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Wahlteil - GTR

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Hinweise zum Wahlteil GTR

Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2022, Wahlteil - GTR. Zum Download hier.

  1. 1

    Aufgabe 1A

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit fa(x)=xe12ax2+12f_{a}(x)=x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}

    mit aRa \in \mathbb{R}. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

    Es gilt: fa(x)=(1ax2)e12ax2+12f_{a}^{\prime}(x)=\left(1-a \cdot x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}

    1. Zeigen Sie, dass f1f_{1} genau eine Nullstelle hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f1f_{1} ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

      Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE)

      Bild
    2. Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

      Für jede Stammfunktion F1F_{1} von f1f_{1} und für jede reelle Zahl u>2022u>2022 gilt: (3 BE)

      F1(u)F1(0)02022f1(x)dxF_{1}(u)-F_{1}(0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1}(x) d x

    3. Bild

      Begründen Sie unter Verwendung der

      Abbildung 2, dass gilt: (3 BE)

      0,51f1(x)dx=0,51f1(x)dx\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x=\int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x

    4. Für einen Wert von aa liegt der Punkt P(1e)P(1 \mid e) auf dem Graphen von faf_{a}.

      Berechnen Sie für diesen Wert von aa die Größe des Winkels, den der Graph von faf_{a} mit der Parallele zur xx-Achse durch den Punkt PP einschließt. (4 BE)

    5. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a,a1a, a_{1} und a2a_{2} :

      • fa(0)=0f_{a}(0)=0

      • fa1(x)=fa2(x)f_{a_{1}}(x)=f_{a_{2}}(x) gilt genau dann, wenn a1=a2a_{1}=a_{2} oder x=0x=0 ist.

      Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen jeweils für den Verlauf der Graphen der Schar folgern lässt. (2 BE)

    6. Für alle Werte von a0a \neq 0 stimmen die Wendestellen von faf_{a} mit den Lösungen

      der Gleichung (ax23)x=0\left(a \cdot x^{2}-3\right) \cdot x=0 überein. Es ist f0(x)=xe12f_{0}(x)=x \cdot e^{\frac{1}{2}}.

      Klassifizieren Sie die Anzahl der Wendestellen von faf_{a} nach dem Wert von aRa \in \mathbb{R}. (7 BE)

    7. Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von a richtig ist:

      Wird der Graph von faf_{a} mit dem gleichen Faktor k>0k>0 sowohl in xx-Richtung als auch in yy-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (4 BE)

    8. Beschreiben Sie die Lage der Punkte (xy)(x \mid y) mit xy<0x \cdot y<0 im Koordinatensystem und begründen Sie, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. (4 BE)

    9. Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=xy=x handelt. (3 BE)

    10. Für jeden positiven Wert von aa bilden der Hochpunkt ( vv)v \mid v) des Graphen von faf_{a}, der Punkt (02)(0|2), der Koordinatenursprung und der Punkt (v0)(v \mid 0) die Eckpunkte eines Vierecks.

      Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von aa, für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat. (5 BE)

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Bild

    Die Grafik stellt den Schuldenstand Deutschlands in Mrd. Euro jeweils zu Beginn des Jahres ab dem Jahr 1950 dar.

    1. Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie zwei geeignete Regressionsfunktionen.

      Beurteilen Sie die von Ihnen gewählten Regressionsfunktionen hinsichtlich ihrer Eignung zur Beschreibung des vorliegenden Sachverhalts. (9 BE)

    3. Bild

      In einem Modell soll der Anstieg des Schuldenstands gestoppt werden und die Schulden sollen abgebaut werden. Zu Beginn des Jahres 2005 beträgt der Schuldenstand in diesem Modell 1490 Mrd. Euro. Die Änderungsrate des Schuldenstands soll ab Beginn des Jahres 2005 durch die Funktion gg mit g(x)=235e0,25x35g(x)=235 \cdot e^{-0{,}25 x}-35, xx in Jahren ab dem Jahr 2005, g(x)g(x) in Mrd. Euro pro Jahr, beschrieben werden. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion gg. Eine Stammfunktion zu gg lautet:

      Begründen Sie, dass der nach diesem Modell erwartete Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 mit dem folgenden Term bestimmt werden kann: (3 BE)

