Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll, mit $q={\displaystyle \frac{1}{2}};\omega ={45}^{\circ }$

Es gilt: $|\overline{AC}|=12\mathrm{cm}$; $|\overline{BD}|=8\mathrm{cm}$; $|\overline{CS}|=\mathrm{9,5}\mathrm{cm}$.

Wegen $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist die Strecke in der Zeichnung nur $|\overline{BD}|=4\mathrm{cm}$ lang.

Berechne das Maß des Winkels $SCA$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$

Maß des Winkels $SCA$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $SCM$. Hier gilt:

$\cos \sphericalangle SCA={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \overline{AC}}{\overline{SC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot 12}{\mathrm{9,5}}}\approx \mathrm{0,6316}$

$\Rightarrow \sphericalangle SCA={\cos }^{-1}(\mathrm{0,6316})\approx {\mathrm{50,83}}^{\circ }$

Länge der Strecke $\overline{MS}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $SCM$.

Benutze den Satz des Pythagoras:

$|\overline{MS}{|}^2={\overline{CS}}^2-(\mathrm{0,5}\cdot \overline{AC}{)}^2\Rightarrow |\overline{MS}|=\sqrt{{\mathrm{9,5}}^2-(\mathrm{0,5}\cdot 12{)}^2}\approx \mathrm{7,37}$

Das Maß des Winkels $SCA$ beträgt rund ${\mathrm{50,83}}^{\circ }$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$ beträgt rund $\mathrm{7,37}\mathrm{cm}$.

Zeichne die Pyramide $AC{P}_{1}B$ für $\phi ={35}^{\circ }$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige, dass für die Länge der Strecken $\overline{A{P}_n}$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $|\overline{A{P}_n}|(\phi )={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}$

Betrachte das Dreieck $A{P}_{n}C$.

In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}$

Nach Aufgabe a) ist der Winkel $\sphericalangle SCA={\mathrm{50,83}}^{\circ }$. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel $\sphericalangle AC{P}_n$.

Dann gilt für den Winkel $A{P}_{n}C$:

$\sphericalangle A{P}_{n}C={180}^{\circ }-(\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })$

Wende nun den Sinussatz an:

${\displaystyle \frac{|\overline{A{P}_n}|}{\sin {\mathrm{50,83}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{|\overline{AC}|}{\sin \sphericalangle A{P}_{n}C}}={\displaystyle \frac{12\mathrm{cm}}{\sin ({180}^{\circ }-(\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ }))}}$ mit $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{50,83}}^{\circ }]$

Wegen $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:

${\displaystyle \frac{|\overline{A{P}_n}|}{\sin {\mathrm{50,83}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{12\mathrm{cm}}{\sin ({180}^{\circ }-(\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ }))}}={\displaystyle \frac{12\mathrm{cm}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}$

$\Rightarrow |\overline{A{P}_n}|(\phi )={\displaystyle \frac{12\cdot \sin {\mathrm{50,83}}^{\circ }}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}$

Berechne den zugehörigen Wert von $\phi$

Für die Strecke $\overline{A{P}_2}$ gilt: $|\overline{A{P}_2}|=10\mathrm{cm}$.

Dann folgt:

$10={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}$ mit $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{50,83}}^{\circ }]$

$L=\{{\mathrm{17,60}}^{\circ }\}$

Der zugehörige Wert von $\phi$ beträgt ${\mathrm{17,60}}^{\circ }$.

Zeige, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $AC{P}_{n}B$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $V(\phi )={\displaystyle \frac{\mathrm{74,40}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}{\mathrm{cm}}^3$

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

$V_P={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P$

Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.

$G=\frac{1}{2}\cdot A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|)=\frac{1}{4}\cdot 12\cdot 8=24{\mathrm{cm}}^2$

Für die Höhe dieser Pyramide (siehe Abbildung) gilt:

$\sin \phi ={\displaystyle \frac{h_P}{|\overline{A{P}_n}|}}$

$\Rightarrow h_P=\sin \phi \cdot |\overline{A{P}_n}|=\sin \phi \cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}\mathrm{cm}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}$

$V(\phi )={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 24\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{\mathrm{74,40}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}{\mathrm{cm}}^3$

Für das Volumen $V$der Pyramiden $AC{P}_{n}B$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:

Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $AC{P}_{1}B$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $ABCDS$

Zum Winkel ${35}^{\circ }$ gehört das Volumen:

$V({35}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{74,40}\cdot \sin {35}^{\circ }}{\sin ({35}^{\circ }+{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\approx \mathrm{42,79}{\mathrm{cm}}^3$

$V_{ABCDS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P$

Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.

$G=A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48{\mathrm{cm}}^2$

Die Höhe dieser Pyramide ist $h_P=|\overline{MS}|=\mathrm{7,37}\mathrm{cm}$ (siehe Aufgabe a).

Dann folgt:

$V_{ABCDS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 48\cdot \mathrm{7,37}=\mathrm{117,92}{\mathrm{cm}}^3$

Berechne das Verhältnis:

${\displaystyle \frac{\mathrm{117,92}-\mathrm{42,79}}{\mathrm{117,92}}}\approx \mathrm{0,6371}$ oder $\mathrm{63,71}\%$

Das Volumen der Pyramide $AC{P}_{1}B$ ist um rund $\mathrm{63,71}\%$ kleiner als das Volumen der Pyramide $ABCDS$.

In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $AC{P}_{3}B$ zum Volumen der Pyramide $ABCDS$? Begründe

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Die grüne $(A{P}_{3}SB)$ und die braune $(AC{P}_{3}B)$ Pyramide sind zusammen genau halb so groß wie die Pyramide $ABCDS$.

$\Rightarrow V_{AC{P}_{3}B}+V_{A{P}_{3}SB}=\mathrm{0,5}\cdot V_{ABCDS}$

Die Pyramide $AC{P}_{3}B$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A{P}_{3}SB$.

$\Rightarrow V_{AC{P}_{3}B}=V_{A{P}_{3}SB}$

Es folgt:

$2\cdot V_{A{P}_{3}SB}=\mathrm{0,5}\cdot V_{ABCDS}\Rightarrow V_{A{P}_{3}SB}=\mathrm{0,25}\cdot V_{ABCDS}$

Das Volumen der Pyramide $AC{P}_{3}B$ beträgt ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ des Volumens der Pyramide $ABCDS$.