Teil 2 Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Beim Aufladen des Akkus eines Smartphones fließt ein Ladestrom von 2000 Milliampere. Sobald der Akku optimal geladen ist, verringert das Ladegerät den Ladestrom um eine Überladung zu vermeiden.

Die Funktion $I$ mit $I(t)=2000 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{4{,}88}}$ und $t \in D_{1} \subset \mathbb{R}$ modelliert den Verlauf des Ladestroms ab dem Erreichen der optimalen Akkuladung zur Zeit $t=0$ bis zur endgültigen Abschaltung des Ladegeräts zur Zeit $t_{\text {end }}>0$ . Die Funktionswerte von I entsprechen der Stärke des Ladestroms in Milliampere und $t$ entspricht der Zeit in Minuten.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm näherungsweise auch in der Form $\tilde{I}(t)=2000 \cdot e^{-0{,}142 \cdot t}$ schreiben lässt. (3 BE)

Das Ladegerät schaltet sich komplett ab, wenn die Ladestromstärke auf 100 Milliampere abgesunken ist. Ermitteln Sie $t_{\text {end }}$ unter Verwendung des Funktionsterms aus 2.1. Runden Sie das Ergebnis auf ganze Minuten und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für $\tilde{\mathrm{I}}$ an. (4 BE)

$\displaystyle I\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 2000\cdot0{,}5^{\frac{t}{4{,}88}}$
	↓	Ziehe das t aus dem Zähler des Bruchs
	$=$	$\displaystyle 2000\cdot0{,}5^{\frac{1}{4{,}88}\cdot t}$
	↓	Verwende $b^{x\cdot y}=(b^x)^y$
	$=$	$\displaystyle 2000\cdot\left(0{,}5^{\frac{1}{4{,}88}}\right)^t$
	↓	Berechne den Wert in der Klammer
	$≈$	$\displaystyle 2000\cdot\left(0{,}8676\right)^t$

$\displaystyle \tilde{I}\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 2000\cdot e^{-0{,}142t}$
	↓	Verwende erneut $b^{x\cdot y}=(b^x)^y$
	$=$	$\displaystyle 2000\cdot\left(e^{-0{,}142}\right)^t$
	$=$	$\displaystyle 2000\cdot\left(0{,}8676\right)^t$
	$=$	$\displaystyle I\left(t\right)$

$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle \tilde{I}\left(t\right)$
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle 2000\cdot e^{-0{,}142t}$	$\displaystyle :2000$
$\displaystyle \frac{1}{20}$	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}142t}$
	↓	Verwende den ln
$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{20}\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}142t$	$\displaystyle :\left(-0{,}142\right)$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 21{,}10$

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