Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Die Abbildung zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $A B, B C$ und $C D$ mit

$A (11 | 11 | 0), B (- 11 | 11 | 28), C (11 | - 11 | 28)$ und $D (- 11 | - 11 | 0)$ besteht. $A, B, C$ und $D$ sind Eckpunkte eines Quaders.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Begründen Sie, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_{3}$ -Achse liegen. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Begründung, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_{3}$ -Achse liegen
Sowohl die $x_{1}$ -Koordinaten als auch die $x_{2}$ -Koordinaten der beiden Punkte $B$ und $C$ unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen. Die $x_{3}$ -Koordinaten stimmen überein. Daher liegen die beiden Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_{3}$ -Achse.
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Betrachte die $x_{1}$ und $x_{2}$ -Koordinaten der Punkte $B$ und C, sowie die $x_{3}$ -Koordinaten dieser Punkte.
Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit
Der Streckenzug setzt sich aus den Längen der drei Vektoren $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ und $\vec{C D}$ zusammen. Man berechnet die Vektoren und ihre Beträge.
$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 11 \\ 11 \\ 28 \end{array}) - (\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 22 \\ 0 \\ 28 \end{array})$
$| \vec{A B} | = \sqrt{(- 22)^{2} + 0^{2} + 28^{2}} = \sqrt{1268}$
Aus Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass der Betrag des Vektors $\vec{C D}$ gleich dem Betrag des Vektors $\vec{A B}$ ist. (Der Vektor $\vec{C D}$ muss nicht extra berechnet werden.)
$\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 11 \\ - 11 \\ 28 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 11 \\ 11 \\ 28 \end{array}) = (\begin{array}{c} 22 \\ - 22 \\ 0 \end{array})$
$| \vec{B C} | = \sqrt{22^{2} + (- 22)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{968}$
Der Streckenzug setzt sich aus den Längen $2 \cdot | \vec{A B} | + | \vec{B C} | = 2 \cdot \sqrt{1268} + \sqrt{968}$ zusammen. Er hat etwa die Länge $102,33 m$ .
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Der Streckenzug setzt sich aus den Längen $2 \cdot | \vec{A B} | + | \vec{B C} |$ .
Berechne die beiden Vektoren und ihre Beträge.
Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A, B$ und $C$ , die Ebene $F$ enthält die Punkte $B, C$ und $D$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (3 BE)
[Zur Kontrolle: $14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} = 308$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor
Gleichung von $E$ in Koordinatenform
Die Vektoren $\vec{O A} = (\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 22 \\ 0 \\ 28 \end{array})$ sind schon bekannt (Aufgabe $a$ )). Der Vektor $\vec{A C}$ muss noch berechnet werden.
$\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 11 \\ - 11 \\ 28 \end{array}) - (\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 22 \\ 28 \end{array})$
Dann gilt: ${\vec{n}}_{E} \circ \vec{A B} = 0$ und ${\vec{n}}_{E} \circ \vec{A C} = 0$
Man erhält zwei Gleichungen:
$(I) : - 22 \cdot n_{1} + 0 \cdot n_{2} + 28 \cdot n_{3} = 0$
$(I I) : 0 \cdot n_{1} - 22 \cdot n_{2} + 28 \cdot n_{3} = 0$
Rechne $(I) - (I I)$ :
$- 22 \cdot n_{1} + 22 \cdot n_{2} = 0 \Rightarrow n_{1} = n_{2}$
Wähle z.B.: $n_{1} = n_{2} = 14 \Rightarrow - 22 \cdot 14 + 28 \cdot n_{3} = 0 \Rightarrow n_{3} = \frac{22 \cdot 14}{28} = 11$
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 14 \\ 14 \\ 11 \end{array})$ .
Die Ebenengleichung hat dann die Form $E : 14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} = d$
Der Punkt $A (11 | 11 | 0)$ liegt dann in der Ebene, wenn $14 \cdot 11 + 14 \cdot 11 + 11 \cdot 0 = d$ ist. $\Rightarrow d = 308$
Die Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet $14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} = 308$ .
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Es gilt: ${\vec{n}}_{E} \circ \vec{A B} = 0$ und ${\vec{n}}_{E} \circ \vec{A C} = 0$
Löse das Gleichungssystem für ${\vec{n}}_{E}$ .
Die Ebenengleichung hat dann die Form $E : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = d$ .
Der Punkt $A$ erfüllt die Ebenengleichung: $\Rightarrow d$
Berechnen Sie die Größe $α$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet.
Geben Sie einen Term an, mit dem aus $α$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Größe $α$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet
Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt: $𝐜 𝐨 𝐬 𝛂 = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |}$
Dabei sind $\vec{n}$ und $\vec{m}$ die Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Die Ebene $E$ hat den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 14 \\ 14 \\ 11 \end{array})$ und $| \vec{n} | = \sqrt{14^{2} + 14^{2} + 11^{2}} = \sqrt{513}$ .
Die $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat den Normalenvektor $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ und $| \vec{m} | = 1$ .
$\cos (φ) x$ $=$ $\frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |}$
↓
Setze die Werte für die Vektoren und ihre Beträge ein.
$=$ $\frac{| (\begin{array}{c} 14 \\ 14 \\ 11 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{513} \cdot 1}$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$=$ $\frac{| 0 + 0 + 11 |}{\sqrt{513}}$
$=$ $\frac{11}{\sqrt{513}}$
Du hast die Gleichung $\cos (φ) = \frac{11}{\sqrt{513}}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kann der Winkel $φ$ berechnet werden. Man benutzt auf dem TR die Funktion $\cos^{- 1} (x)$ .
$φ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{513}}) \approx {60,94}^{\circ}$
Der Schnittwinkel $φ$ , unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet, beträgt rund $61^{\circ}$ .
Geben Sie einen Term an, mit dem aus $α$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur der Veranschaulichung.
Eingezeichnet sind die beiden Ebenen $E$ ( $orange$ ) und $F$ ( $grün$ ). Der Schnittwinkel, unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet, ist der Winkel $φ$ . Aus Symmetriegründen schneidet die Ebene $F$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene unter dem gleichen Winkel $φ$ .
