Die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben

Dem Diagramm entnimmt man die erste Jahreszahl $1950$ mit $10$ Milliarden €.

$1955$ hat sich der Schuldenstand auf $21$ Milliarden € erhöht, also etwas mehr als verdoppelt.

Im weiteren Verlauf findet man dann das Jahr $1970$ mit $64$ Milliarden € und nach $5$ Jahren, also $1975$ einen Schuldenstand von $130$ Milliarden €, also etwas mehr als verdoppelt.

Verfahren zur Bestimmung einer Funktion

Eines der beiden Verfahren sollte genannt werden:

Parameterbestimmung oder Regression

Drei Schritte der Durchführung des Verfahrens

1. Parameterbestimmung:

• Auswahl des Funktionstyps

• Auswahl geeigneter Wertepaare

• Lösen des Gleichungssystems

2. Regression:

• Auswahl des Funktionstyps

• Eingabe aller Wertepaare in den Taschenrechner

• Bestimmung des Funktionsterms

Zeichnung des Graphen von $f$

Jährliche prozentuale Zunahme der Schulden

Es ist $f(x)=11 \cdot e^{0{,}089 x}\;\Rightarrow\;e^{0{,}089 }\approx1{,}093$.

Damit beträgt die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden etwa $9{,}3\;\%$.

Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als $250$ Mrd. Euro pro Jahr ist

Die Funktion $f$ beschreibt ein exponentielles Wachstum.

Die erste Ableitung von $f$ erreicht ihr Maximum am rechten Rand des Definitionsbereiches. d.h. für $x=60$:

$f'(60)=11\cdot 0{,}089 \cdot e^{0{,}089 \cdot 60}\approx 204<250$

Somit gibt es keinen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als $250$ Mrd. Euro ist.

Das Jahr, in dem die Schulden ihren Höchststand erreichen

Gegeben ist $g(x)=250 \cdot e^{-0{,}25 x}-38$.

Es sind $250 > 0$ und $e^ {−0{,}25} < 1$.

Dann beschreibt der Term $250 \cdot e^{−0{,}25}$ eine exponentielle Abnahme, weil die Basis kleiner als 1 ist und der Graph nicht gespiegelt ist. Die Funktion $g$ ist also monoton fallend.

Berechne $g(x)=0$:

Es ist $x\approx 7{,}54 \;\Rightarrow\;2005+7{,}54\approx2012$

Der Höchststand der Schulden besteht im Verlauf des Jahres $2012$.

Begründung, dass sich die zu erwartenden Schulden zu Beginn des Jahres $2005+m$ mithilfe des folgenden Terms berechnen lassen: $1490+\displaystyle\int_{0}^{m} g(x)\; d x$

Es ist $\displaystyle\int_{0}^{m} g(x)\; d x$. Dabei gibt die Funktion $𝑔$ die Änderung des Schuldenstandes ab $2005$ in Milliarden € pro Jahr an. Mit diesem Integral lassen sich die seit Beginn des Jahres $2005$ im Zeitraum von $m$ Jahren insgesamt hinzugekommenen Schulden berechnen.

$1490$ Milliarden € ist der Schuldenstand zu Beginn des Jahres $2005$. Zusammen mit dem Integral erhält man die Schulden im Jahr $2005+m$.

Das Jahr, in dem die Schulden vollständig abgebaut sind

Berechne $1490+\displaystyle\int_{0}^{m} g(x)\; d x=0$:

Die positive Lösung ist $m\approx65{,}5.\;\Rightarrow\;2005+65{,}5\approx2070$

Im Verlauf des Jahres $2070$ sind die Schulden vollständig abgebaut.

Zeitraum bestimmen

Der Quotient auf der linken Seite beschreibt den Anteil der momentanen Änderungsrate der Schulden im Jahr $m$ nach $2005$ an den Schulden im Jahr $2005+m$.

Damit sind die Lösungen der Gleichung die Zeitpunkte nach dem Jahr $2005$, zu denen dieser Anteil $5\;\%$ beträgt.

Für die Zeit zwischen den beiden Zeitpunkten beträgt die momentane Änderungsrate der Schulden weniger als $5 \%$ der Schulden.

Wegen $0 \leq m \leq 70$ ist $m_1\approx2{,}6$.

Nun ist aber für $m<m_1$, also z.B. für $m=2{,}5$ der Term $\dfrac{g(2{,}5)}{1490+\displaystyle\int_{0}^{2{,}5} g(x) d x} > 0{,}05$ (siehe Abbildung)

Demnach ist $2005 + m_1$ der Anfang des gesuchten Zeitraums etwa das Jahr $2007$.

In Aufgabe e) wurde gezeigt, dass $g(7{,}54)\approx0$ ist. Für $x>7{,}54$ ist dann $g(x)<0$.

Somit kann auch der Quotient negativ werden.

Es ist also $m_2\approx 45{,}5$ und das Ende des gesuchten Zeitraums ist etwa 2050.

Der gesuchte Zeitraum beginnt im Jahr $2007$ und endet im Jahr $2050$.