Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

Gegeben sind der Punkt $A (2 ∣ 2 ∣ 1)$ und die Gerade $g$ mit $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -2 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie, dass $A$ ein Punkt von $g$ ist.
Die Ebene $E$ enthält den Punkt $A$ . $E$ und $g$ sind orthogonal zueinander.
Bestimmen Sie eine Gleichung für $E$ . (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden und Ebenen im Raum
$A$ ist ein Punkt von $g$
Setze $A$ in $g$ ein:
$\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{(I)}$ folgt, dass $s = 2$ ist. Die zweite und dritte Gleichung sind für $s = 2$ auch erfüllt. $A$ ist ein Punkt von $g$ .
Gleichung für $E$
$E$ und $g$ sind orthogonal zueinander, d.h. der Richtungsvektor der Geraden $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ :
$E:\;\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\circ \vec x=d$
Wegen $A\in E$ folgt: $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=d\;\Rightarrow\;1\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 1=d\;\Rightarrow\;d=7$
$E:\; x+2y+z=7$ ist die gesuchte Ebenengleichung.
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Setze $A$ in $g$ ein und prüfe, ob die $3$ Gleichungen für ein $s$ erfüllt sind.
$E$ und $g$ sind orthogonal zueinander, d.h. der Richtungsvektor der Geraden $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ . Beachte auch, dass $A\in E$ ist.
Gegeben sind die Geraden $h_{a}$ mit $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 0\end{array}\right), r \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$ .
Geben Sie eine Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen.
Zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ebene $H$ auch ein Punkt von $h_{a}$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden und Ebenen im Raum
Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen
Es ist $\def\arraystretch{1.25} h_a:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 0\end{array}\right)$
Die dritte Gleichung ist $z = 4$ . Das ist auch die Gleichung der Ebene $H$ .
Überprüfung: $h_a\cap H\;\Rightarrow\;0\cdot(3+r\cdot a)+0\cdot(4-r)+4+r\cdot 0=4\;\checkmark$
Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_{a}$
Wähle z.B. den Punkt $B (0 ∣ 4 ∣ 4)$ . Es gilt: $B\in E$ . Prüfe, ob $B\in h_a$ :
$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt, dass $r = 0$ ist.
Dann ergibt sich Gleichung $\mathrm{(I)}$ : $0=3+0\cdot a\;\Rightarrow\;0=3$
Das ist aber ein Widerspruch, sodass $B\notin h_a$ .
Damit ist gezeigt, dass nicht jeder Punkt der Ebene $H$ auch ein Punkt von $h_{a}$ ist.
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Teil 1
Betrachte die dritte Gleichung der Geradengleichung.
Teil 2
Wähle einen Punkt mit den Koordinaten $(x ∣ 4 ∣ 4)$ ( $x$ beliebig) und prüfe, ob dieser Punkt in der Ebene $H$ liegt.

Klassifizieren Sie die Geraden $h_{a}$ nach der Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte mit der Ebene, mit der Gleichung $x + 2 y + z = 7$ . (4 BE)

Eine der Geraden von $h_{a}$ hat einen Schnittpunkt mit $g$ .

Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel. (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Schnittpunkt von $h_{a}$ mit g

$h_a\cap g:$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$	$\displaystyle -\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$
	↓	Bringe die Richtungsvektoren auf eine Seite der Gleichung und die Stützvektoren auf die andere Gleichungsseite.
$\displaystyle \begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$	$\displaystyle -r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}-r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$
	↓	Berechne die Differenz.
$\displaystyle \begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 5\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}-r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$

Aus der dritten Gleichung folgt $s = 5$ .

In Gleichung $\mathrm{(II)}$ wird $s = 5$ eingesetzt: $6=5\cdot 2+r\;\Rightarrow\;r=-4$ .

$r = - 4$ und $s = 5$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ eingesetzt ergibt: $3=5-(-4)\cdot a\;\Rightarrow\;-2=4\cdot a\;\Rightarrow\;a=-0{,}5$

Setzt man $s = 5$ in $g$ ein, erhält man den Schnittpunkt der beiden Geraden:

\displaystyle \vec x_S=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 4\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;S(5|8|4)

Der Schnittpunkt von $h_{-0{,}5}$ mit $g$ hat die Koordinaten $S (5 ∣ 8 ∣ 4)$ .

Berechnen Sie den Schnittwinkel von $h_{-0{,}5}$ mit g

Der Richtungsvektor von $h_{-0{,}5}$ ist $\vec u=\begin{pmatrix}-0{,}5 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ und der Richtungsvektor von $g$ ist $\vec v=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ . Für den Schnittwinkel gilt dann:

$\displaystyle \cos \alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\|\vec u\circ \vec v\|}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}-0{,}5 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\right\|}{\sqrt{(-0{,}5)^2+(-1)^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+1^2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|-0{,}5-2\right\|}{\sqrt{1{,}25}\cdot \sqrt{6}}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2{,}5}{\sqrt{7{,}5}}$

$\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{2{,}5}{\sqrt{7{,}5}}\right)\approx24{,}1^\circ$

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund $24{,}1^\circ$ .

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Der Punkt $T$ bewegt sich auf der Geraden $h_{0}$ und bildet mit zwei Punkten $P$ und $Q$ auf der Geraden $g$ ein Dreieck.
Begründen Sie, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Geraden
Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat
Der Punkt $T$ bewegt sich auf der Geraden $h_{0}$ . Zwei Punkte $P$ und $Q$ liegen auf der Geraden $g$ und bilden zusammen mit $T$ ein Dreieck. Die beiden Geraden $g$ und $h_{0}$ sind windschief.
Siehe Skizze:
Die Dreiecksfläche ist $A_{PQT}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline {PQ}|\cdot h$ .
Dabei ist die Höhe $h$ das Lot von $T$ auf $g$ .
Diese Höhe ist am kleinsten, wenn $T$ auf $h_{0}$ dort liegt, wo sich $g$ und $h_{0}$ am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Abstand von $T$ und $g$ genauso groß wie der Abstand von $g$ und $h_{0}$ ist.
In diesem Fall hat das Dreieck $P Q T$ einen minimalen Flächeninhalt.
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Die Dreiecksfläche ist $A_{PQT}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline {PQ}|\cdot h$ . Dabei ist die Höhe $h$ das Lot von $T$ auf $g$ .
Suche einen Ort für den Punkt $T$ auf $h_{0}$ , an dem die Höhe $h$ minimal wird.

$\displaystyle (3+r\cdot a)+2\cdot(4-r)+(4+r\cdot0)$	$=$	$\displaystyle 7$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle 3+ra+8-2r+4$	$=$	$\displaystyle 7$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 15+r(a-2)$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle r(a-2)$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :(a-2)$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8}{a-2}$
	↓	Klammere im Zähler und Nenner $(- 1)$ aus und kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{2-a}$

Aufgabe 3C

$A$ ist ein Punkt von $g$

Gleichung für $E$

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Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen

Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_{a}$

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Gerade in Ebene einsetzen

Parameter untersuchen

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Schnittpunkt von $h_{a}$ mit g

Berechnen Sie den Schnittwinkel von $h_{-0{,}5}$ mit g

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Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat

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Aufgabe 3C

AAA ist ein Punkt von ggg

Gleichung für EEE

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Gleichung der Ebene HHH an, in der alle Geraden hah_{a}ha​ liegen

Nicht jeder Punkt der Ebene HHH ist auch ein Punkt von hah_{a}ha​

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Gerade in Ebene einsetzen

Parameter untersuchen

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Schnittpunkt von hah_{a}ha​ mit g

Berechnen Sie den Schnittwinkel von h−0,5h_{-0{,}5}h−0,5​ mit g

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Begründung, dass es genau einen Punkt TTT gibt, für den das Dreieck PQTP Q TPQT minimalen Flächeninhalt hat

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$A$ ist ein Punkt von $g$

Gleichung für $E$

Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen

Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_{a}$

Schnittpunkt von $h_{a}$ mit g

Berechnen Sie den Schnittwinkel von $h_{-0{,}5}$ mit g

Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat