$A$ ist ein Punkt von $g$

Setze $A$ in $g$ ein:

$\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$

Aus Gleichung $\mathrm{(I)}$ folgt, dass $s=2$ ist. Die zweite und dritte Gleichung sind für $s=2$ auch erfüllt. $A$ ist ein Punkt von $g$.

Gleichung für $E$

$E$ und $g$ sind orthogonal zueinander, d.h. der Richtungsvektor der Geraden $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$:

$E:\;\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\circ \vec x=d$

Wegen $A\in E$ folgt: $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=d\;\Rightarrow\;1\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 1=d\;\Rightarrow\;d=7$

$E:\; x+2y+z=7$ ist die gesuchte Ebenengleichung.

Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen

Es ist $\def\arraystretch{1.25} h_a:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 0\end{array}\right)$

Die dritte Gleichung ist $z=4$. Das ist auch die Gleichung der Ebene $H$.

Überprüfung: $h_a\cap H\;\Rightarrow\;0\cdot(3+r\cdot a)+0\cdot(4-r)+4+r\cdot 0=4\;\checkmark$

Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_{a}$

Wähle z.B. den Punkt $B(0|4|4)$. Es gilt: $B\in E$. Prüfe, ob $B\in h_a$:

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt, dass $r=0$ ist.

Dann ergibt sich Gleichung $\mathrm{(I)}$: $0=3+0\cdot a\;\Rightarrow\;0=3$

Das ist aber ein Widerspruch, sodass $B\notin h_a$.

Damit ist gezeigt, dass nicht jeder Punkt der Ebene $H$ auch ein Punkt von $h_{a}$ ist.

Gerade in Ebene einsetzen

Es ist $h_a:\;\begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}a \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ und $E:\;x+2 y+z=7$.

Setze $h_a$ in $E$ ein:

Parameter untersuchen

Die Gleichung $r=\dfrac{8}{2-a}$ hat für $a=2$ keine Lösung, d.h. die Gerade $h_2$ und $E$ haben keine gemeinsamen Punkte.

Ist $a\neq 2$, dann hat jede Gerade $h_a$ genau einen Schnittpunkt mit $E$.

Schnittpunkt von $h_{a}$ mit g

$h_a\cap g:$

Aus der dritten Gleichung folgt $s=5$.

In Gleichung $\mathrm{(II)}$ wird $s=5$ eingesetzt: $6=5\cdot 2+r\;\Rightarrow\;r=-4$.

$r=-4$ und $s=5$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ eingesetzt ergibt: $3=5-(-4)\cdot a\;\Rightarrow\;-2=4\cdot a\;\Rightarrow\;a=-0{,}5$

Setzt man $s=5$ in $g$ ein, erhält man den Schnittpunkt der beiden Geraden:

Der Schnittpunkt von $h_{-0{,}5}$ mit $g$ hat die Koordinaten $S(5|8|4)$.

Berechnen Sie den Schnittwinkel von $h_{-0{,}5}$ mit g

Der Richtungsvektor von $h_{-0{,}5}$ ist $\vec u=\begin{pmatrix}-0{,}5 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ und der Richtungsvektor von $g$ ist $\vec v=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$. Für den Schnittwinkel gilt dann:

$\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{2{,}5}{\sqrt{7{,}5}}\right)\approx24{,}1^\circ$

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund $24{,}1^\circ$.

Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat

Der Punkt $T$ bewegt sich auf der Geraden $h_{0}$. Zwei Punkte $P$ und $Q$ liegen auf der Geraden $g$ und bilden zusammen mit $T$ ein Dreieck. Die beiden Geraden $g$ und $h_0$ sind windschief.

Siehe Skizze:

Die Dreiecksfläche ist $A_{PQT}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline {PQ}|\cdot h$.

Dabei ist die Höhe $h$ das Lot von $T$ auf $g$.

Diese Höhe ist am kleinsten, wenn $T$ auf $h_0$ dort liegt, wo sich $g$ und $h_0$ am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Abstand von $T$ und $g$ genauso groß wie der Abstand von $g$ und $h_0$ ist.

In diesem Fall hat das Dreieck $P Q T$ einen minimalen Flächeninhalt.