Mathe Abschlussprüfungen mit Lösung

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y =-0{,}75\cdot \log_2 (x+1)+3 \;\;(x,y \in \mathbb{R})$ .

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ bereits eingezeichnet.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Punkte $A_n(x|-0{,}75\cdot \log_2 (x+1)+3)$ auf dem Graphen zu $f$ bilden zusammen mit den

Punkten $B (4,5 ∣ 3,5)$ und $C (2 ∣ 3,5)$ Dreiecke $A_{n} B C$ .

Ergänzen Sie im Koordinatensystem in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Dreiecke $A_{1} B C$ für $x = 0,5$ und $A_{2} B C$ für $x = 4$ .

Ermitteln Sie sodann rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Dreiecke $A_{n} B C$

gibt. (4,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Ergänze im Koordinatensystem in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Dreiecke $A_{1} B C$ für $x = 0,5$ und $A_{2} B C$ für $x = 4$

Gegeben sind $A_n(x|-0{,}75\cdot \log_2 (x+1)+3)$ und die Punkte $B (4,5 ∣ 3,5)$ und $C (2 ∣ 3,5)$ .

Beim Dreieck $A_{1} B C$ ist $x = 0,5$ .

$A_1(0{,}5|f(0{,}5))$ liegt auf dem Graphen von $f$ .

Zeichne $A_{1}, B$ und $C$ in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Dreieck (braunes Dreieck).

Beim Dreieck $A_{2} B C$ ist $x = 4$ .

$A_{2} (4 ∣ f (4))$ liegt auf dem Graphen von $f$ .

Zeichne $A_{2}$ in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte $A_{2}, B$ und $C$ zu einem Dreieck (grünes Dreieck).

zwei Dreiecke — Dreiecke $A_{1} B C$ und $A_{2} B C$

Ermittle sodann rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Dreiecke $A_{n} B C$ gibt

Die y-Koordinate von $A_{n}$ muss kleiner als $3,5$ sein, damit man Dreiecke $A_{n} B C$ zeichnen kann.

Löse die Gleichung $3{,}5=-0{,}75\cdot \log_2 (x+1)+3$ für $x \in \mathbb{R}$ :

$\displaystyle 3{,}5$	$=$	$\displaystyle -0{,}75\cdot \log_2 (x+1)+3$	$\displaystyle -3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle -0{,}75\cdot \log_2 (x+1)$	$\displaystyle :(-0{,}75)$
$\displaystyle \dfrac{0{,}5}{-0{,}75}$	$=$	$\displaystyle \log_2 (x+1)$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -\dfrac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \log_2 (x+1)$	$\displaystyle 2^{()}$
	↓	Löse den Logarithmus auf
$\displaystyle 2^{-\frac{2}{3}}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2^{-\frac{2}{3}}-1$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle -0{,}37$	$\approx ≈$	$\displaystyle x$

$\Rightarrow\; L=\{-0{,}37\}$

Für $x > - 0,37$ ist $f (x) < 3,5$ . Folglich erhält man dann Dreiecke $A_{n} B C$ .

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Das Dreieck $A_{3} B C$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline{BC}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_{3}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke
Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_{3}$
Berechne die Mitte der Strecke $\overline{BC}$ :
$x_{A_3}=\dfrac{2+4{,}5}{2}=3{,}25$
Demnach gilt:
$A_3(3{,}25|f(3{,}25)$ mit $f(3{,}25)=-0{,}75\cdot \log_2 (3{,}25+1)+3\approx1{,}43$
$\displaystyle \Rightarrow\;A_3(3{,}25|1{,}43)$
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Berechne die Mitte der Strecke $\overline{BC}$ $\;\Rightarrow\;x_1$
Berechne dann $A_{3} (x_{1} ∣ f (x_{1})$ .

2

Aufgabe B2

Gegeben sind das Trapez $A B C D$ und Punkte $P_{n}$ auf der Diagonalen $\overline{BD}$ (siehe Zeichnung). Die Punkte $C, D$ und $P_{n}$ legen Dreiecke $C D P_{n}$ fest. Die Winkel $D C P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in \;]0^\circ; 51{,}34^\circ]$ .

Es gilt: $|\overline{AB}|= 7\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{CD}|= 11\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{AD}|= 5\;\mathrm{cm}$ ; $\sphericalangle ADC = 90^\circ$ ; $AB\parallel CD$ .

