Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}:x\mapsto\dfrac{a}{b+e^{cx}}$

mit $a,b \in \mathbb{R^+}$ und $c \in\mathbb{R}$ . Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen
Werten von $a$ und $b$ , zu einem der Werte $c = - 1$ , $c = 0$ und $c = 1$ .
Ordnen Sie den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründen
Sie Ihre Zuordnung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Ordne den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründe Deine Zuordnung
Für $c = - 1$ ist $w_{a;b;-1}(x)=\dfrac{a}{b+e^{-1x}}$ .
Betrachtet man die e-Funktion im Nenner, dann gilt:
$\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-1x}=0\;\Rightarrow\;\lim\limits_{x\to +\infty}w_{a;b;-1}(x)=\dfrac{a}{b}$ , der Graph nähert sich einem konstanten Wert.
$\lim\limits_{x\to -\infty}e^{-1x}=\infty\;\Rightarrow\;\lim\limits_{x\to -\infty}w_{a;b;-1}(x)=0$ , der Graph nähert sich der x-Achse.
Damit gehört Graph III zu $c = - 1$ .
Für $c = 0$ ist $w_{a;b;0}(x)=\dfrac{a}{b+e^{0\cdot x}}=\dfrac{a}{b+1}$ eine Konstante.
Damit gehört Graph I zu $c = 0$ .
Für $c = 1$ ist $w_{a;b;1}(x)=\dfrac{a}{b+e^{1x}}$ .
Betrachtet man die e-Funktion im Nenner, dann gilt:
$\lim\limits_{x\to +\infty}e^{1x}=\infty\;\Rightarrow\;\lim\limits_{x\to +\infty}w_{a;b;1}(x)=0$ , der Graph nähert sich der x-Achse.
$\lim\limits_{x\to -\infty}e^{1x}=0\;\Rightarrow\;\lim\limits_{x\to -\infty}w_{a;b;1}(x)=\dfrac{a}{b}$ , der Graph nähert sich einem konstanten Wert.
Damit gehört Graph II zu $c = 1$ .
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Setze nacheinander die drei gegebenen Werte für $c$ in die Funktion $w_{a;b;c}(x)$ ein.
Untersuche jeweils, wie sich die e-Funktion im Nenner für $x\to +\infty$ bzw. $x\to -\infty$ verhält und überlege dir, was dies für das Verhalten von $w (x)$ bedeutet.
Schließe auf den zugehörigen Graphen.

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40;1;-0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x)=\dfrac{40}{1+e^{-0{,}2x}}$ . Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w (x)$ die Anzahl der Seeadler.

Geben Sie auf Grundlage des Modells an, wie viele Seeadler angesiedelt wurden, und berechnen Sie, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf $32$ angewachsen ist.

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(0 ∣ w (0))$ hat die Steigung $2$ . Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Untersuche, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde
Der Punkt $(0 ∣ w (0))$ ist gleich $(0 ∣ 20)$ . Durch diesen Punkt verläuft die Tangente und hat die Steigung $2$ .
$\Rightarrow\;t:y=2\cdot x+20$
Für $x = 4$ ist $y=2\cdot 4+20=28$ .
Nach $4$ Jahren wären mit dem Modell Tangente $28$ Seeadler vorhanden.
Berechne $w (4)$ :
$w(4)=\dfrac{40}{1+e^{-0{,}2\cdot 4}}=\dfrac{40}{1+e^{-0{,}8}}\approx27{,}6$
Da es nur "ganze" Seeadler gibt, sind mit diesem Modell ebenfalls $28$ Seeadler vorhanden.
Die beiden Anzahlen stimmen überein.
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Bestimme mit den Angaben die Gleichung der Tangente und berechne den y-Wert für $x = 4$ .
Berechne $w (4)$ und vergleiche die beiden berechneten Werte.
Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die
Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer
anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben
werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der
zugehörigen Werte von $a, b$ und $c$ .
(1) $\dfrac{a}{b+1}=20\qquad$ (2) $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{a}{b+e^{cx}}=45\qquad$ (3) $\dfrac{a}{b+e^{15c}}=35$
Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.
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Interpretiere jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang
(1) $\;\dfrac{a}{b+1}=20$
Die Gleichung erhält man, wenn man $w (0)$ berechnet.
Die Gleichung gibt also die Anfangszahl der neu angesiedelten Seeadler wieder.
Zu Beginn wurden 20 Seeadler angesiedelt.
(2) $\; \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{a}{b+e^{cx}}=45$
Mit dieser Gleichung ermittelt man die Zahl der Seeadler nach einer sehr langen vergangenen Zeit.
Nach sehr langer Zeit sind $45$ Seeadler vorhanden.
(3) $\;\dfrac{a}{b+e^{15c}}=35$
Hier wurde in die Funktion, die die Anzahl der Adler angibt, der $x$ -Wert $15$ eingesetzt, was im Sachzusammenhang $15$ Jahren entspricht.
Die Gleichung besagt also, dass sich nach $15$ Jahren $35$ Seeadler auf der Inselgruppe befinden.
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Gleichung (1):
Der Term der e-Funktion $e^{c x}$ im Nenner hat hier den Wert $1$ . Was folgt daraus für den eingesetzten $x$ -Wert und was beschreibt dieser im Sachzusammenhang?
Gleichung (2):
Der Grenzwert gibt an, wie viele Seeadler nach langer Zeit vorhanden sind.
Gleichung (3):
Im Nenner ist $x = 15$ eingesetzt. Erinnere dich daran, was $x$ und $w$ angeben und Folgere damit, wofür der Term $w(15)=\frac{a}{b+e^{15 c}}$ steht.

Ermitteln Sie die Werte von $a$ und $b$ .

$\displaystyle 32$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{1+e^{-0{,}2x}}$	$\displaystyle \cdot(1+e^{-0{,}2x})$
	↓	Bringe den Nenner auf die andere Seite.
$\displaystyle 32\cdot(1+e^{-0{,}2x})$	$=$	$\displaystyle 40$	$\displaystyle :32$
$\displaystyle 1+e^{-0{,}2x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{32}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 1+e^{-0{,}2x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{4}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle e^{-0{,}2x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{4}$	$\displaystyle \ln()$
	↓	Benutze die ln-Funktion.
$\displaystyle -0{,}2x$	$=$	$\displaystyle \ln(0{,}25)$	$\displaystyle :(-0{,}2)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln(0{,}25)}{-0{,}2}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 6{,}9$

$\displaystyle \dfrac{a}{b+1}$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Setze $a=45\cdot b$ ein.
$\displaystyle \dfrac{45\cdot b}{b+1}$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle \cdot (b+1)$
$\displaystyle 45\cdot b$	$=$	$\displaystyle 20\cdot (b+1)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 45\cdot b$	$=$	$\displaystyle 20\cdot b+20$	$\displaystyle -20\cdot b$
$\displaystyle 25\cdot b$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle :25$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

Ordne den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründe Deine Zuordnung

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Wie viele Seeadler wurden angesiedelt

Berechne, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf $32$ angewachsen ist

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Untersuche, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde

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Interpretiere jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang

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Ermittele die Werte von $a$ und $b$

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Ordne den Graphen die genannten Werte von ccc zu und begründe Deine Zuordnung

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Wie viele Seeadler wurden angesiedelt

Berechne, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf 323232 angewachsen ist

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Untersuche, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von w ww ergeben würde

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Interpretiere jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang

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Ermittele die Werte von aaa und bbb

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Ordne den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründe Deine Zuordnung

Berechne, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf $32$ angewachsen ist

Untersuche, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde

Ermittele die Werte von $a$ und $b$