Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$

mit $a \in ℝ$ . Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Es gilt: $f_{a}^{'} (x) = (1 - a \cdot x^{2}) \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$

Zeigen Sie, dass $f_{1}$ genau eine Nullstelle hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f_{1}$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Berechnen der Nullstelle
$f_{1} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}$
$f_{1} (x) = 0 \Rightarrow 0 = x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}$
Da für alle $x$ gilt: $e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}} \neq 0$ bleibt nur die Lösung $x = 0$ .
$f_{1}$ hat genau eine Nullstelle bei $x = 0$ .
Weitere Eigenschaften:
Wegen $f (- x) = - f (x)$ ist der Graph von $f_{1}$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Der Graph nähert sich rechts und links asymptotisch an die x-Achse an. Es gilt: $\lim_{x \to \pm \infty} f_{1} (x) = 0$
Es ist $f_{1}^{'} (x) = Ableitung (f_{1}) = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}} (1 - x^{2})$ . $f_{1}^{'} (x) = 0$ für $x = \pm 1$ .
Gemäß der Abbildung hat der Graph bei $x = 1$ einen $H P$ mit der y-Koordinate $f_{1} (1) = 1 \cdot e^{0} = 1$ $\Rightarrow H P (1 | 1)$ und wegen der Punktsymmetrie einen $T P (- 1 | - 1)$ .
Graph von $f$
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Für die Nullstelle:
Setze $f_{1} (x) = 0$ .
Für die Skalierung:
Beachte $f (- x) = - f (x)$ . Was folgt daraus?
Wie verläuft der Graph für $x \mapsto \pm \infty$ ?
Wo befindet sich z.B. der Hochpunkt $H P$ ?
Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion $F_{1}$ von $f_{1}$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt: (3 BE)
$F_{1} (u) - F_{1} (0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1} (x) d x$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion, Integral und Flächenberechnung
Sachverhalt analysieren
Für jede Stammfunktion $F_{1}$ von $f_{1}$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt:
$F_{1} (u) - F_{1} (0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1} (x) d x$
Für jede Zahl $u > 2022$ schließen der Graph von $f_{1}$ , die x-Achse und die Gerade $x = u$ ein bestimmtes Flächenstück ein. Dieses Flächenstück ist ungefähr so groß, wie der Flächeninhalt, den der Graph von $f_{1}$ mit der x-Achse und der Geraden $x = 2022$ einschließt.
Ab $u > 2022$ kommt sozusagen keine nennenswerte Fläche mehr durch das Integral dazu. Das liegt an der asymptotischen Annäherung des Graphen an die $x$ -Achse.
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Es werden zwei Flächeninhalte miteinander vergleichen, welche sind das?
Begründen Sie unter Verwendung der
Abbildung 2, dass gilt: (3 BE)
$\int_{- 0,5}^{1} f_{- 1} (x) d x = \int_{0,5}^{1} f_{- 1} (x) d x$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Begründung
$\int_{- 0,5}^{1} f_{- 1} (x) d x = \int_{0,5}^{1} f_{- 1} (x) d x$
$f_{- 1}$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Deshalb ist $| \int_{- 0,5}^{0} f_{- 1} (x) d x | = \int_{0}^{0,5} f_{- 1} (x) d x$ .
Die linke Teilfläche liegt aber unterhalb der x-Achse, sodass $\int_{- 0,5}^{0,5} f_{- 1} (x) d x = 0$ ist. Es bleibt nur der Inhalt der Teilfläche im Intervall $[0,5; 1]$ übrig.
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Beachte: $f_{- 1}$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Für einen Wert von $a$ liegt der Punkt $P (1 | e)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
Berechnen Sie für diesen Wert von $a$ die Größe des Winkels, den der Graph von $f_{a}$ mit der Parallele zur $x$ -Achse durch den Punkt $P$ einschließt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Berechnung von $a$
Für $x = 1$ ist $f_{a} (1) = e$ :
$e$ $=$ $e^{- \frac{1}{2} a \cdot 1^{2} + \frac{1}{2}}$
$e^{1}$ $=$ $e^{- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}}$
Vergleiche die Exponenten: $1 = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} a \Rightarrow a = - 1$
Berechnung des Winkels, den der Graph von $f_{a}$ mit der Parallelen zur $x$ -Achse durch den Punkt $P$ einschließt
Gegeben ist $f_{a}^{'} (x) = (1 - a \cdot x^{2}) \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$ .
Dann ist $f_{- 1}^{'} (x) = e^{- \frac{1}{2} (- 1) \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} (1 - (- 1) \cdot x^{2}) = e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} (1 + x^{2})$
Für $x = 1$ ist dann $f_{- 1}^{'} (1) = e^{\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{2}} (1 + 1^{2}) = e^{1} \cdot 2$
Für den Winkel gilt dann: $φ = \tan^{- 1} (2 e) \approx 80^{\circ}$ .
Der Graph von $f_{a}$ schließt mit der Parallelen zur $x$ -Achse durch den Punkt $P$ einen Winkel von etwa $80^{\circ}$ ein.