      1490+020g(x)dx1490+\int_{0}^{20} g(x) d x

    4. Skizzieren Sie in das Koordinatensystem den nach diesem Modell ungefähr zu erwartenden Schuldenstand vom Beginn des Jahres 2005 bis zum Jahr 2045. (4 BE)

    5. Berechnen Sie für dieses Modell das Jahr, in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005. (4 BE)

    6. Bestimmen Sie den maximalen Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird. (3 BE)

    7. Unabhängig vom Sachkontext ist die in R\mathbb{R} definierte Funktionenschar hah_{a} mit ha(x)=(1ax)e2ax,aRh_{a}(x)=(1-a \cdot x) \cdot e^{2 \cdot a \cdot x}, a \in \mathbb{R}, gegeben.

      Ohne weiteren Nachweis können Sie verwenden: ha(x)=a(12ax)e2axh_{a}^{\prime}(x)=a \cdot(1-2 \cdot a \cdot x) \cdot e^{2 \cdot a \cdot x}

      Zeigen Sie für a0a \neq 0, dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von aa ist.

      (4 BE)

    8. Für jeden Wert von aa für a0a \neq 0 wird die Gerade durch den Schnittpunkt mit der xx-Achse und den Hochpunkt des zugehörigen Graphen zu hah_{a} betrachtet.

      Für alle diese Geraden gilt: Sie schneiden sich in einem Punkt auf der yy-Achse.

      Bestimmen Sie die yy-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auch mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen. (6 BE)

    9. Berechnen Sie alle Werte von aa, für die der Graph der Ableitungsfunktion hah_{a}^{\prime} vollständig unterhalb oder oberhalb des Graphen der Funktion hah_{a} liegt. (5 BE)

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Bild

    Ein ICE fährt bis 15: 00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15: 02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit.

    Die Geschwindigkeit von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr wird mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=30x390x2+240f(x)=30 x^{3}-90 x^{2}+240 beschrieben.

    Dabei ist xx die seit 15: 00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und f(x)f(x) die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde. Abbildung 1 veranschaulicht den Sachverhalt.

    1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15: 00 Uhr hat.

      Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15: 00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute. (4 BE)

    2. Bestimmen Sie die Länge des Zeitraumes, in dem die Geschwindigkeit höchstens 200 aber mindestens 150 Kilometer pro Stunde beträgt. (3 BE)

    3. Geben Sie mögliche Werte x1x_{1} und x2x_{2} an, sodass gilt: f(x1)=f(x2)f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right). Deuten Sie die Aussage f(x1)=f(x2)f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right) im Sachzusammenhang. (3 BE)

    4. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

      (3 BE)

    5. Bestimmen Sie einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15: 03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau 7 km7 \mathrm{~km} zurücklegt.

      (5 BE)

    6. Untersuchen Sie, ob folgende Aussage richtig ist: (6 BE)

      Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15: 01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.

    7. Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=asin(bx)+cs(x)=a \cdot \sin (b \cdot x)+c mit a,b,cRa, b, c \in \mathbb{R}.

      Die Punkte E1(21)E_{1}(-2 \mid-1) und E2(23)E_{2}(2 \mid 3) sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von ss.

      Bestimmen Sie die passenden Werte von a,ba, b und cc. (5 BE)

      [Zur Kontrolle: a=2,b=π4,c=1a=2, b=\frac{\pi}{4}, c=1 ]

    8. Bild

      Berechnen Sie den Wert des Terms 22s(x)  dx\displaystyle\int_{-2}^{2} s(x)\; d x. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann. (6 BE)

    9. Die Punkte des Graphen von ss mit der yy-Koordinate 1 sind die Wendepunkte des Graphen. Die xx-Koordinate der Wendepunkte ist ganzzahlig und ein Vielfaches von 4. Die Steigung des Graphen von ss in jedem seiner Wendepunkte ist entweder π2-\frac{\pi}{2} oder +π2+\frac{\pi}{2}.

      Für jeden Wendepunkt des Graphen von ss wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt P(20222022)P(2022 \mid 2022) verläuft.

      Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den

      Graphen von ss ist. (5 BE)

  4. 4

    Aufgabe 2A

    Ein Telefonanbieter bietet die Tarife S, M, und L an. Jeder Kunde hat genau einen dieser Tarife. Allen Kunden steht eine Service-Hotline zur Verfügung.

