Teil B

Ergänze im Koordinatensystem in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Dreiecke $A_{1}BC$ für $x=\mathrm{0,5}$ und $A_{2}BC$ für $x=4$

Gegeben sind $A_n(x|-\mathrm{0,75}\cdot {\log }_2(x+1)+3)$ und die Punkte $B(\mathrm{4,5}|\mathrm{3,5})$ und $C(2|\mathrm{3,5})$.

Beim Dreieck $A_{1}BC$ ist $x=\mathrm{0,5}$.

$A_1(\mathrm{0,5}|f(\mathrm{0,5}))$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Zeichne $A_1,B$ und $C$ in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Dreieck (braunes Dreieck).

Beim Dreieck $A_{2}BC$ ist $x=4$.

$A_2(4|f(4))$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Zeichne $A_2$ in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte $A_2,B$ und $C$ zu einem Dreieck (grünes Dreieck).

Ermittle sodann rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Dreiecke $A_{n}BC$ gibt

Die y-Koordinate von $A_n$ muss kleiner als $\mathrm{3,5}$ sein, damit man Dreiecke $A_{n}BC$ zeichnen kann.

Löse die Gleichung $\mathrm{3,5}=-\mathrm{0,75}\cdot {\log }_2(x+1)+3$ für $x\in ℝ$:

$\Rightarrow L=\{-\mathrm{0,37}\}$

Für $x>-\mathrm{0,37}$ ist $f(x)<\mathrm{3,5}$. Folglich erhält man dann Dreiecke $A_{n}BC$.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_3$

Berechne die Mitte der Strecke $\overline{BC}$:

$x_{A_3}={\displaystyle \frac{2+\mathrm{4,5}}{2}}=\mathrm{3,25}$

Demnach gilt:

$A_3(\mathrm{3,25}|f(\mathrm{3,25})$ mit $f(\mathrm{3,25})=-\mathrm{0,75}\cdot {\log }_2(\mathrm{3,25}+1)+3\approx \mathrm{1,43}$

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{D{P}_n}$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $|\overline{D{P}_n}|(\phi )={\displaystyle \frac{11\cdot \sin \phi }{\sin ({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi )}}\mathrm{cm}$

In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}$

Angewandt auf das Dreieck $CD{P}_n$ folgt:

${\displaystyle \frac{|\overline{D{P}_n}|}{\sin \phi }}={\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin \sphericalangle C{P}_{n}D}}$

Weiterhin gilt: $\sphericalangle C{P}_{n}D={180}^{\circ }-(\sphericalangle BDC+\phi )$

Für den Winkel $\sphericalangle BDC$ gilt: $\sphericalangle BDC={90}^{\circ }-\sphericalangle ADB$

Der Winkel $\sphericalangle ADB$ befindet sich im rechtwinkligen Dreieck $ABD$, sodass er berechnet werden kann.

$\tan \sphericalangle ADB={\displaystyle \frac{|\overline{AB}|}{|\overline{AD}|}}={\displaystyle \frac{7}{5}}=\mathrm{1,4}\Rightarrow \sphericalangle ADB={\tan }^{-1}(\mathrm{1,4})\approx {\mathrm{54,46}}^{\circ }$

Dann folgt für den Winkel $\sphericalangle BDC={90}^{\circ }-\sphericalangle ADB={90}^{\circ }-{\mathrm{54,46}}^{\circ }={\mathrm{35,54}}^{\circ }$

Nun kann auch der Winkel $\sphericalangle C{P}_{n}D={180}^{\circ }-(\sphericalangle BDC+\phi )$ angegeben werden:

$\sphericalangle C{P}_{n}D={180}^{\circ }-({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi )$

Für den Ansatz mit dem Sinussatz erhält man nun:

${\displaystyle \frac{|\overline{D{P}_n}|}{\sin \phi }}={\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin \sphericalangle C{P}_{n}D}}={\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin ({180}^{\circ }-({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi ))}}$

Wegen $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:

${\displaystyle \frac{|\overline{D{P}_n}|}{\sin \phi }}={\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin ({180}^{\circ }-({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi ))}}={\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin ({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi ))}}$

Aufgelöst nach $|\overline{D{P}_n}|$ erhält man:

$|\overline{D{P}_n}|={\displaystyle \frac{|\overline{CD}|\cdot \sin \phi }{\sin ({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi ))}}$

Setzt man nun noch $|\overline{CD}|=11\mathrm{cm}$ ein, dann folgt:

$|\overline{D{P}_n}|={\displaystyle \frac{11\mathrm{cm}\cdot \sin \phi }{\sin ({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi ))}}\Rightarrow |\overline{D{P}_n}|(\phi )={\displaystyle \frac{11\cdot \sin \phi }{\sin ({\mathrm{35,54}}^{\circ }+\phi )}}\mathrm{cm}$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{D{P}_1}$

Der Winkel $\phi$ ist hier ${20}^{\circ }$.

Eingesetzt in $|\overline{D{P}_n}|(\phi )\Rightarrow |\overline{D{P}_1}|({20}^{\circ })={\displaystyle \frac{11\cdot \sin {20}^{\circ }}{\sin ({\mathrm{35,54}}^{\circ }+{20}^{\circ })}}\approx \mathrm{4,56}$

Die Länge der Strecke $\overline{D{P}_1}$ beträgt rund $\mathrm{4,56}\mathrm{cm}$.

Ergänze das Dreieck $CD{P}_2$ in der Zeichnung zur Aufgabenstellung

Das Dreieck $CD{P}_2$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline{CD}$.

Errichte die Mittelsenkrechte über der Strecke $\overline{CD}$.

Die Mittelsenkrechte schneidet die Strecke $\overline{BD}$ in Punkt $P_2$.

Siehe Zeichnung:

Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A{B}_1{C}_1{D}_1$ für $x=-1$ und $A{B}_2{C}_2{D}_2$ für $x=7$ in ein Koordinatensystem

Zeichne die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-\mathrm{0,25}x+6$ in ein Koordinatensystem.

Rechteck $A{B}_1{C}_1{D}_1$

Der Punkt $B_1(-1|f(-1))$ (mit $f(x)=-\mathrm{0,25}x+6$) liegt auf der Geraden $g$.

Miss die Länge der Strecke $\overline{A{B}_1}$. Trage wegen $|\overline{B_n{C}_n}|={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overline{A{B}_n}|$ die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_1$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $\overline{A{B}_1}$ ab. Man erhält die Punkte $C_1$ und $D_1$. Verbinde $C_1$ mit $D_1$.

Rechteck $A{B}_2{C}_2{D}_2$

Verfahre entsprechend mit dem Punkt $B_2(7|f(7))$.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$

Es gilt gemäß Zeichnung: $\overrightarrow{O{C}_n}=\overrightarrow{O{B}_n}+\overrightarrow{B_n{C}_n}$

Dabei ist $\overrightarrow{B_n{C}_n}=\overrightarrow{O{D}_n}$.

Der Vektor $\overrightarrow{O{B}_n}$ wird zunächst um ${90}^{\circ }$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k=\mathrm{0,5}$ gestreckt. Ergebnis ist der Vektor $\overrightarrow{O{D}_n}$.

$\overrightarrow{O{B}_n}\stackrel{\stackrel{}{O,\phi ={90}^{\circ }}}{\to }\overrightarrow{O{B}_n{}^{\prime }}\stackrel{\stackrel{}{O,k=\mathrm{0,5}}}{\to }\overrightarrow{O{D}_n}$

Für die Drehung um $\phi ={90}^{\circ }$ um den Ursprung gilt:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos {90}^{\circ }& -\sin {90}^{\circ }\\ \sin {90}^{\circ }& \cos {90}^{\circ }\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right)$

Dann folgt für $x\in ℝ$:

$\left(\begin{array}{c}x\\ -\mathrm{0,25}x+6\end{array}\right)\stackrel{\stackrel{}{O,\phi ={90}^{\circ }}}{\to }\left(\begin{array}{c}-(-\mathrm{0,25}x+6)\\ x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,25}x-6\\ x\end{array}\right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,25}x-6\\ x\end{array}\right)\stackrel{\stackrel{}{O,k=\mathrm{0,5}}}{\to }\mathrm{0,5}\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,25}x-6\\ x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,13}x-3\\ \mathrm{0,5}x\end{array}\right)$

Somit ist $\overrightarrow{O{D}_n}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,13}x-3\\ \mathrm{0,5}x\end{array}\right)$.

