Teil 2 Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Beim Aufladen des Akkus eines Smartphones fließt ein Ladestrom von 2000 Milliampere. Sobald der Akku optimal geladen ist, verringert das Ladegerät den Ladestrom um eine Überladung zu vermeiden.

Die Funktion $I$ mit $I (t) = 2000 \cdot {0,5}^{\frac{t}{4,88}}$ und $t \in D_{1} \subset ℝ$ modelliert den Verlauf des Ladestroms ab dem Erreichen der optimalen Akkuladung zur Zeit $t = 0$ bis zur endgültigen Abschaltung des Ladegeräts zur Zeit $t_{end} > 0$ . Die Funktionswerte von I entsprechen der Stärke des Ladestroms in Milliampere und $t$ entspricht der Zeit in Minuten.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm näherungsweise auch in der Form $\tilde{I} (t) = 2000 \cdot e^{- 0,142 \cdot t}$ schreiben lässt. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Forme beide Funktionstermse so um, dass sie die Form $I (t) = a \cdot b^{t}$ haben:
$I (t)$ $=$ $2000 \cdot {0,5}^{\frac{t}{4,88}}$
↓
Ziehe das t aus dem Zähler des Bruchs
$=$ $2000 \cdot {0,5}^{\frac{1}{4,88} \cdot t}$
↓
Verwende $b^{x \cdot y} = (b^{x})^{y}$
$=$ $2000 \cdot {({0,5}^{\frac{1}{4,88}})}^{t}$
↓
Berechne den Wert in der Klammer
$\approx$ $2000 \cdot {(0,8676)}^{t}$
Wiederhole für $\tilde{I}$ :
$\tilde{I} (t)$ $=$ $2000 \cdot e^{- 0,142 t}$
↓
Verwende erneut $b^{x \cdot y} = (b^{x})^{y}$
$=$ $2000 \cdot {(e^{- 0,142})}^{t}$
$=$ $2000 \cdot {(0,8676)}^{t}$
$=$ $I (t)$
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Es gibt mehrere Möglichkeiten, allerdings genügt es auf keinen Fall, nur einige wenige Beispielwerte einzusetzen!
Zeige zum Beispiel unter Anwendung der Potenzgesetze, dass die Wachstumsfaktoren gleich sind, wenn nur noch t im Exponenten steht.
Das Ladegerät schaltet sich komplett ab, wenn die Ladestromstärke auf 100 Milliampere abgesunken ist. Ermitteln Sie $t_{end}$ unter Verwendung des Funktionsterms aus 2.1. Runden Sie das Ergebnis auf ganze Minuten und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für $\tilde{I}$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
Zur Erinnerung:
t beschreibt die Zeit in Minuten seit dem Anstecken an die Steckdose
$\tilde{I} (t)$ beschreibt die Stärke des Ladestroms in Milliampere
Zeitpunkt bestimmen
Da du eine Stromstärke gegeben hast und einen Zeitpunkt gesucht ist, entsteht eine Exponentialgleichung:
$100$ $=$ $\tilde{I} (t)$
$100$ $=$ $2000 \cdot e^{- 0,142 t}$ $: 2000$
$\frac{1}{20}$ $=$ $e^{- 0,142 t}$
↓
Verwende den ln
$\ln (\frac{1}{20})$ $=$ $- 0,142 t$ $: (- 0,142)$
$t$ $\approx$ $21,10$
Das Ladegerät schaltet sich also erst kurz nach der 21. Minute ab.
Definitionsmenge
Die Funktion beschreibt die Situation nur sinnvoll, solange Strom fließt. Das ist ab dem Moment des Ansteckens ( $t = 0$ ) bis zum Moment der Abschaltung ( $t \approx 21,10)$
Somit ist die Definitionsmenge $D_{\tilde{I}} = [0; 21,10]$
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Stelle eine Gleichung auf
Löse die Gleichung
Runde abschließend sinnvoll und schreibe einen Antwortsatz
Vergiss nicht mithilfe des berechneten Wertes eine Definitionsmenge festzulegen

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$I (t)$	$=$	$2000 \cdot {0,5}^{\frac{t}{4,88}}$
	↓	Ziehe das t aus dem Zähler des Bruchs
	$=$	$2000 \cdot {0,5}^{\frac{1}{4,88} \cdot t}$
	↓	Verwende $b^{x \cdot y} = (b^{x})^{y}$
	$=$	$2000 \cdot {({0,5}^{\frac{1}{4,88}})}^{t}$
	↓	Berechne den Wert in der Klammer
	$\approx$	$2000 \cdot {(0,8676)}^{t}$

$\tilde{I} (t)$	$=$	$2000 \cdot e^{- 0,142 t}$
	↓	Verwende erneut $b^{x \cdot y} = (b^{x})^{y}$
	$=$	$2000 \cdot {(e^{- 0,142})}^{t}$
	$=$	$2000 \cdot {(0,8676)}^{t}$
	$=$	$I (t)$

$100$	$=$	$\tilde{I} (t)$
$100$	$=$	$2000 \cdot e^{- 0,142 t}$	$: 2000$
$\frac{1}{20}$	$=$	$e^{- 0,142 t}$
	↓	Verwende den ln
$\ln (\frac{1}{20})$	$=$	$- 0,142 t$	$: (- 0,142)$
$t$	$\approx$	$21,10$

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Zeitpunkt bestimmen

Definitionsmenge

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