Die Zeichnung zeigt das Dreieck $C D P_{1}$ für $\varphi=20^\circ$ .

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{DP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{DP_n}|(\varphi)=\dfrac{11\cdot \sin\varphi}{ \sin(35{,}54^\circ +\varphi)}\;\mathrm{cm}$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{DP_1}$ .
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{DP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{DP_n}|(\varphi)=\dfrac{11\cdot \sin\varphi}{ \sin(35{,}54^\circ +\varphi)}\;\mathrm{cm}$
In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:
$\dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}$
eingezeichnetes Dreieck mit Winkeln
Angewandt auf das Dreieck $C D P_{n}$ folgt:
$\dfrac{|\overline{DP_n}|}{\sin \varphi}=\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin\sphericalangle CP_nD}$
Weiterhin gilt: $\sphericalangle CP_nD=180^\circ -(\sphericalangle BDC+\varphi)$
Für den Winkel $\sphericalangle BDC$ gilt: $\sphericalangle BDC=90^\circ -\sphericalangle ADB$
Der Winkel $\sphericalangle ADB$ befindet sich im rechtwinkligen Dreieck $A B D$ , sodass er berechnet werden kann.
$\tan \sphericalangle ADB=\dfrac{|\overline{AB}|}{|\overline{AD}|}=\dfrac{7}{5}=1{,}4\;\Rightarrow\;\sphericalangle ADB=\tan^{-1}(1{,}4)\approx54{,}46^\circ$
Dann folgt für den Winkel $\sphericalangle BDC=90^\circ -\sphericalangle ADB=90^\circ-54{,}46^\circ=35{,}54^\circ$
Nun kann auch der Winkel $\sphericalangle CP_nD=180^\circ -(\sphericalangle BDC+\varphi)$ angegeben werden:
$\sphericalangle CP_nD=180^\circ -(35{,}54^\circ+\varphi)$
Für den Ansatz mit dem Sinussatz erhält man nun:
$\dfrac{|\overline{DP_n}|}{\sin \varphi}=\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin\sphericalangle CP_nD}=\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin(180^\circ -(35{,}54^\circ+\varphi))}$
Wegen $\sin(180^\circ -\alpha)=\sin \alpha$ kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:
$\dfrac{|\overline{DP_n}|}{\sin \varphi}=\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin(180^\circ -(35{,}54^\circ+\varphi))}=\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin(35{,}54^\circ+\varphi))}$
Aufgelöst nach $|\overline{DP_n}|$ erhält man:
$|\overline{DP_n}|=\dfrac{|\overline{CD}|\cdot\sin \varphi}{\sin(35{,}54^\circ+\varphi))}$
Setzt man nun noch $|\overline{CD}|= 11\;\mathrm{cm}$ ein, dann folgt:
$|\overline{DP_n}|=\dfrac{ 11\;\mathrm{cm}\cdot\sin \varphi}{\sin(35{,}54^\circ+\varphi))}\;\Rightarrow\;|\overline{DP_n}|(\varphi)=\dfrac{11\cdot \sin\varphi}{ \sin(35{,}54^\circ +\varphi)}\;\mathrm{cm}$
Berechne die Länge der Strecke $\overline{DP_1}$
Der Winkel $\varphi$ ist hier $20^\circ$ .
Eingesetzt in $|\overline{DP_n}|(\varphi)\;\Rightarrow\;|\overline{DP_1}|(20^\circ)=\dfrac{11\cdot \sin20^\circ}{ \sin(35{,}54^\circ +20^\circ)}\approx4{,}56$
Die Länge der Strecke $\overline{DP_1}$ beträgt rund $4{,}56\;\mathrm{cm}$ .
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Teil 1
Wende den Sinussatz auf das Dreieck $C D P_{n}$ an.
Benutze zur Berechnung des fehlenden Winkels auch das rechtwinklige Dreieck $A B D$ .
Teil 2
Setze den Winkel $\varphi=20^\circ$ in $|\overline{DP_1}|(\varphi)$ ein.
Das Dreieck $C D P_{2}$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline{CD}$ .
Ergänzen Sie das Dreieck $C D P_{2}$ in der Zeichnung zur Aufgabenstellung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Ergänze das Dreieck $C D P_{2}$ in der Zeichnung zur Aufgabenstellung
Das Dreieck $C D P_{2}$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline{CD}$ .
Errichte die Mittelsenkrechte über der Strecke $\overline{CD}$ .
Die Mittelsenkrechte schneidet die Strecke $\overline{BD}$ in Punkt $P_{2}$ .
Siehe Zeichnung:
Das Dreieck $C D P_{2}$ ist gleichschenklig.
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Errichte die Mittelsenkrechte über der Strecke $\overline{CD}$ . Sie schneidet die Strecke $\overline{BD}$ in Punkt $P_{2}$ .

3

Aufgabe B 3

Der Punkt $A (0 ∣ 0)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rechtecken $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Die Eckpunkte $B_n(x |-0{,}25x + 6)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y = - 0,25 x + 6$ $(x,y \in\mathbb{R})$ . Es gilt: $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\mathrm{cm}$ ; $-5 \leq x \leq 8; -1\leq y \leq 8$ (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem
Zeichne die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 0,25 x + 6$ in ein Koordinatensystem.
Rechteck $A B_{1} C_{1} D_{1}$
Der Punkt $B_{1} (- 1 ∣ f (- 1))$ (mit $f (x) = - 0,25 x + 6$ ) liegt auf der Geraden $g$ .
Miss die Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ . Trage wegen $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$ die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_{1}$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $\overline{AB_1}$ ab. Man erhält die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ . Verbinde $C_{1}$ mit $D_{1}$ .
Rechteck $A B_{2} C_{2} D_{2}$
Verfahre entsprechend mit dem Punkt $B_{2} (7 ∣ f (7))$ .
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Zeichne die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein.
Rechteck $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ .
Der Punkt $B_{1} (- 1 ∣ f (- 1))$ liegt auf der Geraden $g$ .
Miss die Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ . Trage die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_{1}$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $\overline{AB_1}$ ab.
Man erhält die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ . Verbinde $C_{1}$ mit $D_{1}$ .
Verfahre für das Rechteck $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ entsprechend.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der
Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
$[$ Ergebnis: $C_n (1{,}13x - 3| 0{,}25x +6)$ $]$ (3,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung mittels Matrizen
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$
Es gilt gemäß Zeichnung: $\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nC_n}$
Dabei ist $\overrightarrow{B_nC_n}=\overrightarrow{OD_n}$ .
Der Vektor $\overrightarrow{OB_n}$ wird zunächst um $90^\circ$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k = 0,5$ gestreckt. Ergebnis ist der Vektor $\overrightarrow{OD_n}$ .
$\overrightarrow{OB_n}\xrightarrow{O,\; \varphi=90^\circ}\overrightarrow{OB_n{'}}\xrightarrow{O,\; k=0{,}5}\overrightarrow{OD_n}$
Für die Drehung um $\varphi=90^\circ$ um den Ursprung gilt:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90^\circ}& -\sin{90^\circ}\\\sin{90^\circ} & \cos{90^\circ}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& -1\\1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$
Dann folgt für $x\in \mathbb{R}$ :
$\begin{pmatrix}x\\-0{,}25x+6\end{pmatrix}\xrightarrow{O,\; \varphi=90^\circ}\begin{pmatrix}-(-0{,}25x+6)\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}25x-6\\x\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0{,}25x-6\\x\end{pmatrix}\xrightarrow{O,\; k=0{,}5}0{,}5\cdot\begin{pmatrix}0{,}25x-6\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}13x-3\\0{,}5x\end{pmatrix}$
Somit ist $\overrightarrow{OD_n}=\begin{pmatrix}0{,}13x-3\\0{,}5x\end{pmatrix}$ .
Nun kann der Vektor $\overrightarrow{OC_n}$ berechnet werden:
$\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nC_n}$
$\overrightarrow{OC_n}(x)=\begin{pmatrix}x\\-0{,}25x+6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0{,}13x-3\\0{,}5x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}13x-3\\0{,}25x+6\end{pmatrix}$
Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ lauten $C_n(1{,}13x-3\mid 0{,}25x+6)$ .
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Es gilt gemäß Zeichnung $\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nC_n}$ , dabei ist $\overrightarrow{B_nC_n}=\overrightarrow{OD_n}$ .
Der Vektor $\overrightarrow{OB_n}$ wird zunächst um $90^\circ$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k = 0,5$ gestreckt.
Ergebnis ist der Vektor $\overrightarrow{OD_n}$ . Mit diesem Vektor kann der Vektor $\overrightarrow{OC_n}$ berechnet werden.
Zeigen Sie, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der
Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt:
$u(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}$
Es gilt: $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$
Dann folgt für den Umfang $u$ für $x\in \mathbb{R}$ :
$u=2\cdot\left(|\overline{AB_n}|+ |\overline{B_nC_n}|\right)=2\cdot\left(|\overline{AB_n}|+0{,}5\cdot |\overline{AB_n}|\right)=3\cdot|\overline{AB_n}|$
$\overrightarrow{AB_n}=\begin{pmatrix}x\\-0{,}25x+6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;|\overrightarrow{AB_n}|(x)=\sqrt{x^2+(-0{,}25x+6)^2}$
$|\overrightarrow{AB_n}|(x)=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{16}x^2-3x+36}=\sqrt{1{,}06x^2-3x+36} \;\mathrm{LE}$
$\Rightarrow\;u(x)=3\cdot|\overline{AB_n}|=3\cdot\sqrt{1{,}06x^2-3x+36}=\sqrt{9\cdot(1{,}06x^2-3x+36)}$
$u(x)=\sqrt{9\cdot(1{,}06x^2-3x+36)}=\sqrt{9{,}54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE}$
Damit ist gezeigt, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt:
$u(x)=\sqrt{9{,}54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE}$
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Es gilt: $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$
Für den Umfang $u$ folgt dann $u=2\cdot\left(|\overline{AB_n}|+ |\overline{B_nC_n}|\right)$
Berechne $|\overrightarrow{AB_n}|(x)$ und damit dann $u (x)$ .
Der Punkt $C_{3}$ liegt auf der y–Achse.
Berechnen Sie den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$ . (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$
Der Punkt $C_3(1{,}13x-3\mid 0{,}25x+6)$ liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für $x_{C_3}$ :
$x_{C_3}=0\;\Rightarrow\;1{,}13x-3=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{3}{1{,}13}\approx2{,}65$
$\mathrm{L}=\{2{,}65\}$
Setze $x = 2,65$ in $u (x)$ ein:
$u(2{,}65)=\sqrt{9{,}54\cdot(2{,}65)^2-27\cdot 2{,}65+324}=\sqrt{319{,}44}\approx17{,}87$
Der Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$ beträgt rund $17{,}87\;\mathrm{LE}$ .
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Der Punkt $C_3(1{,}13x-3\mid 0{,}25x+6)$ liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für $x_{C_3}$ : $x_{C_3}=0\;\Rightarrow\;x_1$
Setze $x_{1}$ in $u (x)$ ein.

