Berechnung der Länge der Hypotenuse

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

in dem gezeigten Dreieck ${\text{D}}_1$ gilt: $\mathrm{a}=\mathrm{b}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Setze $3$ in die Formel ein und berechne die Hypotenuse $\text{𝐜}.$

$\mathrm{c}=\sqrt{3^2+3^2}\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \mathrm{c}=\sqrt{18}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{c}\approx \mathrm{4,243}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Die Länge der Hypotenuse von Dreieck ${\text{D}}_1$ beträgt ca. $\mathrm{4,243}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Skizze der Figur

Begründung

Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, das bedeutet die Basiswinkel

betragen ${45}^{\circ }$. Ein Vollkreis hat ${360}^{\circ }$. Die Anzahl der Dreiecke ist dann: ${\displaystyle \frac{360}{45}}=8.$

Siehe Skizze.

Skizze der Figur

Berechnen der Hypotenuse von Dreieck ${\text{D}}_1$

${\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2}\Rightarrow {\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\sqrt{2{\mathrm{a}}^2}$

${\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\mathrm{a}\sqrt{2}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck ${\text{D}}_1$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{a}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2}{2}}$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{a}}^2$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks ${\text{D}}_2$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}\cdot \mathrm{a}\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{1}{\cancel{2}}}\cdot \cancel{2}{\mathrm{a}}^2$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\mathrm{a}}^2$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_1$ beträgt ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{a}}^2$,

der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_2$ beträgt ${\mathrm{a}}^2.$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_2$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_1$.

Die Flächeninhalte der Dreiecke in dem Muster sind ein Vielfaches von $\mathrm{4,5}$.

$250$ ist nicht ohne Rest durch $\mathrm{4,5}$ teilbar.

$250:\mathrm{4,5}=55,\overline{5}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks ${\text{D}}_8$

Die Fläche des Dreiecks ${\text{D}}_8$berechnet sich:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}=\mathrm{4,5}\cdot 2^7=576\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks ${\text{D}}_8$

Die Kathete eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2}{2}}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{2\cdot {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}}$ einsetzen der Zahlenwerte

$\mathrm{a}=\sqrt{2\cdot 576\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}$

$\mathrm{a}\approx \mathrm{33,94}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Da die Länge der Kathete des Dreiecks ${\text{D}}_8$ ca. $\mathrm{33,94}\mathrm{c}\mathrm{m}$, die längere Seite

eines DIN-A4-Blatts aber nur $\mathrm{29,7}\mathrm{c}\mathrm{m}$ beträgt, ist es nicht möglich das Dreieck ${\text{D}}_8$

aus einem einzigen DIN-A4-Blatt auszuschneiden.