    20%20 \% aller Kunden haben den Tarif S, 25%25 \% den Tarif L. 47%47 \% aller Kunden haben bereits die Service-Hotline angerufen. 27,5%27{,}5\% der Kunden haben den Tarif M und haben bereits die Service-Hotline angerufen.

    11%11 \% haben den Tarif S und haben die Service-Hotline noch nicht angerufen.

    1. Stellen Sie alle Anteile - analog zu einer Vier-Felder-Tafel - in der folgenden Tabelle dar.

      (3 BE)

    2. Ein zufällig ausgewählter Kunde hat die Service-Hotline noch nicht angerufen.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde den Tarif S hat.

      (2 BE)

    3. Bestimmen Sie den Anteil aller Kunden, die entweder den Tarif L\mathrm{L} haben oder die Service-Hotline noch nicht angerufen haben. (2 BE)

    4. Der Anbieter führt eine Befragung unter 600 zufällig ausgewählten Kunden durch. Es kann davon ausgegangen werden, dass unter den Befragten die Anzahl derjenigen mit dem Tarif SS binomialverteilt ist.

      Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang: (3 BE)

    5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Kunden mit dem Tarif S um höchstens 5%5 \% vom Erwartungswert abweicht. (3 BE)

    6. Bestimmen Sie die größte natürliche Zahl kk, für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Befragten weniger als kk Kunden den Tarif SS haben, kleiner als 25%25 \% ist. (4 BE)

    7. Die Wartezeit beim Anrufen der Service-Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden.

      Angenommen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer höchstens drei Minuten warten muss, beträgt 15%15 \%.

      Berechnen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer mindestens fünf Minuten warten muss. (4 BE)

    8. Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei Minuten gibt, in dem die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60%60 \% liegt. (4 BE)

  5. 5

    Aufgabe 2B

    Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben 59%59 \% Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen 23%23 \% ein Fitnessarmband. 19%19 \% aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

    1. Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)

    2. Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.

      (3 BE)

    3. Es gilt 0,230,590,23+0,190{,}23 \neq 0{,}59 \cdot 0{,}23+0{,}19.

      Begründen Sie damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.“ und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband." stochastisch abhängig sind. (3 BE)

    4. 100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 50%50 \% der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben. (2 BE)

    5. Setzt man für aa und bb geeignete Werte ein, so kann mit dem Term

      die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.

      Geben Sie diese Werte für aa und bb an.

      Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis. (3 BE)

    6. Untersuchen Sie, ob es eine natürliche Zahl nn gibt, für die die folgende Aussage richtig ist:

      Werden 2n2 n Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei nn Kunden.

      (3 BE)

    7. Bevor Fitnessarmbänder in den Verkauf gelangen, wird ihre Funktionsfähigkeit überprüft.

      Erfahrungsgemäß sind 10%10 \% der Fitnessarmbänder falsch eingestellt.

      Berechnen Sie, wie viele Fitnessarmbänder mindestens überprüft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99%99 \% mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband zu entdecken. (3 BE)

    8. An 5 Kontrollstationen werden jeweils 10 Fitnessarmbänder kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens an einer Kontrollstation mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband entdeckt wird. (5 BE)

  6. 6

    Aufgabe 2C

    Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. 98%98 \% der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“. Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomialverteilt ist.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist. (3 BE)

    2. Betrachtet werden zwei Stichproben von jeweils 200 Bällen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens einer dieser beiden Stichproben mehr als sechs Bälle unrund sind. (3 BE)

    3. Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%90 \% aussortiert. Allerdings werden auch 5%5 \% der runden Bälle aussortiert.

      Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)

    4. Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 0,980,0520000{,}98 \cdot 0{,}05 \cdot 2000 im Sachzusammenhang.

      (2 BE)

    5. Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen.

      Ermitteln Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden. (4 BE)

    6. Das Gewicht eines Tischtennisballs soll 2,70 Gramm (g) betragen. Das Gewicht der Bälle in der Produktion wird als normalverteilt angenommen mit μ=2,70\mu=2{,}70 und σ=0,03\sigma=0{,}03. Bei der Qualitätskontrolle von Tischtennisbällen in der Produktion werden jeweils 24 Bälle getestet. Es gelten folgende Regeln:

      I) Jedes Gewicht zwischen 2,67 g\mathrm{g} und 2,77 g\mathrm{g} ist akzeptabel, wobei einer der getesteten Bälle ein Gewicht außerhalb dieses Toleranzbereichs aufweisen darf.

