Aufstellen der Bedingungsgleichungen

Die Funktion $f(x)=a{x}^3+b{x}^2-\mathrm{0,9}x+c$ hat die Ableitung:

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx-\mathrm{0,9}$

Verwende das für die Bedingungsgleichungen:

• "schneidet die y-Achse beim Wert $y=2$" bedeutet, dass $f(0)=2$

• "verläuft durch den Extrempunkt E(2|1,2)" bedeutet:

  • $f(2)=\mathrm{1,2}$

  • $f^{\prime }(2)=0$

Übersetzen in ein Gleichungssystem

Daraus erhältst du die drei Gleichungen

$\begin{array}{l}I)2=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2-\mathrm{0,9}\cdot 0+c\\ II)\mathrm{1,2}=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2-\mathrm{0,9}\cdot 2+c\\ III)0=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2-\mathrm{0,9}\end{array}$

Aus Gleichung I) erhältst du direkt $I)2=c$

Setze c in die anderen beiden Gleichungen ein und vereinfache:

$II)\mathrm{1,2}=8a+4b-\mathrm{1,8}+2$

$III)0=12a+4b-\mathrm{0,9}$

Lösen des Gleichungssystem

Nach Verrechnung aller Konstanten hat das System die Form:

$\begin{array}{l}I)1=8a+4b\\ II)\mathrm{0,9}=12a+4b\end{array}$

Löse dieses System zum Beispiel mit dem Additions/Subtraktionsverfahren:

$\begin{array}{lrl}& 1=& 8a+4b\\ -& \mathrm{0,9}=& 12a+4b\\ & \mathrm{0,1}=& -4a& |:(-4)\\ & -\frac{1}{40}=& a\end{array}$

Setze $a=-\frac{1}{40}$ in eine der Gleichungen ein, um b zu ermitteln:

Der Funktionsterm lautet also $f(x)=-\frac{1}{40}{x}^3+\mathrm{0,3}{x}^2-\mathrm{0,9}x+2$

Lage der Randextrema

Da beide Ränder des Definitionsbereichs eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte, deren Lage du durch Einsetzen in g erhältst:

$g(0)=2$

$g(7)=\mathrm{1,825}$

Die Art dieser Extremstellen erhältst du am einfachsten, wenn du, gemeinsam mit den normalen Extremstellen, eine Monotonietabelle anlegst.

Lage weitere Extremstellen

Bestimme die anderen Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung:

$g^{\prime }(x)=-\mathrm{0,025}(3x^2-24x+36)$

Du brauchst die Nullstellen der 1. Ableitung:

Bestimme die Nullstellen mit der Mitternachtsformel:

$x_{1/2}=\frac{-(-24)\pm \sqrt{(-24{)}^2-4\cdot 3\cdot 36}}{2\cdot 3}$

$x_1=2$ und $x_2=6$

Beide Nullstellen liegen im Definitionsbereich und es handelt sich bei beiden Nullstellen von $g^{\prime }$ um Extremstellen von $g$, da es einfache Nullstellen von $g^{\prime }$ sind)

Ermittele die y-Koordinate dieser Extremstellen:

$g(2)=\mathrm{1,2}$

$g(6)=2$

Art der Extremstellen

Fertige eine Monotonietabelle an, um die Art aller Extremstellen zu bestimmen.

Es gibt also die Extremstellen

$RHOP(0|2),TIP(2|\mathrm{1,2}),HOP(6|2),RTIP(7|\mathrm{1,825})$

Wertemenge

Der kleinste und größte y-Wert der Extrempunkte legt die Wertemenge fest:

$W=[\mathrm{1,2};2]$

Beachte, dass auf der y-Achse bei 1 cm erst die 0,5 markiert wird.

Beim Eintragen der Funktionswerte musst du diese geänderte Skalierung ebenfalls beachten.

Zeichne nicht über die Definitionsmenge $D=[0;7]$ hinaus!

Da das gesamte Flächenstück oberhalb der x-Achse liegt, kannst du den Flächeninhalt direkt mit dem bestimmten Integral berechnen:

$A={\int }_2^{6}g(x)dx=[-\mathrm{0,025}\cdot (\frac{1}{4}{x}^4-4x^3+18x^2-80x){]}_2^6=\mathrm{9,3}-\mathrm{2,9}=\mathrm{6,4}$

Die Fläche ist also $\mathrm{6,4}FE$ groß