Für den Punkt $C_{4}$ gilt: $C_4 \in g$ .

Begründen Sie, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang

hat.

Bestimmen Sie sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$ .

(4 P)

Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang hat

Wenn $C_4 \in g$ , dann gilt auch:

$\overline{B_4C_4}$ liegt auf $g$

Dann folgt: $\overline{AB_4}\perp g$

Unter allen Stecken hat die Strecke $\overline{AB_4}$ die kürzeste Länge.

Wegen $u=3\cdot |\overline{AB_n}|$ hat somit das Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang.

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$

Es gilt:

$u(x)=\sqrt{9{,}54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE}$ mit $x\in \mathbb{R}$

$u (x)$ soll minimal werden. Dazu betrachtet man den Term unter der Wurzel.

$f(x)=9{,}54x^2-27x+324$

Es handel sich hier um eine nach oben geöffnete und gestreckte Parabel.

Gesucht ist der x-Wert des Scheitelpunktes $x_{S}$ . Für $x_{S}$ ist $f (x)$ minimal und damit ist auch $u (x)$ minimal.

Bestimme den Scheitelpunkt von $f (x)$ :

	$\displaystyle 9{,}54x^2-27x+324$
	↓ Klammere $9,54$ aus.
$=$	$\displaystyle 9{,}54(x^2-2{,}83x+33{,}96)$
	↓ Bilde die quadratische Ergänzung.
$=$	$\displaystyle 9{,}54\left(x^2-2{,}83x+\left(\frac{2{,}83}{2}\right)^2-\left(\frac{2{,}83}{2}\right)^2+33{,}96\right)$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 9{,}54((x-1{,}42)^2-2+33{,}96)$
	↓ Löse die Klammer auf.
$=$	$\displaystyle 9{,}54(x-1{,}42)^2+304{,}90$

Somit ist $f(x)=9{,}54(x-1{,}42)^2+304{,}90$ .