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Abbildung
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Teil 1
Löse $f_{a} (1) = e$ nach $a$ auf.
Teil 2
Berechne die Steigung $f_{- 1}^{'} (1)$ .
Für den Winkel gilt dann: $φ = \tan^{- 1} (f_{- 1}^{'} (1))$
Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_{1}$ und $a_{2}$ :
- $f_{a} (0) = 0$
- $f_{a_{1}} (x) = f_{a_{2}} (x)$ gilt genau dann, wenn $a_{1} = a_{2}$ oder $x = 0$ ist.
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen jeweils für den Verlauf der Graphen der Schar folgern lässt. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Verlauf der Graphen
$f_{a} (0) = 0$ $\Rightarrow$ Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung $(0 | 0)$ .
$f_{a_{1}} (x) = f_{a_{2}} (x) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}$ oder $x = 0$ $\Rightarrow$ Die Graphen für verschiedenes $a$ haben nur bei $x = 0$ einen gemeinsamen Punkt. Wenn sich zwei Graphen außer für $x = 0$ noch an einer anderen Stelle schneiden, dann müssen die Graphen identisch sein.
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Untersuche nacheinander die zwei Aussagen.
Aussagen über $f$ betreffen die Lage des Graphen im Koordinatensystem.
Aussagen über $f^{'}$ betreffen die Steigung.
Für alle Werte von $a \neq 0$ stimmen die Wendestellen von $f_{a}$ mit den Lösungen
der Gleichung $(a \cdot x^{2} - 3) \cdot x = 0$ überein. Es ist $f_{0} (x) = x \cdot e^{\frac{1}{2}}$ .
Klassifizieren Sie die Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ nach dem Wert von $a \in ℝ$ . (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ nach dem Wert von $a \in ℝ$
Für $a = 0$ ist $f_{0} (x) = x \cdot e^{\frac{1}{2}}$ eine Gerade, die keinen Wendepunkt hat.
Für $a \neq 0$ gilt für die Wendestellen $(a \cdot x^{2} - 3) \cdot x = 0$ mit den Lösungen:
$x = 0$ oder $x^{2} = \frac{3}{a}$
Ist $a < 0$ , dann hat die Gleichung für die Wendestellen genau eine Lösung und der Graph $f_{a}$ hat genau eine Wendestelle.
Ist $a > 0$ , dann hat die Gleichung für die Wendestellen genau drei Lösungen und der Graph $f_{a}$ hat genau drei Wendestellen.
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Betrachte die Fälle $a = 0; a < 0$ und $a > 0$ .
Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von a richtig ist:
Wird der Graph von $f_{a}$ mit dem gleichen Faktor $k > 0$ sowohl in $x$ -Richtung als auch in $y$ -Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen stauchen und strecken
Der entstehende Graph
Streckung in y-Richtung: $k \cdot f_{a} (x)$
Streckung in x-Richtung: $f_{a} (\frac{x}{k})$
Ausführung beider Streckungen $(k > 0) \Rightarrow k \cdot f_{a} (\frac{x}{k})$
$k \cdot f_{a} (\frac{x}{k}) = k \cdot \frac{x}{k} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(\frac{x}{k})}^{2} + \frac{1}{2}} = x \cdot e^{- \frac{1}{2} \frac{a}{k^{2}} \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} = f_{\frac{a}{k^{2}}} (x)$
Der entstandene Graph $f_{\frac{a}{k^{2}}}$ ist ebenfalls eine Funktion der Schar.
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Streckung in y-Richtung: $k \cdot f_{a} (x)$
Streckung in x-Richtung: $f_{a} (\frac{x}{k})$
Wende beide Streckungen nacheinander auf $f_{a}$ an.
Beschreiben Sie die Lage der Punkte $(x | y)$ mit $x \cdot y < 0$ im Koordinatensystem und begründen Sie, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadranten im Koordinatensystem
Lösung
Keiner dieser Punkte liegt auf einem Graphen der Schar
Die Punkte $(x | y)$ mit $x \cdot y < 0$ liegen im Innern des 2. und 4. Quadranten.
Für $x < 0$ muss $y > 0$ sein $\Rightarrow$ 2. Quadrant.
Für $x > 0$ muss $y < 0$ sein $\Rightarrow$ 4. Quadrant.
$f_{a} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$ $\Rightarrow$ für alle $x$ ist $e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} > 0$
Damit ist $f_{a} (x) < 0$ für $x < 0$ und $f_{a} (x) > 0$ für $x > 0$ .
Die Graphen der Schar liegen also im Innern des 1. und 3. Quadranten und damit liegen keine Punkte $(x | y)$ mit $x \cdot y < 0$ auf einem Graphen der Schar.
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Überlege, wo die Punkte $(x | y)$ mit $x \cdot y < 0$ liegen.
Überlege, in welchen Quadranten die Graphen von $f_{a}$ liegen.
Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Begründung, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt
Löse die Gleichung $f_{a}^{'} (x) = 0$ .
$0 = (1 - a \cdot x^{2}) \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} \Rightarrow$ nur die Klammer kann null werden.
Du erhältst die Lösungen $x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}$ .
Berechne zunächst $f_{a} (+ \sqrt{\frac{1}{a}})$
$f_{a} (x)$ $=$ $x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
Setze $x = + \sqrt{\frac{1}{a}}$ ein.
