Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Dreiecke (11 Punkte)

Gegeben ist ein Dreieck $A B C$

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Die Höhe $h_{c}$ beträgt ca. $7,4 m$ .

Weisen Sie nach, dass die Länge der Strecke $A D$ ca. $12,0 m$ beträgt. (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Länge der Strecke $A D$
Bereits bekannte Werte:
$b = 14,1 m$
$h_{c} = 7,4 m$
Der Winkel $∠ A D C$ ist ein rechter Winkel, deshalb ist das Dreieck $A C D$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Von diesem Dreieck kennst du bereits die Länge der Hypotenuse $b = 14,1 m$ und die Länge einer Kathete $h_{c} = 7,4 m$ .
Mit diesen Werten kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge der zweiten Kathete (Strecke $A D$ ) zu berechnen.
Satz des Pythagoras
↓
$c^{2}$ $=$ $a^{2} + b^{2}$
↓
Werte einsetzen
${14,1}^{2}$ $=$ ${| A D |}^{2} + {7,4}^{2}$ $- {7,4}^{2}$
${14,1}^{2} - {7,4}^{2}$ $=$ ${| A D |}^{2}$ $\sqrt{}$
$\sqrt{{14,1}^{2} - {7,4}^{2}}$ $=$ $| A D |$
$12$ $\approx$ $| A D |$
Damit ist gezeigt, dass die Länge der Strecke ca. 12 m beträgt.
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Ermittle alle bereits bekannten Werte. Es ist hilfreich, wenn du sie dir zusätzlich in der Skizze markierst.
Bestimme die Länge der Strecke $A D$ mit dem Satz des Pythagoras.

Berechnen Sie die Größe des Winkels $α$ . (2P)

Ermitteln Sie die Größe des Winkels $γ_{1}$ . (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Größe des Winkels $γ_{1}$
Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt $180^{\circ}$
Der Winkel $∠ C D B$ hat $90^{\circ}$ , da er Nebenwinkel des rechten Winkels $∠ A D C$ ist.
$γ_{1} + 90 ° + 52 °$ $=$ $180 °$ $- 90 ° - 52 °$
$γ_{1}$ $=$ $38 °$
Der Winkel $γ_{1}$ hat $38^{\circ}$ .
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Bestimme die Größen aller bekannten Winkel.
Ziehe die Summe der bekannten Winkel von der Summe aller Winkel eines Dreiecks ab
Berechnen Sie die Länge der Seite $a$ . (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Länge der Seite a
Aus dem rechtwinkligen Dreieck $C D B$ sind folgende Werte bekannt:
Gegenkathete $h_{c} = 7,4$
Winkel $∠ D B C = 52^{\circ}$
Zur Berechnung der Hypotenuse $a$ verwenden wir die Winkelfunktion:
$\sin (∠ D B C)$ $=$ $\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
↓
Werte einsetzen
$\sin (52^{\circ})$ $=$ $\frac{7,4}{a}$ $\cdot \frac{a}{\sin (52 °)}$
$a$ $\approx$ $9,4$
Die Seite $a$ ist ungefähr $9,4 m$ lang.
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Ermittle zunächst, welche Werte im rechtwinkligen Dreiecks $C D B$ bekannt sind
Benutze eine geeignete Winkelfunktion, um die Länge der Hypotenuse $a$ zu berechnen.
$*$ Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ . (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks aus Grundlinie und Höhe berechnen (Herleitung)
Strecke $| D B |$ berechnen
Aus dem rechtwinkligen Dreieck $C D B$ sind folgende Werte bekannt:
Gegenkathete $h_{c} = 7,4$
Winkel $∠ D B C = 52^{\circ}$
Mit diesen Werten kann die Strecke $| D B |$ berechnet werden:
$\tan (52^{\circ})$ $=$ $\frac{7,4}{| D B |}$ $\cdot | D B |$
$\tan (52^{\circ}) \cdot | D B |$ $=$ $7,4$ $: \tan (52^{\circ})$
$| D B |$ $=$ $\frac{7,4}{\tan (52^{\circ})}$
$| D B |$ $\approx$ $5,8$
Die Länge der Strecke $| D B |$ beträgt ungefähr $5,8 m$
Länge der Strecke $| A B |$ berechnen
$| A B |$ $=$ $| A D | + | D B |$
$| A B |$ $=$ $12 + 5,8$
$| A B |$ $=$ $17,8$
Die Länge der Strecke $| A B |$ beträgt $17,8 m$ .
Fläche des Dreiecks berechnen
$A$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot Grundlinie \cdot H \ddot{o} h e$
↓
Werte einstzen
$A$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 17,8 \cdot 7,4$
$A$ $=$ $65,9$
Die Fläche des Dreiecks beträgt ungefähr $65,9 m^{2}$
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Aus Teilaufgabe (a) weißt du, dass die Strecke $| A D |$ $12 m$ lang ist.
Deshalb berechne zuerst die Länge der Strecke $| D B |$ , um die Länge der Strecke $| A B |$ bestimmen zu können.
Verwende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Satz des Pythagoras
	↓
$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2}$
	↓	Werte einsetzen
${14,1}^{2}$	$=$	${\| A D \|}^{2} + {7,4}^{2}$	$- {7,4}^{2}$
${14,1}^{2} - {7,4}^{2}$	$=$	${\| A D \|}^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{{14,1}^{2} - {7,4}^{2}}$	$=$	$\| A D \|$
$12$	$\approx$	$\| A D \|$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
	↓	Einsetzen der Längenangaben
$\sin (α)$	$=$	$\frac{7,4}{14,1}$	$\sin^{- 1} ()$
	↓	Anwenden der Umkehrfunktion $\sin^{- 1} ()$ ergibt den Winkel
$α$	$\approx$	$\sin^{- 1} (\frac{7,4}{14,1})$
	↓	Taschenrechner
$α$	$\approx$	${31,7}^{\circ}$

$γ_{1} + 90 ° + 52 °$	$=$	$180 °$	$- 90 ° - 52 °$
$γ_{1}$	$=$	$38 °$

$\sin (∠ D B C)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
	↓	Werte einsetzen
$\sin (52^{\circ})$	$=$	$\frac{7,4}{a}$	$\cdot \frac{a}{\sin (52 °)}$
$a$	$\approx$	$9,4$

$\tan (52^{\circ})$	$=$	$\frac{7,4}{\| D B \|}$	$\cdot \| D B \|$
$\tan (52^{\circ}) \cdot \| D B \|$	$=$	$7,4$	$: \tan (52^{\circ})$
$\| D B \|$	$=$	$\frac{7,4}{\tan (52^{\circ})}$
$\| D B \|$	$\approx$	$5,8$

$\| A B \|$	$=$	$\| A D \| + \| D B \|$
$\| A B \|$	$=$	$12 + 5,8$
$\| A B \|$	$=$	$17,8$

$A$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot Grundlinie \cdot H \ddot{o} h e$
	↓	Werte einstzen
$A$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 17,8 \cdot 7,4$
$A$	$=$	$65,9$

Dreiecke (11 Punkte)

Länge der Strecke AD

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Wert des Winkels α

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Größe des Winkels γ1

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Länge der Seite a

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Strecke |DB| berechnen

Länge der Strecke |AB| berechnen

Fläche des Dreiecks berechnen

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Länge der Strecke $A D$

Wert des Winkels $α$

Größe des Winkels $γ_{1}$

Strecke $| D B |$ berechnen

Länge der Strecke $| A B |$ berechnen