Im Bild sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ noch einmal in anderer Ansicht gezeichnet. Man kann nun eine einfache Gleichung für den Winkel $α$ zwischen den Ebenen $E$ und $F$ aufstellen:
$α + 2 \cdot φ = 180^{\circ} \Rightarrow α = 180^{\circ} - 2 \cdot φ$ (nur Angabe eines Terms)
Seitenansicht der beiden Ebenen
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Berechne die Größe von $α$ mithilfe der Normalenvektoren der Ebenen.
Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper.
Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper
Der pyramidenförmige Teilkörper ist eine dreiseitige Pyramide.
Für das Pyramidenvolumen gilt: $V_{P} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die Grundfläche der Pyramide $G$ ist die Hälfte der Grundfläche $A$ des Quaders:
$G = \frac{1}{2} \cdot A$ .
Quader und Pyramide haben die gleiche Höhe $h$ . Das Volumen des Quaders ist $V_{Q} = A \cdot h$ .
$\Rightarrow V_{P} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot A) \cdot h = \frac{1}{6} \cdot A \cdot h = \frac{1}{6} \cdot V_{Q}$
Damit beträgt das gesuchte Verhältnis $1 : 5$ .
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Für das Pyramidenvolumen gilt: $V_{P} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die Grundfläche der Pyramide $G$ ist die Hälfte der Grundfläche $A$ des Quaders: $G = \frac{1}{2} \cdot A$ .
Quader und Pyramide haben die gleiche Höhe $h$ . Das Volumen des Quaders ist $V_{Q} = A \cdot h$ .
Setze $G$ in $V_{P}$ ein und forme so um, dass das Volumen des Quaders $V_{Q}$ abgelesen werden kann.
Das Saarpolygon wird von verschiedenen Positionen aus betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 stellen das Saarpolygon für zwei dieser Positionen schematisch dar.
Abbildung 1
Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt.
Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 BE)
Abbildung 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Möglicher Vektor, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt
Blickt man in Richtung der $x_{2}$ -Achse, so erscheint das Saarpolygon entsprechend der Abbildung $1$ .
Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor $(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$ oder auch $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ .
Für die Abbildung $2$ muss man in Richtung einer Winkelhalbierenden der $x_{1} x_{2}$ -Ebene blicken.
Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor $(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$ oder auch $(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ .
Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar
Blickt man von oben auf das Saarpolygon, so erhält man die untere Abbildung.
Oder auch in gedrehter Ansicht.
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Der Punkt $P (0 | 0 | h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $A B, B C$ und $C D$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$ :
i. $\vec{O Q} = (\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 22 \\ 0 \\ 28 \end{array}), t \in [0; 1]$
ii. $\vec{P Q} \cdot \vec{A B} = 0$
iii. $| P Q | = 28 - h$
Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von $h$ zugrunde liegen. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von $h$ zugrunde liegen
Mit Gleichung $i$ wird ein Punkt $Q$ festgelegt, der auf der Strecke $A B$ liegt (wegen $t \in [0; 1]$ ).
Der Punkt $P (0 | 0 | h)$ ist ein Punkt auf der $x_{3}$ -Achse. Der Vektor $\vec{P Q}$ soll senkrecht auf der Strecke $A B$ stehen (für den kürzesten Abstand der Punkte $P$ und $Q$ ). Das ist dann der Fall, wenn Gleichung $ii$ erfüllt ist.
Die Länge von $P Q$ ist der Abstand des Punktes $P$ von $Q$ . Andererseits soll nach Aufgabenstellung der Punkt $P$ auch den gleichen Abstand zur Strecke $B C$ haben.
Für die Punkte $B$ und $C$ ist $x_{3} = 28$ . Die $x_{3}$ -Koordinate vom Punkt $P$ ist $h$ . Der Abstand von $P$ zur Strecke $B C$ ist dann gleich $28 - h$ , wie es Gleichung $iii$ beschreibt.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur der Veranschaulichung.
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Mit Gleichung $i$ wird ein Punkt $Q$ festgelegt, der auf der Strecke $A B$ liegt.
Gleichung $ii$ : $\vec{P Q} ⟂ \vec{A B}$
Gleichung $iii$ : Der Abstand von $P$ zur Strecke $B C$ ist dann gleich $28 - h$ ,

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$\cos (φ) x$	$=$	$\frac{\| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} \|}{\| \vec{𝐧} \| \cdot \| \vec{𝐦} \|}$
	↓	Setze die Werte für die Vektoren und ihre Beträge ein.
	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} 14 \\ 14 \\ 11 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \|}{\sqrt{513} \cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{\| 0 + 0 + 11 \|}{\sqrt{513}}$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{513}}$

Aufgabe 3A

Begründung, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der x3-Achse liegen

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Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit

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Gleichung von E in Koordinatenform

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Größe α des Winkels, unter dem E die x1x2-Ebene schneidet

Geben Sie einen Term an, mit dem aus α die Größe des Winkels zwischen den Ebenen E und F berechnet werden kann

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Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper

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Möglicher Vektor, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt

Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar

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Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von h zugrunde liegen

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Begründung, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_{3}$ -Achse liegen

Gleichung von $E$ in Koordinatenform

Größe $α$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $α$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann

Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von $h$ zugrunde liegen