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Teil 2 Analysis 2

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

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  1. 1

    Der Graph der Funktion ff mit der Definitionsmenge Df=RD_{f}=\R schneidet in einem kartesischen Koordinatensystem die yy-Achse beim Wert y=2y=2 und verläuft durch den Extrempunkt E(21,2)\mathrm{E}(2 \mid 1{,}2). Außerdem ist bekannt, dass der Funktionsterm durch f(x)=ax3+bx20,9x+cf(x)=a x^{3}+b x^{2}-0{,}9 x+c mit a,b,cIRa, b, c \in I R und a0a \neq 0 dargestellt werden kann.

    1. Bestimmen Sie im Funktionsterm von f\mathrm{f} die Werte der Parameter a,b\mathrm{a}, \mathrm{b} und c\mathrm{c}. (6 BE)

    2. Im Folgenden wird die Funktion gg mit g(x)=f(x)=0,025(x312x2+36x80)g(x)=f(x)=-0{,}025\left(x^{3}-12 x^{2}+36 x-80\right) und der Definitionsmenge Dg=[0;7]D_{g}=[0 ; 7] betrachtet. Der Graph von gg in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gg\mathrm{G}_{\mathrm{g}} bezeichnet.

      Bestimmen Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller Extrempunkte von Gg\mathrm{G}_{\mathrm{g}} und geben Sie die Wertemenge WgW_{g} von gg an. (9 BE)

    3. Zeichnen Sie den Graphen Gg\mathrm{G}_{\mathrm{g}} unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte für 0x70 \leq x \leq 7 in ein Koordinatensystem.

      Maßstab für die xx-Achse: 1LE=1 cm1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm}, für die yy-Achse: 1LE=2 cm1 \mathrm{LE}=2 \mathrm{~cm}

      (4 BE)

    4. Der Graph Gg\mathrm{G}_{\mathrm{g}}, die x\mathrm{x}-Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen x=2\mathrm{x}=2 und x=6\mathrm{x}=6 schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (3 BE)

  2. 2

    Beim Aufladen des Akkus eines Smartphones fließt ein Ladestrom von 2000 Milliampere. Sobald der Akku optimal geladen ist, verringert das Ladegerät den Ladestrom um eine Überladung zu vermeiden.

    Die Funktion II mit I(t)=20000,5t4,88I(t)=2000 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{4{,}88}} und tD1Rt \in D_{1} \subset \mathbb{R} modelliert den Verlauf des Ladestroms ab dem Erreichen der optimalen Akkuladung zur Zeit t=0t=0 bis zur endgültigen Abschaltung des Ladegeräts zur Zeit tend >0t_{\text {end }}>0. Die Funktionswerte von I entsprechen der Stärke des Ladestroms in Milliampere und tt entspricht der Zeit in Minuten.

    Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

    1. Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm näherungsweise auch in der Form I~(t)=2000e0,142t\tilde{I}(t)=2000 \cdot e^{-0{,}142 \cdot t} schreiben lässt. (3 BE)

    2. Das Ladegerät schaltet sich komplett ab, wenn die Ladestromstärke auf 100 Milliampere abgesunken ist. Ermitteln Sie tend t_{\text {end }} unter Verwendung des Funktionsterms aus 2.1. Runden Sie das Ergebnis auf ganze Minuten und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für I~\tilde{\mathrm{I}} an. (4 BE)

  3. 3

    Die Firma FACTUS soll für einen Süßwarenhersteller quaderförmige Verpackungen für Schokoladenbonbons produzieren. Der Auftraggeber verlangt, dass die Verpackung eine quadratische Grundfläche aufweist und dass die Summe aus Länge, Breite und Höhe 45 cm45 \mathrm{~cm} beträgt, damit der Verpackungsautomat die gefalteten Verpackungen verarbeiten und befüllen kann. Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche wird mit a bezeichnet.

    Die Werte der Funktion V:aV(a)V: a \mapsto V(a) geben jeweils das Volumen der Verpackung in cm3\mathrm{cm}^{3} an. Damit die Verpackung handlich bleibt, soll die Seitenlänge a der Grundfläche mindestens 10 cm10 \mathrm{~cm} und höchstens 20 cm20 \mathrm{~cm} betragen.

    Bild

    Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.

    1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion V .

      [ Mögliches Ergebnis: V(a)=45a22a3\mathrm{V}(\mathrm{a})=45 \mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{a}^{3} ]

      (3 BE)

    2. Ermitteln Sie die Maße einer Verpackung der Firma FACTUS, die den Vorgaben entspricht und dabei maximales Volumen besitzt. Geben Sie die spezielle Form dieser Verpackung an und berechnen Sie das Volumen. (7 BE)

    3. Die Firma FACTUS bekommt den Auftrag, 6000 würfelförmige und bedruckte Verpackungen mit einer Kantenlänge von 15 cm15 \mathrm{~cm} herzustellen.

      Aus Kostengründen überlegt die Firma, ob sie den Druckauftrag an die eigene Druckerei FACTUS-Print geben soll oder ob das Angebot der Konkurrenzfirma PappDruck günstiger ist. Bei den Verpackungen werden alle Außenflächen außer der Bodenfläche bedruckt.

      (4 BE)

      Druckkosten

      Rabatt

      FACTUS-Print

      8 Cent pro 1000 cm²

      kein Rabatt

      PappDruck

      9 Cent pro Verpackung

      Bedruckung jedes 10. Würfels gratis

      Entscheiden Sie rechnerisch, welche Firma aus wirtschaftlicher Sicht den Druckauftrag bekommen sollte. (4 BE)


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