Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Dreiecke (11 Punkte)

Gegeben ist ein Dreieck $A B C$

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Die Höhe $h_{c}$ beträgt ca. $7{,}4 \mathrm{~m}$ .

Weisen Sie nach, dass die Länge der Strecke $\overline{A D}$ ca. $12{,}0 \mathrm{~m}$ beträgt. (2P)

Berechnen Sie die Größe des Winkels $\alpha$ . (2P)

Ermitteln Sie die Größe des Winkels $\gamma_{1}$ . (2P)

Berechnen Sie die Länge der Seite $a$ . (2P)

$\large *$ Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ . (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks aus Grundlinie und Höhe berechnen (Herleitung)

Strecke $\left|\overline{DB}\right|$ berechnen

Aus dem rechtwinkligen Dreieck $CDB$ sind folgende Werte bekannt:

Gegenkathete $h_c = 7{,}4$
Winkel $\angle DBC = 52^\circ$

Mit diesen Werten kann die Strecke $\left|\overline{DB}\right|$ berechnet werden:

$\displaystyle \tan(52^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{7{,}4}{\left\|\overline{DB}\right\|}$	$\displaystyle \cdot \left\|\overline{DB}\right\|$
$\displaystyle \tan(52^\circ) \cdot \left\|\overline{DB}\right\|$	$=$	$\displaystyle 7{,}4$	$\displaystyle : \tan(52^\circ)$
$\displaystyle \left\|\overline{DB}\right\|$	$=$	$\displaystyle \dfrac{7{,}4}{\tan(52^\circ)}$
$\displaystyle \left\|\overline{DB}\right\|$	$≈$	$\displaystyle 5{,}8$

Die Länge der Strecke $\left|\overline{DB}\right|$ beträgt ungefähr $5{,}8 \text{\,m}$

Länge der Strecke $\left|\overline{AB}\right|$ berechnen

$\displaystyle \left\|\overline{AB}\right\|$	$=$	$\displaystyle \left\|\overline{AD}\right\| + \left\|\overline{DB}\right\|$
$\displaystyle \left\|\overline{AB}\right\|$	$=$	$\displaystyle 12 + 5{,}8$
$\displaystyle \left\|\overline{AB}\right\|$	$=$	$\displaystyle 17{,}8$

Die Länge der Strecke $\left|\overline{AB}\right|$ beträgt $17{,}8 \text{\,m}$ .

Fläche des Dreiecks berechnen

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{Grundlinie} \cdot \mathrm{Höhe}$
	↓	Werte einstzen
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot 17{,}8 \cdot 7{,}4$
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 65{,}9$

Die Fläche des Dreiecks beträgt ungefähr $65{,}9 ~\mathrm{m^2}$

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Satz des Pythagoras
	↓
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^2 + b^2$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle 14{,}1^2$	$=$	$\displaystyle \left\|\overline{AD}\right\|^2 + 7{,}4^2$	$\displaystyle -7{,}4^2$
$\displaystyle 14{,}1^2-7{,}4^2$	$=$	$\displaystyle \left\|\overline{AD}\right\|^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \sqrt{14{,}1^2-7{,}4^2}$	$=$	$\displaystyle \left\|\overline{AD}\right\|$
$\displaystyle 12$	$≈$	$\displaystyle \left\|\overline{AD}\right\|$

$\displaystyle \sin(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}}$
	↓	Einsetzen der Längenangaben
$\displaystyle \sin(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \frac{7{,}4}{14{,}1}$	$\displaystyle \sin^{-1}()$
	↓	Anwenden der Umkehrfunktion $\sin ^{-1}()$ ergibt den Winkel
$\displaystyle \alpha$	$≈$	$\displaystyle \sin^{-1}(\frac{7{,}4}{14{,}1})$
	↓	Taschenrechner
$\displaystyle \alpha$	$≈$	$\displaystyle 31{,}7^\circ$

$\displaystyle \gamma_1+90°+52°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -90°-52°$
$\displaystyle \gamma_1$	$=$	$\displaystyle 38°$

$\displaystyle \sin(\angle DBC)$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}}$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle \sin(52^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{7{,}4}{a}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{a}{\sin(52°)}$
$\displaystyle a$	$≈$	$\displaystyle 9{,}4$

Dreiecke (11 Punkte)

Länge der Strecke $\overline{A D}$

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Wert des Winkels $\alpha$

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Größe des Winkels $\gamma_1$

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Länge der Seite a

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Strecke $\left|\overline{DB}\right|$ berechnen

Länge der Strecke $\left|\overline{AB}\right|$ berechnen

Fläche des Dreiecks berechnen

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Dreiecke (11 Punkte)

Länge der Strecke AD‾\overline{A D}AD

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Wert des Winkels α\alphaα

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Größe des Winkels γ1\gamma_1γ1​

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Länge der Seite a

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Strecke ∣DB‾∣\left|\overline{DB}\right|​DB​ berechnen

Länge der Strecke ∣AB‾∣\left|\overline{AB}\right|​AB​ berechnen

Fläche des Dreiecks berechnen

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Länge der Strecke $\overline{A D}$

Wert des Winkels $\alpha$

Größe des Winkels $\gamma_1$

Strecke $\left|\overline{DB}\right|$ berechnen

Länge der Strecke $\left|\overline{AB}\right|$ berechnen