Berechne das Volumen mit der Formel: $V=\frac{4}{3}{r}^3\pi V=\backslash frac\{4\}\{3\}r^3\backslash pi$

Formel Kugeloberfläche

$O_K=4\cdot \pi \cdot r^{2}O\_\{K\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^\{2\}$

Wenn wir nun den Radius r in die Formel $O_{K}O\_\{K\}$ einsetzen, dann kriegen wir die gewünschte Flächeneinheit in Quadratmeter. Den Radius r von Zentimeter in Meter umzurechnen ist zumeist weniger Fehleranfällig als die $12m^{2}12\backslash \; m^\{2\}$ in $c{m}^{2}cm^\{2\}$ umzurechnen.

Die Aufgabenstellung fordert uns nicht dazu auf, aber es ist sinnvoll, auf ganze Kugeln zu runden:

Stellen wir uns vor, wir sind der Verkäufer dieser Glaskugeln:

Als Geschäftsmann oder -frau haben wir natürlich Interesse daran, nur ganze Kugeln zu verkaufen. Das gleiche gilt dann für die ganz lackierten Kugeln.

Deshalb haben wir auf 596 ganze Kugeln gerundet. Für 597 hätte die Farbe nicht ausgereicht.

Oberfläche der Ausgangskugel $K_{1}K\_1$

$O_{K_1}=4\cdot \pi \cdot r^{2}O\_\{K\_1\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^\{2\}$

Verdoppelung des Durchmessers

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Bei einer Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Wir setzen den verdoppelten Radius in die Formel ein und untersuchen, wie sich die Oberfläche verändert:

$O_{K_2}=4\cdot \pi \cdot (2r{)}^{2}O\_\{K\_2\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; (2r)^\{2\}$

$O_{K_2}=4\cdot \pi \cdot 4r^{2}O\_\{K\_2\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 4r^\{2\}$

$O_{K_2}=4\cdot (4\cdot \pi \cdot r^2)O\_\{K\_2\}\; =\; 4\backslash cdot(4\backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^\{2\})$

$O_{K_2}=4\cdot O_{K1}O\_\{K\_2\}\; =\; 4\backslash cdot\; O\_\{K1\}$

Die Oberfläche einer Kugel mit doppeltem Durchmesser ist viermal so groß, wie die ursprüngliche Kugel. Für eine Glaskugel mit doppeltem Durchmesser benötigt man also viermal so viel Farbe.“

Baumdiagramm

$3\mathrm{\%}3\backslash \%$ der Kugeln haben eine Form mit Fehlern.

$6\mathrm{\%}6\backslash \%$ der Kugeln haben eine Form ohne Fehler, aber eine Lackierung mit Fehler.

Begründung

Der untere Ast des Baumdiagramms wird nicht fortgeführt, weil alle Glaskugeln, die eine Form mit Fehlern haben, direkt aussortiert werden. Sie werden keiner weiteren Kontrolle unterzogen.

Kugeln mit einer Form ohne Fehler

$2000\cdot \mathrm{0,97}=19402000\backslash cdot\; 0\{,\}97=1940$

Kugeln mit einer Form ohne Fehler und ohne Fehler bei der Lackierung

$1940\cdot \mathrm{0,94}=\mathrm{1823,6}1940\backslash cdot\; 0\{,\}94=1823\{,\}6$

Es werden etwa 1823 Kugeln ohne Fehler erwartet.