Fünfjahreszeiträume

Dem Diagramm entnimmt man die erste Jahreszahl $19501950$ mit $1010$ Milliarden €.

$19551955$ hat sich der Schuldenstand auf $2121$ Milliarden € erhöht, also etwas mehr als verdoppelt.

Im weiteren Verlauf findet man dann das Jahr $19701970$ mit $6464$ Milliarden € und nach $55$ Jahren, also $19751975$ einen Schuldenstand von $130130$ Milliarden €, also etwas mehr als verdoppelt.

Exponentielle Regression

Wähle z.B. die exponentielle Regression $y=a\cdot e^{b\cdot x}y=a\backslash cdot\; e^\{b\backslash cdot\; x\}$.

Übertrage alle Daten in eine Tabelle und lass Dir die entsprechenden Koeffizienten anzeigen.

Der TR liefert die Werte $a\approx \mathrm{1,15085}\cdot {10}^{-76}a\backslash approx1\{,\}15085\backslash cdot10^\{-76\}$ und $b\approx \mathrm{1,09522}b\backslash approx1\{,\}09522\backslash ;$

$\Rightarrow y=\mathrm{1,15085}\cdot {10}^{-76}\cdot e^{\mathrm{1,09522}\cdot x}\backslash Rightarrow\backslash ;\; y=1\{,\}15085\backslash cdot10^\{-76\}\backslash cdot\; e^\{1\{,\}09522\backslash cdot\; x\}$

Ergebnis ist eine klassische e-Funktion mit unbegrenztem Schuldenwachstum. Es findet keine Schuldenbremse statt.

Logistische Regression

Wähle als weitere Möglichkeit die logistische Regression $y={\displaystyle \frac{c}{1+a\cdot e^{-b\cdot x}}}y=\backslash dfrac\{c\}\{1+a\backslash cdot\; e^\{-b\backslash cdot\; x\}\}$.

Der TR liefert die Werte $c\approx \mathrm{2938,15971}c\backslash approx2938\{,\}15971$, $a\approx \mathrm{4,33448}\cdot {10}^{89}a\backslash approx4\{,\}33448\backslash cdot10^\{89\}$ und $b\approx \mathrm{0,10303}b\backslash approx0\{,\}10303$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{\mathrm{2938,15971}}{1+\mathrm{4,33448}\cdot {10}^{89}\cdot e^{-\mathrm{0,10303}\cdot x}}}\backslash Rightarrow\backslash ;\; y=\backslash dfrac\{2938\{,\}15971\}\{1+4\{,\}33448\backslash cdot10^\{89\}\backslash cdot\; e^\{-0\{,\}10303\backslash cdot\; x\}\}$

Ergebnis ist eine sich abflachende e-Funktion, die geeignet ist, den Schuldenstand mit einer Schuldenbremse darzustellen.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Die blauen Punkte sind der gegebene Datensatz. Der grüne Graph entspricht der exponentiellen Regression und der orangefarbige Graph der logistischen Regression.

Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 kann mit dem folgenden Term bestimmt werden: $1490+{\displaystyle {\int }_0^{20}g(x)dx}1490+\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{20\}\; g(x)\backslash ;\; d\; x$

Die Funktion $𝑔𝑔$ gibt die Änderung des Schuldenstands in Milliarden € pro Jahr an.

Das Integral von $𝑔𝑔$ über ein Zeitintervall gibt die Gesamtzunahme der

Schulden in dem entsprechenden Zeitraum an.

$14901490$ Milliarden € ist der Schuldenstand zu Beginn des Jahres $20052005$.

Das Integral geht von $00$ (entspricht dem Jahr $20052005$) bis $2020$ (entspricht dem Jahr $20252025$).

Die Summe von $14901490$ und dem Integral gibt demnach den Schuldenstand zu Beginn des Jahres $20252025$ an.

Skizze des Koordinatensystems

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $14901490$.

Der Hochpunkt liegt an der Stelle der Nullstelle des Graphen von $𝑔𝑔$.