Der Scheitelpunkt hat die $x$ -Koordinate $x_S=1{,}42$ .

Setze $x_S=1{,}42$ in $u (x)$ ein:

$u(1{,}42)=\sqrt{f(1{,}42)}=\sqrt{9{,}54(1{,}42-1{,}42)^2+304{,}90}=\sqrt{304{,}90}\approx17{,}46$

Der minimale Umfang beträgt rund $17{,}46\;\mathrm{LE}$ und die zugehörige Belegung für $x$ ist $x = 1,42$ .

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4

Aufgabe B 4

Die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ der Raute $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ .

Die Raute $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $\overline{MS}$ .

Es gilt: $|\overline{AC}| =12\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{BD}| =8\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{CS}| =9{,}5\;\mathrm{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der
Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circ$
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $S C A$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$ .
$[$ Teilergebnisse: $\sphericalangle SCA = 50{,}83^\circ; |\overline{MS}|= 7{,}37 \;\mathrm{cm}]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll, mit $q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circ$
Es gilt: $|\overline{AC}| =12\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{BD}| =8\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{CS}| =9{,}5\;\mathrm{cm}$ .
Wegen $q=\dfrac{1}{2}$ ist die Strecke in der Zeichnung nur $|\overline{BD}| =4\;\mathrm{cm}$ lang.
Pyramide $A B C D S$
Berechne das Maß des Winkels $S C A$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$
Maß des Winkels $S C A$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ . Hier gilt:
$\cos\sphericalangle SCA=\dfrac{0{,}5\cdot\overline{AC}}{\overline{SC}}=\dfrac{0{,}5\cdot12}{9{,}5}\approx0{,}6316$
$\Rightarrow\;\sphericalangle SCA=\cos^{-1}(0{,}6316)\approx50{,}83^\circ$
Länge der Strecke $\overline{MS}$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Benutze den Satz des Pythagoras:
$|\overline{MS}|^2=\overline{CS}^2-(0{,}5\cdot\overline{AC})^2\;\Rightarrow\;|\overline{MS}|=\sqrt{9{,}5^2-(0{,}5\cdot 12)^2}\approx7{,}37$
Das Maß des Winkels $S C A$ beträgt rund $50{,}83^\circ$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$ beträgt rund $7{,}37\;\mathrm{cm}$ .
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Teil 1
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke $\overline{BD}$ : $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega= 45^\circ$
Teil 2
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Winkelberechnung: Benutze den $\cos$ .
Streckenlänge: Benutze den Satz des Pythagoras.
Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $\overline{CS}$ . Die Winkel $C A P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit
$\varphi \in \;]0^\circ;50{,}83^\circ]$ . Die Punkte $P_{n}$ sind zusammen mit den Punkten $A$ und $C$ die
Eckpunkte von Dreiecken $A C P_{n}$ . Die Dreiecke $A C P_{n}$ sind Grundflächen von
Pyramiden mit der Spitze $B$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A C P_{1} B$ für $\varphi= 35^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel konstruieren
Zeichne die Pyramide $A C P_{1} B$ für $\varphi= 35^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Pyramide $A C P_{1} B$
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Zeichne an die Strecke $\overline{AC}$ im Punkt $A$ den Winkel $\varphi= 35^\circ$ . Der freie Schenkel schneidet die Strecke $\overline{CS}$ im Punkt $P_{1}$ .

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $\overline{AP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$ .

Für die Strecke $\overline{AP_2}$ gilt: $|\overline{AP_2}| =10\;\mathrm{cm}$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $\varphi$ . (3,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Zeige, dass für die Länge der Strecken $\overline{AP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$

Betrachte das Dreieck $A P_{n} C$ .

In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:

$\dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}$

Nach Aufgabe a) ist der Winkel $\sphericalangle SCA=50{,}83^\circ$ . Dieser Winkel ist gleich dem Winkel $\sphericalangle ACP_n$ .

Dann gilt für den Winkel $A P_{n} C$ :

$\sphericalangle AP_nC=180^\circ -(\varphi+50{,}83^\circ)$

Wende nun den Sinussatz an:

$\dfrac{|\overline{AP_n}|}{\sin 50{,}83^\circ}=\dfrac{|\overline{AC}|}{\sin\sphericalangle AP_nC}=\dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin(180^\circ -(\varphi+50{,}83^\circ))}$ mit $\varphi \in \;]0^\circ;50{,}83^\circ]$

Wegen $\sin(180^\circ -\alpha)=\sin \alpha$ kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:

$\dfrac{|\overline{AP_n}|}{\sin 50{,}83^\circ}=\dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin(180^\circ -(\varphi+50{,}83^\circ))}=\dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}$

$\Rightarrow\; |\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{12\cdot\sin50{,}83^\circ}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$

Berechne den zugehörigen Wert von $\varphi$

Für die Strecke $\overline{AP_2}$ gilt: $|\overline{AP_2}| =10\;\mathrm{cm}$ .

Dann folgt:

$10=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}$ mit $\varphi \in \;]0^\circ;50{,}83^\circ]$

$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}$	$\displaystyle \cdot\sin(\varphi+50{,}83^\circ)$
	↓	Löse nach $\varphi$ auf.
$\displaystyle 10\cdot\sin(\varphi+50{,}83^\circ)$	$=$	$\displaystyle 9{,}30$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle \sin(\varphi+50{,}83^\circ)$	$=$	$\displaystyle 0{,}93$	$\displaystyle \sin^{-1}$
$\displaystyle \varphi+50{,}83^\circ$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}(0{,}93)$
$\displaystyle \varphi+50{,}83^\circ$	$=$	$\displaystyle 68{,}43^\circ$	$\displaystyle -50{,}83^\circ$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 17{,}60^\circ$

$L=\{17{,}60^\circ\}$

Der zugehörige Wert von $\varphi$ beträgt $17{,}60^\circ$ .

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Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$ .
Berechnen Sie sodann, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ kleiner
ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Zeige, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Pyramide $A C P_{n} B$
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$
Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.
$G=\frac{1}{2}\cdot A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|\right)=\frac{1}{4}\cdot12 \cdot8=24\;\mathrm{cm}^2$
Für die Höhe dieser Pyramide (siehe Abbildung) gilt:
$\sin\varphi=\dfrac{h_P}{|\overline{AP_n}|}\;$
$\Rightarrow\;h_P=\sin\varphi\cdot|\overline{AP_n}|=\sin\varphi\cdot\dfrac{9{,}30\;\mathrm{cm}}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}=\dfrac{9{,}30\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$
$V(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 24 \cdot \dfrac{9{,}30\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}=\dfrac{74{,}40\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$
Für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$\displaystyle V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$
Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$
Zum Winkel $35^\circ$ gehört das Volumen:
$V(35^\circ)=\dfrac{74{,}40\cdot\sin35^\circ}{\sin(35^\circ+50{,}83^\circ)}\approx42{,}79\;\mathrm{cm}^3$
$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$
Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.
$G= A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=\frac{1}{2}\cdot12 \cdot8=48\;\mathrm{cm}^2$
Die Höhe dieser Pyramide ist $h_P=|\overline{MS}|=7{,}37\;\mathrm{cm}$ (siehe Aufgabe a).
Dann folgt:
$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot 48\cdot7{,}37=117{,}92\;\mathrm{cm}^3$
Berechne das Verhältnis:
$\dfrac{117{,}92-42{,}79}{117{,}92}\approx0{,}6371$ oder $63{,}71\;\%$
Das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ ist um rund $63{,}71\;\%$ kleiner als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ .
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Teil 1
Das Pyramidenvolumen berechnet man mit $V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$ .
Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.
Für die Höhenberechnung der Pyramide benutzt man den $\sin$ .
Teil 2
Berechne mit der erhaltenen Volumenformel das Volumen $V(35^\circ)$ .
Berechne das Volumen der gesamten Pyramide $V_{P}$ . (Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.)
Bilde dann das Verhältnis: $\dfrac{V_P-V(35^\circ)}{V_P}$
Die Pyramide $A C P_{3} B$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A P_{3} S B$ .
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ zum Volumen der
Pyramide $A B C D S$ ? Begründen Sie. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S$ ? Begründe
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Pyramiden $A P_{3} S B$ und $A C P_{3} B$
Die grüne $(A P_{3} S B)$ und die braune $(A C P_{3} B)$ Pyramide sind zusammen genau halb so groß wie die Pyramide $A B C D S$ .
$\Rightarrow\; V_{AC{P_3}B}+V_{A{P_3}SB}=0{,}5\cdot V_{ABCDS}$
Die Pyramide $A C P_{3} B$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A P_{3} S B$ .
$\Rightarrow\;V_{AC{P_3}B}=V_{A{P_3}SB}$
Es folgt:
$2\cdot V_{A{P_3}SB}=0{,}5 \cdot V_{ABCDS}\;\Rightarrow\;V_{A{P_3}SB}=0{,}25 \cdot V_{ABCDS}$
Das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ beträgt $\dfrac{1}{4}$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ .
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Es gilt: $V_{AC{P_3}B}+V_{A{P_3}SB}=0{,}5\cdot V_{ABCDS}$
Weiterhin gilt: $V_{AC{P_3}B}=V_{A{P_3}SB}$

Teil B

Aufgabe B1

Ergänze im Koordinatensystem in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Dreiecke A1BCA_1BCA1​BC für x=0,5x = 0{,}5x=0,5 und A2BCA_2BCA2​BC für x=4x=4x=4

Ermittle sodann rechnerisch, für welche Belegungen von xxx es Dreiecke AnBCA_nBCAn​BC gibt

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Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes A3A_3A3​

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Aufgabe B2

Berechne die Länge der Strecke DP1‾\overline{DP_1}DP1​​

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Ergänze das Dreieck CDP2CDP_2CDP2​ in der Zeichnung zur Aufgabenstellung

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Aufgabe B 3

Zeichne die Gerade ggg sowie die Rechtecke AB1C1D1AB_1C_1D_1AB1​C1​D1​ für x=−1x =-1x=−1 und AB2C2D2AB_2C_2D_2AB2​C2​D2​ für x=7x = 7x=7 in ein Koordinatensystem

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_nCn​ in Abhängigkeit von der Abszisse xxx der Punkte BnB_nBn​

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Zeige, dass sich der Umfang uuu der Rechtecke ABnCnDnAB_nC_nD_nABn​Cn​Dn​ in Abhängigkeit von der Abszisse xxx der Punkte BnB_nBn​ wie folgt darstellen lässt: u(x)=9,54x2−27x+324 LEu(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}u(x)=9,54x2−27x+324​LE

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Berechne den Umfang des Rechtecks AB3C3D3AB_3C_3D_3AB3​C3​D3​

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Begründe, warum das zugehörige Rechteck AB4C4D4AB_4C_4D_4AB4​C4​D4​ den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für xxx

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Aufgabe B 4

Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDSABCDS, wobei die Strecke AC‾\overline{AC}AC auf der Schrägbildachse und der Punkt AAA links vom Punkt CCC liegen soll, mit q=12; ω=45∘q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circq=21​; ω=45∘

Pyramide ABCDSABCDSABCDS

Berechne das Maß des Winkels SCASCASCA und die Länge der Strecke MS‾\overline{MS}MS

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Zeichne die Pyramide ACP1BACP_1BACP1​B für φ=35∘\varphi= 35^\circφ=35∘ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

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Zeige, dass für die Länge der Strecken APn‾\overline{AP_n}APn​​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: ∣APn‾∣(φ)=9,30sin⁡(φ+50,83∘) cm|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}∣APn​​∣(φ)=sin(φ+50,83∘)9,30​cm

Berechne den zugehörigen Wert von φ\varphiφ

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Zeige, dass für das Volumen VVVder Pyramiden ACPnBACP_nBACPn​B in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: V(φ)=74,40⋅sin⁡φsin⁡(φ+50,83∘) cm3V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3V(φ)=sin(φ+50,83∘)74,40⋅sinφ​cm3

Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide ACP1BACP_1BACP1​B kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCDSABCDSABCDS

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In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide ACP3BACP_3BACP3​B zum Volumen der Pyramide ABCDSABCDSABCDS? Begründe

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Ergänze im Koordinatensystem in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Dreiecke $A_{1} B C$ für $x = 0,5$ und $A_{2} B C$ für $x = 4$

Ermittle sodann rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Dreiecke $A_{n} B C$ gibt

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_{3}$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{DP_1}$

Ergänze das Dreieck $C D P_{2}$ in der Zeichnung zur Aufgabenstellung

Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem

Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$

Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}$

Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$

Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll, mit $q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circ$

Pyramide $A B C D S$

Berechne das Maß des Winkels $S C A$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$

Zeichne die Pyramide $A C P_{1} B$ für $\varphi= 35^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige, dass für die Länge der Strecken $\overline{AP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$

Berechne den zugehörigen Wert von $\varphi$

Zeige, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$

Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$

In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S$ ? Begründe