Teil 2 Analysis 2

Aufstellen der Bedingungsgleichungen

Die Funktion $f(x)=a{x}^3+b{x}^2-\mathrm{0,9}x+cf(x)=ax^3+bx^2-0\{,\}9x+c$ hat die Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx-\mathrm{0,9}f\text{'}(x)=3ax^2+2bx-0\{,\}9$

Verwende das für die Bedingungsgleichungen:

• "schneidet die y-Achse beim Wert $y=2y=2$" bedeutet, dass $f(0)=2f(0)=2$

• "verläuft durch den Extrempunkt E(2|1,2)" bedeutet:

  • $f(2)=\mathrm{1,2}f(2)=1\{,\}2$

  • $f^{\mathrm{\prime }}(2)=0f\text{'}(2)=0$

Übersetzen in ein Gleichungssystem

Daraus erhältst du die drei Gleichungen

$I)2=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2-\mathrm{0,9}\cdot 0+cII)\mathrm{1,2}=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2-\mathrm{0,9}\cdot 2+cIII)0=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2-\mathrm{0,9}I)\; 2=a\backslash cdot\; 0^3+b\backslash cdot\; 0^2-0\{,\}9\backslash cdot\; 0+c\backslash \backslash \; II)\; 1\{,\}2=a\backslash cdot\; 2^3+b\backslash cdot\; 2^2-0\{,\}9\backslash cdot\; 2+c\backslash \backslash \; III)0=3a\backslash cdot\; 2^2+2b\backslash cdot\; 2\; -\; 0\{,\}9$

Aus Gleichung I) erhältst du direkt $I)2=cI)2=c$

Setze c in die anderen beiden Gleichungen ein und vereinfache:

$II)\mathrm{1,2}=8a+4b-\mathrm{1,8}+2II)1\{,\}2=8a+4b-1\{,\}8+2$

$III)0=12a+4b-\mathrm{0,9}III)0=12a+4b-0\{,\}9$

Lösen des Gleichungssystem

Nach Verrechnung aller Konstanten hat das System die Form:

$I)1=8a+4bII)\mathrm{0,9}=12a+4bI)\; 1=8a+4b\backslash \backslash \; II)0\{,\}9=12a+4b$

Löse dieses System zum Beispiel mit dem Additions/Subtraktionsverfahren:

Setze $a=-\frac{1}{40}a=-\backslash frac\; 1\; \{40\}$ in eine der Gleichungen ein, um b zu ermitteln:

Der Funktionsterm lautet also $f(x)=-\frac{1}{40}{x}^3+\mathrm{0,3}{x}^2-\mathrm{0,9}x+2f(x)=-\backslash frac\; 1\; \{40\}x^3+0\{,\}3x^2-0\{,\}9x+2$

Lage der Randextrema

Da beide Ränder des Definitionsbereichs eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte, deren Lage du durch Einsetzen in g erhältst:

$g(0)=2g(0)=2$

$g(7)=\mathrm{1,825}g(7)=1\{,\}825$

Die Art dieser Extremstellen erhältst du am einfachsten, wenn du, gemeinsam mit den normalen Extremstellen, eine Monotonietabelle anlegst.

Lage weitere Extremstellen

Bestimme die anderen Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,025}(3x^2-24x+36)g\text{'}(x)=-0\{,\}025(3x^2-24x+36)$

Du brauchst die Nullstellen der 1. Ableitung:

Bestimme die Nullstellen mit der Mitternachtsformel:

$x_{1\mathrm{/}2}=\frac{-(-24)\pm \sqrt{(-24{)}^2-4\cdot 3\cdot 36}}{2\cdot 3}x\_\{1/2\}=\backslash frac\{-(-24)\backslash pm\backslash sqrt\{(-24)^2-4\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 36\}\}\{2\backslash cdot\; 3\}$

$x_1=2x\_1=2$ und $x_2=6x\_2=6$

Beide Nullstellen liegen im Definitionsbereich und es handelt sich bei beiden Nullstellen von $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ um Extremstellen von $gg$, da es einfache Nullstellen von $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ sind)

Ermittele die y-Koordinate dieser Extremstellen:

$g(2)=\mathrm{1,2}g(2)=1\{,\}2$

$g(6)=2g(6)=2$

Art der Extremstellen

Fertige eine Monotonietabelle an, um die Art aller Extremstellen zu bestimmen.

Es gibt also die Extremstellen

$RHOP(0\mathrm{\mid }2),TIP(2\mathrm{\mid }\mathrm{1,2}),HOP(6\mathrm{\mid }2),RTIP(7\mathrm{\mid }\mathrm{1,825})RHOP(0|2),\; TIP(2|1\{,\}2),\; HOP(6|2),\; RTIP(7|1\{,\}825)$

Wertemenge

Der kleinste und größte y-Wert der Extrempunkte legt die Wertemenge fest:

$W=[\mathrm{1,2};2]W=[1\{,\}2;2]$

Beachte, dass auf der y-Achse bei 1 cm erst die 0,5 markiert wird.

Beim Eintragen der Funktionswerte musst du diese geänderte Skalierung ebenfalls beachten.

Zeichne nicht über die Definitionsmenge $D=[0;7]D=[0;7]$ hinaus!