Nach dem Hochpunkt erfolgt annähernd eine lineare Abnahme.

Jahr, in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005

Definiere die Funktion $f(x)=1490+{\displaystyle {\int }_0^{t}g(x)dx}f(x)=\; 1490+\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{t\}\; g(x)\backslash ;\; d\; x$

Löse dann die Gleichung $f(x)=1490f(x)=1490$:

$1490+{\displaystyle {\int }_0^{t}g(x)dx=1490\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^{t}g(x)dx=0}}1490+\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{t\}\; g(x)\backslash ;\; d\; x=1490\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{t\}\; g(x)\backslash ;\; d\; x=0$

Der GTR liefert als Lösung $t\approx \mathrm{26,824284...}t\backslash approx26\{,\}824284...$.

Das Ergebnis ist $t\approx \mathrm{26,8}t\backslash approx26\{,\}8$ Jahre, d.h. wir sind dann im Jahr $2005+\mathrm{26,8}=\mathrm{2031,8}2005+26\{,\}8=2031\{,\}8$.

Im Jahr $20312031$ ist der zu erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres $20052005$.

Maximaler Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird

Der Schuldenstand ist maximal, wenn die Änderungsrate gleich null ist.

$g(x)=235\cdot e^{-0.25x}-35=0g(x)=235\; \backslash cdot\; e^\{-0.25\; x\}-35=0$

Der GTR liefert als Lösung dieser Gleichung den Wert $x\approx \mathrm{7,616949...}x\backslash approx7\{,\}616949...$.

Das Ergebnis ist $x\approx \mathrm{7,62}x\backslash approx7\{,\}62$ Jahre.

Wir sind dann im Jahr $2005+\mathrm{7,62}=\mathrm{2012,62}2005+7\{,\}62=2012\{,\}62$.

Im Jahr $20122012$ ist der zu erwartete Schuldenstand maximal.

Er beträgt $f(\mathrm{7,62})=1490+{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{7,62}}g(x)dx\approx \mathrm{2023,4}}f(7\{,\}62)=\; 1490+\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{7\{,\}62\}\; g(x)\backslash ;\; d\; x\backslash approx2023\{,\}4$

Der maximale Schuldenstand beträgt etwa $\mathrm{2023,4}2023\{,\}4$ Milliarden €.

Nachweis für $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$, dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von $aa$ ist

Setze $h_a^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=a\cdot (1-2ax)\cdot e^{2ax}h\_a\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=a\backslash cdot(1-2ax)\backslash cdot\; e^\{2ax\}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt dann, dass $1-2ax=01-2ax=0$ sein muss, da $a\mathrm{\ne }0a\backslash neq0$ und $e^{2ax}>0e^\{2ax\}>0$ für alle $xx$ ist.

$1-2ax=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2a}}1-2ax=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{1\}\{2a\}$

Berechne den maximalen Funktionswert an der Stelle $x={\displaystyle \frac{1}{2a}}x=\backslash dfrac\{1\}\{2a\}$:

Der maximale Funktionswert $h_a(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot eh\_\{a\}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; e$ ist unabhängig von $aa$.

y-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen

Die Gerade geht durch den Schnittpunkt mit der $xx$-Achse und den Hochpunkt $HP({\displaystyle \frac{1}{2a}}\mid {\displaystyle \frac{1}{2}}e)HP\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2a\}\backslash Big\backslash vert\backslash dfrac\{1\}\{2\}e\backslash right)$ des zugehörigen Graphen zu $h_{a}h\_\{a\}$.

Benötigt wird der Schnittpunkt mit der $xx$-Achse.

Berechne $h_a(x)=0h\_a(x)=0$

$0=(1-ax)\cdot e^{2\cdot a\cdot x}0=(1-ax)\backslash cdot\; e^\{2\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; x\}$

Wegen $e^{2ax}>0e^\{2ax\}>0$ für alle $xx$, muss $1-ax=01-ax=0$ sein $\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{a}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{1\}\{a\}$

Damit ergibt sich folgende Skizze:

Aus der Skizze ist ersichtlich, dass die Strecke $\mathrm{\mid }\frac{1}{a}\mathrm{\mid }|\backslash frac\{1\}\{a\}|$ doppelt so lang wie die Strecke $\mathrm{\mid }\frac{1}{2a}\mathrm{\mid }|\backslash frac\{1\}\{2a\}|$ ist.

Mit den Strahlensätzen ist dann auch der y-Achsenabschnitt doppelt so lang wie die Strecke $\mathrm{\mid }\frac{1}{2}e\mathrm{\mid }|\backslash frac\{1\}\{2\}e|$.

Die $yy$-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auf der y-Achse ist dann gleich $ee$.

Werte von $aa$, für die der Graph der Ableitungsfunktion $h_a^{\mathrm{\prime }}h\_\{a\}^\{\backslash prime\}$ vollständig unterhalb des Graphen der Funktion $h_{a}h\_\{a\}$ liegt

Es ist $h_a(x)=(1-ax)\cdot e^{2\cdot a\cdot x}h\_a(x)=(1-ax)\backslash cdot\; e^\{2\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; x\}$ und $h_a^{\mathrm{\prime }}(x)=a\cdot (1-2ax)\cdot e^{2ax}h\_a\text{'}(x)=a\backslash cdot(1-2ax)\backslash cdot\; e^\{2ax\}$.

Berechne $h_a(x)=h_a^{\mathrm{\prime }}(x)h\_a(x)=h\_a\text{'}(x)$:

Die Gleichung kann nur nach $xx$ aufgelöst werden, nur wenn $a(1-2a)\mathrm{\ne }0a(1-2a)\backslash neq\; 0$, d.h. $a\mathrm{\ne }0a\backslash neq\; 0$ und $(1-2a)\mathrm{\ne }0(1-2a)\backslash neq\; 0$.

Man erhält keine Lösung für $a=0a=0$ und für $1-2a=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}1-2a=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=\backslash dfrac\{1\}\{2\}$.

Es ist $a=0\Rightarrow h_0(x)=1a=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;h\_0(x)=1$ und $h_0^{\mathrm{\prime }}(x)=0h\_0\text{'}(x)=0$, d.h. $h_0^{\mathrm{\prime }}(x)h\_0\text{'}(x)$ liegt ganz unterhalb von $h_0(x)h\_0(x)$.

Es ist $a={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow a=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $h_{\frac{1}{2}}(x)=(1-\frac{1}{2}x)\cdot e^{2\cdot \frac{1}{2}\cdot x}=(1-\frac{1}{2}x)\cdot e^x=e^x-\frac{1}{2}x{e}^{x}h\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}(x)=(1-\backslash frac\{1\}\{2\}x)\backslash cdot\; e^\{2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x\}=(1-\backslash frac\{1\}\{2\}x)\backslash cdot\; e^x=e^x-\backslash frac\{1\}\{2\}xe^x$ und $h_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (1-2\frac{1}{2}x)\cdot e^{2\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}\cdot (1-x)\cdot e^x=\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{2}x{e}^{x}h\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(1-2\backslash frac\{1\}\{2\}x)\backslash cdot\; e^\{2\backslash frac\{1\}\{2\}x\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(1-x)\backslash cdot\; e^x=\backslash frac\{1\}\{2\}e^x-\backslash frac\{1\}\{2\}xe^x$

Damit liegt $h_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\prime }}(x)h\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\text{'}(x)$ stets unterhalb von $h_{\frac{1}{2}}(x)h\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}(x)$, weil $\frac{1}{2}{e}^x\backslash frac\{1\}\{2\}e^x$ stets kleiner als $e^{x}e^x$ ist.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Dabei ist $h_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\prime }}(x)h\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\text{'}(x)$ der schwarze Graph und $h_{\frac{1}{2}}(x)h\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}(x)$ der orangefarbige Graph.