Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1C

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{640} x^{4} + \frac{1}{40} x^{3} - \frac{9}{80} x^{2} + \frac{1}{5} x + 3$ .

Geben Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P (12 | 0)$ an. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P (12 | 0)$
GeoGebra TR
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P (12 | 0)$ lautet
$y = - 2,5 \cdot x + 30$
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Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P (12 | 0)$ .
Die Ableitung von $f$ kann durch eine Gleichung der Form
$f^{'} (x) = a \cdot (x - b) \cdot (x - c)^{2}$ dargestellt werden.
Geben Sie die passenden Werte von $a, b$ und $c$ an. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Geben Sie die passenden Werte von $a, b$ und $c$ an
$f^{'} (x) = - \frac{1}{160} (x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32)$
$Löse (f^{'} (x) = 0) = {x = 2, x = 8}$
$Löse (f^{''} (x) = 0) = {x = 2, x = 6}$
Vergleicht man die gegebene Ableitung mit der berechneten Ableitung, dann findet man, dass $a = - \frac{1}{160}$ ist.
Weiterhin hat die erste Ableitung die Nullstellen $x = 2$ und $x = 8$ .
Der Ansatz für $f^{'} (x)$ zeigt, dass eine Nullstelle doppelt sein muss (Potenz $2$ ).
Für doppelte Nullstellen gilt, dass auch die zweite Ableitung den Wert null hat.
Das ist hier für $x = 2$ der Fall.
Also ist $x = 2$ die doppelte Nullstelle und $c = 2$ und damit ist dann $b = 8$ .
$\Rightarrow f^{'} (x) = - \frac{1}{160} \cdot (x - 8) \cdot (x - 2)^{2}$
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Bestimme die 1. Ableitung von $f$ und ermittle die Nullstellen.
Die doppelte Nullstelle findest du über die 2. Ableitung.
Untersuchen Sie für jede der drei folgenden Aussagen die Gültigkeit mithilfe des Graphen von $f^{'}$ :
I. Die Funktion $f$ ist überall monoton steigend.
II. An der Stelle $x = 6$ hat die Funktion $f$ kein lokales Maximum.
III. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0,5 | f (0,5))$ ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von $f$ .
(7BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Veranschaulichung der Graphen
Darstellung der Graphen
Der grüne Graph gehört zur Funktion $f$ und der orangefarbige Graph gehört zu $f^{'} .$
I. Die Funktion $f$ ist überall monoton steigend.
Die Aussage I ist falsch, da der Graph von $f^{'}$ Punkte unterhalb der x-Achse hat.
II. An der Stelle $x = 6$ hat die Funktion $f$ kein lokales Maximum.
Die Aussage II ist richtig, da die Funktion $f^{'}$ an der Stelle $x = 6$ keine Nullstelle
besitzt.
III. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0,5 | f (0,5))$ ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von $f$
Tangenten der Graphen
Eingezeichnet in die Abbildung ist der Graph der Tangente im Punkt $(0,5 | f (0,5))$ .
Es ist $f^{'} (0,5) = \frac{27}{256}$ .
Weiterhin ist die Gerade $y = \frac{27}{256}$ in der Abbildung eingezeichnet.
Die Gerade schneidet $f^{'}$ in drei Punkten, d.h. es gibt insgesamt drei Punkte am Graphen von $f$ mit gleicher Steigung und demnach drei parallele Tangenten.
Demnach ist die Aussage III richtig.
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Der Graph der in $ℝ$ definierten Funktion $h$ mit $h (x) = f^{'} (x + 4) - \frac{1}{10}$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Geben Sie die Symmetrie des Graphen von $f^{'}$ an und begründen Sie Ihre Angabe ausgehend vom Graphen von $h$ . (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Die Symmetrie des Graphen von $f^{'}$
Der Graph von $h$ kann aus dem Graphen von $f^{'}$ erzeugt werden durch eine
Verschiebung um $4$ in negative x-Richtung und um $\frac{1}{10}$ in negative
y-Richtung.
Begründung ausgehend vom Graphen von $h$
Die Funktion $h$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Damit ist auch der Graph von $f^{'}$ punktsymmetrisch, und zwar bezüglich des
Punktes $(4 | \frac{1}{10})$ .
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Teil 1
Ermittle die Verschiebung des Graphens in x- und y-Richtung.
Teil 2
Die Funktion $h$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Durch die Verschiebung bleibt die Punktsymmetrie erhalten, nur zu einem anderen Punkt.
Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.
Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs wird zwischen den Punkten $A (0 | 3)$ und $B (9 | f (9))$ modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschrieben.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$ -Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.
Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von $7,05$ m und einer Höhe von $3,10 m$ vollständig im Carport untergestellt werden kann. (4BE)
- Das Wohnmobil kann vollständig untergestellt werden.
- Das Wohnmobil kann nicht vollständig untergestellt werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Kann ein Wohnmobil mit einer Länge von $7,05$ m und einer Höhe von $3,10 m$ vollständig im Carport untergestellt werden?
Untersuche, ob im Bereich $0 \leq x \leq 9$ die Funktionswerte der Funktion $f$ mindestens den Wert $3,1$ haben.
Die Lösung $x \approx 0,8$ liegt in dem betrachteten Bereich.
Die Abbildung zeigt dann, dass der Carport auf einer Länge von etwa $8,20 m$ ausreichend hoch ist ( $9 m - 0,80 m = 8,20 m$ ).
Das Wohnmobil kann also theoretisch vollständig untergestellt werden.
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Löse die Gleichung $f (x) = 3,1$ und vergleiche mit der Abbildung.
Die maximale Neigung von Carportdächern sollte bei $25 %$ liegen. Untersuchen Sie, ob das betrachtete Carportdach diese Eigenschaft erfüllt. (4BE)
Untersuche, ob die maximale Neigung des Carportdachs höchstens $25 %$ beträgt
Die maximale Neigung existiert dort, wo $f^{'}$ ein Maximum oder ein Minimum
besitzt.
Im Bereich $0 \leq x \leq 9$ , siehe Abbildung bei Aufgabe c), nimmt $f^{'} (x)$ den kleinsten Wert an der Intervallgrenze $x = 9$ an.
Also ist $f^{'} (9) \approx - 0,31$ .
Der Carport hat also eine Neigung von etwa $31 %$ und erfüllt die Vorgabe nicht.
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Die maximale Neigung existiert dort, wo $f^{'}$ ein Maximum oder ein Minimum besitzt.
Betrachte den Graphen von $f^{'} (x)$ und suche im Bereich $0 \leq x \leq 9$ den kleinsten Wert. $\Rightarrow x_{1}$
Berechne $f^{'} (x_{1})$ , gib die Neigung in Prozent an und vergleiche mit der vorgegebenen Neigung.
Abgesehen von einem $20 c m$ hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.
Berechnen Sie den Inhalt der verkleideten Fläche. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Der Inhalt der verkleideten Fläche
Berechne das Integral über $f (x)$ im Bereich $\leq x \leq 9$ und ziehe den $20 c m$ hohen und $9 m$ breiten Streifen ab.
Der Flächeninhalt der verkleideten Fläche beträgt etwa $29 m^{2}$ .
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Berechne $A = \int_{0}^{9} f (x) d x - 9 \cdot 0,2$ .
Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von $60 °$ ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch $C (6 | 0)$ und $D (8 | f (8))$ dargestellt.
Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein.
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt. (7BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel konstruieren
Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein
Die $x$ -Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt
Es ist $\tan α = \frac{f (8)}{8 - 6} = \frac{3,8}{2} = 1,9 \Rightarrow α = \tan^{- 1} (1,9) \approx {62,2}^{\circ}$
Dann ist der Winkel $β = 180^{\circ} - {62,2}^{\circ} - 60^{\circ} \approx {57,8}^{\circ}$
Dann gilt: $\tan {57,8}^{\circ} = \frac{f (x)}{6 - x}$
Anmerkung: Der Winkel ${57,8}^{\circ}$ ist etwa $1,0088$ im Bogenmaß.
Im Bereich $0 \leq x \leq 9$ liegt die Lösung $x \approx 4$ .
Die $x$ -Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt, beträgt etwa $4$ .
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Teil 1
Markiere in der Skizze die Punkte $C$ und $D$ . Zeichne die Strecke $C D$ ein.
Trage dann im Punkt $C$ den Winkel $60^{\circ}$ an. Verlängere den Schenkel bis zum Carport.
Teil 2
Berechne den Neigungswinkel der ersten Stütze $\Rightarrow α$
Der Neigungswinkel der zweiten Stütze ist dann $β = 180^{\circ} - α - 60^{\circ}$
Löse dann die Gleichung $\tan β = \frac{f (x)}{6 - x}$ nach $x$ auf.