      II) Keiner der Bälle darf ein Gewicht von unter 2,60 g oder über 2,85 g aufweisen.

      Bei der Qualitätskontrolle der Bälle gibt es Bereiche von Gewichten, in denen nach den Regeln I und II das Gewicht höchstens eines der Bälle liegen darf, ohne dass es zu einer Beanstandung bei der Kontrolle kommt.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Balles der Produktion innerhalb dieser Bereiche von Gewichten liegt.

      (3 BE)

    7. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Qualitätskontrolle von 24 Bällen keine Beanstandung aufgrund von Regel I auftritt. (4 BE)

    8. Durch Einstellung der Produktionsmaschine kann der Wert für μ\mu verändert werden. Der Wert von σ\sigma bleibt dabei unverändert.

      Entscheiden Sie, ob μ=2,70\mu=2{,}70 die optimale Einstellung der Maschine ist und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

  7. 7

    Aufgabe 3A

    Bild

    Die Abbildung zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken AB,BC\overline{A B}, \overline{B C} und CD\overline{C D} mit

    A(11110),B(111128),C(111128)A(11|11| 0), B(-11|11| 28), C(11|-11| 28) und D(11110)D(-11|-11| 0) besteht. A,B,CA, B, C und DD sind Eckpunkte eines Quaders.

    Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

    1. Bild

      Begründen Sie, dass die Punkte BB und CC symmetrisch bezüglich der x3x_{3}-Achse liegen. (2 BE)

    2. Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 BE)

    3. Die Ebene EE enthält die Punkte A,BA, B und CC, die Ebene FF enthält die Punkte B,CB, C und DD.

      Bestimmen Sie eine Gleichung von EE in Koordinatenform. (3 BE)

      [Zur Kontrolle: 14x1+14x2+11x3=30814 x_{1}+14 x_{2}+11 x_{3}=308 ]

    4. Berechnen Sie die Größe α\alpha des Winkels, unter dem EE die x1x2x_{1} x_{2}-Ebene schneidet.

      Geben Sie einen Term an, mit dem aus α\alpha die Größe des Winkels zwischen den Ebenen EE und FF berechnet werden kann. (5 BE)

    5. Die Ebene EE teilt den Quader in zwei Teilkörper.

      Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper. (4 BE)

    6. Das Saarpolygon wird von verschiedenen Positionen aus betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 stellen das Saarpolygon für zwei dieser Positionen schematisch dar.

      Abbildung 2

      Abbildung 2

      Abbildung 1

      Abbildung 1

      Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt.

      Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 BE)

    7. Der Punkt P(00h)P(0|0| h) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken AB,BC\overline{A B}, \overline{B C} und CD\overline{C D} den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von hh :

      i. OQ=(11110)+t(22028),t[0;1]\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O Q}=\left(\begin{array}{c}11 \\ 11 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-22 \\ 0 \\ 28\end{array}\right), t \in[0 ; 1]

      ii. PQAB=0\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{A B}=0

      iii. PQ=28h|\overline{P Q}|=28-h

      Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von hh zugrunde liegen. (4 BE)

  8. 8

    Aufgabe 3B

    Bild

    Für kRk \in \mathbb{R} mit 0<k60<k \leq 6 werden die Pyramiden ABCDkA B C D_{k} mit A(000),B(400),C(040)A(0|0| 0), B(4|0| 0), C(0|4| 0) und Dk(00k)D_{k}(0|0| k) betrachtet (vgl. Abbildung 1).

    Der Mittelpunkt der Strecke BC\overline{B C} ist M(220)M(2|2| 0).

    1. Begründen Sie, dass das Dreieck BCDkB C D_{k} gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCDkB C D_{k} für k=6k=6. (5 BE)

    2. Für jeden Wert von kk liegt die Seitenfläche BCDkB C D_{k} in der Ebene LkL_{k}.

      Bestimmen Sie eine Gleichung von LkL_{k} in Koordinatenform. (4 BE)

      [Zur Kontrolle: x+y+4kz=4x+y+\frac{4}{k} \cdot z=4]

    3. Ermitteln Sie den Wert von kk, für den die Größe des Winkels, unter dem die zz-Achse die Ebene LkL_{k} schneidet, 3030^{\circ} beträgt. (3 BE)

    4. Bild

      Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der nebenstehenden Abbildung gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte AA und Q(113)Q(1|1| 3) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für k=6k=6 enthält die Seitenfläche BCDkB C D_{k} der Pyramide den Eckpunkt QQ des Quaders. Für kleinere Werte von kk schneidet die Seitenfläche BCDkB C D_{k} den Quader in einem Vieleck.