$f_{a} (+ \sqrt{\frac{1}{a}})$ $=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(+ \sqrt{\frac{1}{a}})}^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
Vereinfache die Potenz.
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot (\frac{1}{a}) + \frac{1}{2}}$
↓
Kürze in der Potenz.
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{0}$
↓
Es ist $e^{0} = 1$ .
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}}$
Entsprechend erhält man für $f_{a} (- \sqrt{\frac{1}{a}}) = - \sqrt{\frac{1}{a}}$
Für beide Extrema gilt jeweils, dass der x-Wert gleich dem Funktionswert ist. Die $x$ - und $y$ -Koordinaten sind gleich. Alle Extrema liegen somit auf der Geraden mit der Gleichung $y = x$ .
Hinweis: Nur zur Veranschaulichung (In der Aufgabenstellung nicht gefordert.)
Drei Scharkurven mit der Ortskurve $y = x$ der Extrema.
Skizze der Graphen
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Löse die Gleichung $f_{a}^{'} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1,2}$
Berechne dann $f_{a} (x_{1})$ bzw. $f_{a} (x_{2})$ .
Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt ( $v | v)$ des Graphen von $f_{a}$ , der Punkt $(0 | 2)$ , der Koordinatenursprung und der Punkt $(v | 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks.
Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$ , für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Berechne den Wert von $a$ , für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat
Für die Skizze wird die in Aufgabe a) verwendete Abbildung $1$ , die mit Koordinatenachsen versehen wurde und skaliert ist, benutzt.
Skizze
Das Viereck stellt ein Trapez dar. Die Flächenformel für das Trapez lautet:
$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
Nach der obigen Skizze hat die Seite $a$ die Länge $2$ , die Seite $c$ die Länge $f_{a} (v) = v$ und die Höhe $h$ hat die Länge $v$ .
Eingesetzt in die Flächenformel erhält man:
$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (2 + v) \cdot v$
Dieser Flächeninhalt soll $144$ sein. Löse die Gleichung $\frac{1}{2} \cdot (2 + v) \cdot v = 144$ .
Für $v > 0$ erhältst Du die Lösung $v = 16$ und damit ist $f_{a} (16) = 16$ .
Der GTR liefert als Lösung dieser Gleichung $a \approx 0,003906...$ .
Für $a \approx 0,0039$ hat das Viereck den Flächeninhalt $144$ .
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Fertige eine Skizze an.
Das Viereck stellt ein Trapez dar.
Die Flächenformel für das Trapez lautet: $A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
Setze die entsprechenden Werte für $a, c$ und $h$ ein und löse die Gleichung $A_{Trapez} = 144$ .
Mit dem erhaltenen Wert $v > 0$ löse $f_{a} (v) = v$ nach $a$ auf.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$e$	$=$	$e^{- \frac{1}{2} a \cdot 1^{2} + \frac{1}{2}}$
$e^{1}$	$=$	$e^{- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}}$

$f_{a} (x)$	$=$	$x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	Setze $x = + \sqrt{\frac{1}{a}}$ ein.
$f_{a} (+ \sqrt{\frac{1}{a}})$	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(+ \sqrt{\frac{1}{a}})}^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache die Potenz.
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot (\frac{1}{a}) + \frac{1}{2}}$
	↓	Kürze in der Potenz.
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{0}$
	↓	Es ist $e^{0} = 1$ .
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}}$

Aufgabe 1A

Berechnen der Nullstelle

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Sachverhalt analysieren

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Begründung

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Berechnung von a

Berechnung des Winkels, den der Graph von fa mit der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt P einschließt

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Verlauf der Graphen

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Anzahl der Wendestellen von fa nach dem Wert von a∈ℝ

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Der entstehende Graph

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Lösung

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Begründung, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=x handelt

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Berechne den Wert von a, für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat

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Berechnung von $a$

Berechnung des Winkels, den der Graph von $f_{a}$ mit der Parallelen zur $x$ -Achse durch den Punkt $P$ einschließt

Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ nach dem Wert von $a \in ℝ$

Begründung, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt

Berechne den Wert von $a$ , für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat