $L_4$.

Anzahl der Eckpunkte des Vielecks, in dem die Seitenfläche $B C D_{k}$ den Quader schneidet

Für $0<k\leq 3$ werden die senkrechten Kanten zu den Punkten $P, Q$ und $R$ und die Kante auf der z-Achse geschnitten$\;\Rightarrow\; 4$ Schnittpunkte

Für $3<k<4$ werden zwei Kanten im oberen Quadrat und $3$ senkrechte Kanten $P, Q$ und $R$ geschnitten $\;\Rightarrow\;5$ Schnittpunkte

Für $4\leq k<6$ werden die Kanten $\overline{PQ}$, $\overline{QR}$ und die senkrechte Kante zum Punkt $Q$ geschnitten$\;\Rightarrow\;3$ Schnittpunkte

Koordinaten des Punktes $Q_{h}$

Der Punkt $Q_h$ liegt auf der Strecke $\overline{MD_6}$.

Der Vektor $\overrightarrow{MD_6}=\overrightarrow{OD_6}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\6\end{pmatrix}$

Dann gilt für $0\leq r\leq 1$: $\vec x_{MD_6}=\overrightarrow{OM}+r\cdot \overrightarrow{MD_6}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\6\end{pmatrix}$

Der Punkt $Q_h$ hat die z-Koordinate $h$, dann folgt für die dritte Gleichung der Geraden:

Eingesetzt in die Geradengleichung erhält man:

Also hat $Q_h$ die Koordinaten $(2-\frac{h}{3}\mid2-\frac{h}{3}\mid h)$.