      Für einen Wert von kk liegen die Eckpunkte PP und RR des Quaders in der Seitenfläche BCDkB C D_{k}.

      Bestimmen Sie diesen Wert von kk.

      [Zur Kontrolle: k=4k=4 ]

      Für diesen Wert von kk liegt ein Punkt einer vorderen Kante ebenfalls in der

      Seitenfläche BCDkB C D_{k}.

      Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes. (6 BE)

    5. Geben Sie in Abhängigkeit von kk die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche BCDkB C D_{k} den Quader schneidet. (3 BE)

    6. Bild

      Nun wird die Pyramide ABCD6A B C D_{6} betrachtet.

      Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der xyx y-Ebene, haben den Eckpunkt AA gemeinsam und sind quadratisch.

      Die Höhe hh der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 0<h<60<h<6. Für jeden Wert von hh liegt der Eckpunkt QhQ_{h} in der Seitenfläche BCD6B C D_{6} der Pyramide.

      Ermitteln Sie die Koordinaten des

      Punktes QhQ_{h}. (4 BE)

  9. 9

    Aufgabe 3C

    Bild

    Der in der Abbildung gezeigte Körper ABCDEFGHA B C D E F G H stellt einen massiven Betonkörper dar, das Rechteck EFGHE F G H dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.

    An der durch die Strecke EH\overline{E H} dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte kann entlang der Kante EH\overline{E H} umgeklappt werden. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers auf, schließt sie bündig mit den Kanten der Deckseite ab. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.

    Gegeben sind die Punkte A(000),B(0200),E(040120)A(0|0| 0), B(0|20| 0), E(0|40| 120), F(058114)F(0|58| 114) und H(2040120)H(-20|40| 120).

    Es gilt: AD=BC=FG=EH=(2000)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{F G}=\overrightarrow{E H}=\left(\begin{array}{c}-20 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)

    Im verwendeten Koordinatensystem stellt die xyx y-Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 cm1 \mathrm{~cm} in der Realität.

    1. Zeigen Sie, dass die Kanten AE\overline{A E} und BF\overline{B F} parallel sind, und prüfen Sie, ob das Viereck ABFEA B F E im Punkt EE einen rechten Winkel hat. (3 BE)

    2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck EFGHE F G H liegt, in Koordinatenform. (3 BE)

      [Zur Kontrolle: y+3z=400]y+3 \cdot z=400]

    3. Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist (213)\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right).

      Bild

      Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung). Durch den Eckpunkt KK wird ein Schattenpunkt KK^{\prime} auf der Deckseite des Betonkörpers erzeugt.

      Ermitteln Sie die Koordinaten von KK^{\prime}.

      (6 BE)

      Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe c) betrachtet wurde, können alle

      Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen Ea:  ay+z=40a+120E_a:\;a \cdot y +z = 40 \cdot a +120 mit aRa\in \mathbb{R} beschrieben werden.

    4. Ermitteln Sie denjenigen Wert von aa, für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt. (3 BE)

    5. Geben Sie die Bedeutung der Lösung der Gleichung (213)(0a1)=0\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ a \\ 1\end{array}\right)=0 bezüglich der Position der Karte zum Sonnenlicht an.

      Beschreiben Sie für diese Position den durch die Karte auf die Deckseite fallenden Schatten. (5 BE)

    6. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch FF dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch P(0y1z)P\left(0\left|y_{1}\right| z\right) und Q(0y2z)Q\left(0\left|y_{2}\right| z\right) mit y2<y1y_{2}<y_{1} beschrieben, wobei FP=y1y2|\overrightarrow{F P}|=y_{1}-y_{2} gilt.

      Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass die Strecken EF\overline{E F} und EQ\overline{E Q} einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken EF\overline{E F} und EP\overline{E P}, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze. (5 BE)


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