$A$ ist ein Punkt von $g$

Setze $A$ in $g$ ein:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I})$ folgt, dass $s=2$ ist. Die zweite und dritte Gleichung sind für $s=2$ auch erfüllt. $A$ ist ein Punkt von $g$.

Gleichung für $E$

$E$ und $g$ sind orthogonal zueinander, d.h. der Richtungsvektor der Geraden $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$:

$E:\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ \overrightarrow{x}=d$

Wegen $A\in E$ folgt: $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=d\Rightarrow 1\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 1=d\Rightarrow d=7$

$E:x+2y+z=7$ ist die gesuchte Ebenengleichung.

Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_a$ liegen

Es ist $h_a:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 0\end{array}\right)$

Die dritte Gleichung ist $z=4$. Das ist auch die Gleichung der Ebene $H$.

Überprüfung: $h_a\cap H\Rightarrow 0\cdot (3+r\cdot a)+0\cdot (4-r)+4+r\cdot 0=4✓$

Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_a$

Wähle z.B. den Punkt $B(0|4|4)$. Es gilt: $B\in E$. Prüfe, ob $B\in h_a$:

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt, dass $r=0$ ist.

Dann ergibt sich Gleichung $(\mathrm{I})$: $0=3+0\cdot a\Rightarrow 0=3$

Das ist aber ein Widerspruch, sodass $B\notin h_a$.

Damit ist gezeigt, dass nicht jeder Punkt der Ebene $H$ auch ein Punkt von $h_a$ ist.

Gerade in Ebene einsetzen

Es ist $h_a:\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und $E:x+2y+z=7$.

Setze $h_a$ in $E$ ein:

Parameter untersuchen

Die Gleichung $r={\displaystyle \frac{8}{2-a}}$ hat für $a=2$ keine Lösung, d.h. die Gerade $h_2$ und $E$ haben keine gemeinsamen Punkte.

Ist $a\ne 2$, dann hat jede Gerade $h_a$ genau einen Schnittpunkt mit $E$.

Schnittpunkt von $h_a$ mit g

$h_a\cap g:$

Aus der dritten Gleichung folgt $s=5$.

In Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ wird $s=5$ eingesetzt: $6=5\cdot 2+r\Rightarrow r=-4$.

$r=-4$ und $s=5$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ eingesetzt ergibt: $3=5-(-4)\cdot a\Rightarrow -2=4\cdot a\Rightarrow a=-\mathrm{0,5}$

Setzt man $s=5$ in $g$ ein, erhält man den Schnittpunkt der beiden Geraden:

Der Schnittpunkt von $h_{-\mathrm{0,5}}$ mit $g$ hat die Koordinaten $S(5|8|4)$.

Berechnen Sie den Schnittwinkel von $h_{-\mathrm{0,5}}$ mit g

Der Richtungsvektor von $h_{-\mathrm{0,5}}$ ist $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,5}\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und der Richtungsvektor von $g$ ist $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$. Für den Schnittwinkel gilt dann:

$\alpha ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{\sqrt{\mathrm{7,5}}}}\right)\approx {\mathrm{24,1}}^{\circ }$

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt rund ${\mathrm{24,1}}^{\circ }$.

Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $PQT$ minimalen Flächeninhalt hat

Der Punkt $T$ bewegt sich auf der Geraden $h_0$. Zwei Punkte $P$ und $Q$ liegen auf der Geraden $g$ und bilden zusammen mit $T$ ein Dreieck. Die beiden Geraden $g$ und $h_0$ sind windschief.

Siehe Skizze:

Die Dreiecksfläche ist $A_{PQT}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |\overline{PQ}|\cdot h$.

Dabei ist die Höhe $h$ das Lot von $T$ auf $g$.

Diese Höhe ist am kleinsten, wenn $T$ auf $h_0$ dort liegt, wo sich $g$ und $h_0$ am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Abstand von $T$ und $g$ genauso groß wie der Abstand von $g$ und $h_0$ ist.

In diesem Fall hat das Dreieck $PQT$ einen minimalen Flächeninhalt.