Da das gesamte Flächenstück oberhalb der x-Achse liegt, kannst du den Flächeninhalt direkt mit dem bestimmten Integral berechnen:

$A={\int }_2^{6}g(x)dx=[-\mathrm{0,025}\cdot (\frac{1}{4}{x}^4-4x^3+18x^2-80x){]}_2^6=\mathrm{9,3}-\mathrm{2,9}=\mathrm{6,4}A=\backslash int\_2^6g(x)dx=[-0\{,\}025\backslash cdot(\backslash frac\; 1\; 4x^4-4x^3+18x^2-80x)]^6\_2=9\{,\}3-2\{,\}9=6\{,\}4$

Die Fläche ist also $\mathrm{6,4}FE6\{,\}4\; FE$ groß

Forme beide Funktionstermse so um, dass sie die Form $I(t)=a\cdot b^{t}I(t)=a\backslash cdot\; b^t$ haben:

Wiederhole für $\tilde{I}\backslash tilde\; I$:

Zur Erinnerung:

• t beschreibt die Zeit in Minuten seit dem Anstecken an die Steckdose

• $\tilde{I}(t)\backslash tilde\; I(t)$ beschreibt die Stärke des Ladestroms in Milliampere

Zeitpunkt bestimmen

Da du eine Stromstärke gegeben hast und einen Zeitpunkt gesucht ist, entsteht eine Exponentialgleichung:

Das Ladegerät schaltet sich also erst kurz nach der 21. Minute ab.

Definitionsmenge

Die Funktion beschreibt die Situation nur sinnvoll, solange Strom fließt. Das ist ab dem Moment des Ansteckens ($t=0t=0$) bis zum Moment der Abschaltung ($t\approx \mathrm{21,10})t\backslash approx\; 21\{,\}10)$

Somit ist die Definitionsmenge $D_{\tilde{I}}=[0;\mathrm{21,10}]D\_\{\backslash tilde\; I\}=[0;21\{,\}10]$

Hauptbedingung

Die Zielfunktion/Hauptbedingung beschreibt das Volumen des Quaders. Der Quader hat eine quadratische Grundfläche, deshalb gilt für das Volumen:

$V(a,h)=a^2\cdot hV(a,h)=a^2\backslash cdot\; h$

Nebenbedingung

Dein Ziel ist es, h in der Hauptbedingung loszuwerden. Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Summe aus Länge, Breite und Höhe exakt 45 cm ist:

$a+a+h=45a+a+h=45$

Forme diese Nebenbedingung nach h um:

Nebenbedingung in Hauptbedingung

Ersetze h in der Hauptbedingung:

Randextrema

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Kantenlänge a zwischen 10 cm und 20 cm liegen soll, also ist $D_V=[10;20]D\_V=[10;20]$

Die Werte an den Rändern erhältst du durch Einsetzen in den Term:

$V(10)=2500V(10)=2500$

$V(20)=2000V(20)=2000$

übrige Extrema

Du suchst die Nullstellen der 1. Ableitung, an denen $V^{\mathrm{\prime }}V\text{'}$ einen Vorzeichenwechsel hat:

$V^{\mathrm{\prime }}(a)=90a-6a^{2}V\text{'}(a)=90a-6a^2$

Bestimme die Nullstellen von $V^{\mathrm{\prime }}V\text{'}$:

Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es die Lösungen $a=0a=0$, die aber nicht in der Definitionsmenge liegt und die Lösung der Gleichung $90-6a=090-6a=0$:

Die Lösung $a=15a=15$ liegt in der Definitionsmenge.

Den zugehörigen Funktionswert erhältst du durch Einsetzen in V:

$V(15)=3375V(15)=3375$

Das ist der größte Funktionswert in der Definitionsmenge und somit das absolute Maximum von V in $D_{V}D\_V$.

Höhe des Quaders und Form

Setze a in die Nebenbedingung ein, um die zugehörige Höhe zu bekommen:

$h=45-2\cdot 15=15h=45-2\backslash cdot\; 15=15$

Da Länge, Breite und Höhe des Quaders übereinstimmen, handelt es sich um einen Würfel.

Insgesamt hat der Karton also als Würfel mit der Kantenlänge $15cm15\; cm$ das maximale Volumen von $3375c{m}^{3}3375cm^3$

FACTUS-Print

Hier musst du wissen, wie groß die Oberfläche des Würfels ist. Der Karton ist nach oben offen, eine Seitenfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge $a=15a=15$:

$O=5\cdot (15\cdot 15)=1125[c{m}^2]O=5\backslash cdot\; (15\backslash cdot\; 15)=1125\; \backslash quad[cm^2]$

Insgesamt sind es 6000 Würfel, also werden $6000\cdot 1125c{m}^2=6750000c{m}^{2}6000\backslash cdot1125\; cm^2=6750000cm^2$ bedruckt.

Es sind 0,08€ pro $1000c{m}^{2}1000cm^2$ zu bezahlen, also:

$(6750000c{m}^2:1000c{m}^2)\cdot \mathrm{0,08}\text{€}=540\text{€}(6750000cm^2:1000cm^2)\backslash cdot\; 0\{,\}08€=540€$

PappDruck

Da jeder 10. Würfel gratis ist, zahlst du nur 90% der Würfel.

Das sind $6000\cdot \mathrm{0,9}=54006000\backslash cdot\; 0\{,\}9=5400$ Stück.

Pro Würfel zahlst du 0,09€:

$5400\cdot \mathrm{0,09}\text{€}=486\text{€}5400\backslash cdot\; 0\{,\}09\; €=486€$

Entscheidung

Es sollte bei PappDruck gedruckt werden.