Nun kann der Vektor $\overrightarrow{O{C}_n}$ berechnet werden:

$\overrightarrow{O{C}_n}=\overrightarrow{O{B}_n}+\overrightarrow{B_n{C}_n}$

$\overrightarrow{O{C}_n}(x)=\left(\begin{array}{c}x\\ -\mathrm{0,25}x+6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,13}x-3\\ \mathrm{0,5}x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,13}x-3\\ \mathrm{0,25}x+6\end{array}\right)$

Die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ lauten $C_n(\mathrm{1,13}x-3|\mathrm{0,25}x+6)$.

Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A{B}_n{C}_n{D}_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ wie folgt darstellen lässt: $u(x)=\sqrt{\mathrm{9,54}{x}^2-27x+324}\mathrm{LE}$

Es gilt: $|\overline{B_n{C}_n}|={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overline{A{B}_n}|$

Dann folgt für den Umfang $u$ für $x\in ℝ$:

$u=2\cdot (|\overline{A{B}_n}|+|\overline{B_n{C}_n}|)=2\cdot (|\overline{A{B}_n}|+\mathrm{0,5}\cdot |\overline{A{B}_n}|)=3\cdot |\overline{A{B}_n}|$

$\overrightarrow{A{B}_n}=\left(\begin{array}{c}x\\ -\mathrm{0,25}x+6\end{array}\right)\Rightarrow |\overrightarrow{A{B}_n}|(x)=\sqrt{x^2+(-\mathrm{0,25}x+6{)}^2}$

$|\overrightarrow{A{B}_n}|(x)=\sqrt{x^2+{\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^2-3x+36}=\sqrt{\mathrm{1,06}{x}^2-3x+36}\mathrm{LE}$

$\Rightarrow u(x)=3\cdot |\overline{A{B}_n}|=3\cdot \sqrt{\mathrm{1,06}{x}^2-3x+36}=\sqrt{9\cdot (\mathrm{1,06}{x}^2-3x+36)}$

$u(x)=\sqrt{9\cdot (\mathrm{1,06}{x}^2-3x+36)}=\sqrt{\mathrm{9,54}{x}^2-27x+324}\mathrm{LE}$

Damit ist gezeigt, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A{B}_n{C}_n{D}_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ wie folgt darstellen lässt:

$u(x)=\sqrt{\mathrm{9,54}{x}^2-27x+324}\mathrm{LE}$

Berechne den Umfang des Rechtecks $A{B}_3{C}_3{D}_3$

Der Punkt $C_3(\mathrm{1,13}x-3|\mathrm{0,25}x+6)$ liegt auf der y–Achse.

Deshalb gilt für $x_{C_3}$:

$x_{C_3}=0\Rightarrow \mathrm{1,13}x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,13}}}\approx \mathrm{2,65}$

$\mathrm{L}=\{\mathrm{2,65}\}$

Setze $x=\mathrm{2,65}$ in $u(x)$ ein:

$u(\mathrm{2,65})=\sqrt{\mathrm{9,54}\cdot (\mathrm{2,65}{)}^2-27\cdot \mathrm{2,65}+324}=\sqrt{\mathrm{319,44}}\approx \mathrm{17,87}$

Der Umfang des Rechtecks $A{B}_3{C}_3{D}_3$ beträgt rund $\mathrm{17,87}\mathrm{LE}$.

Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A{B}_4{C}_4{D}_4$ den minimalen Umfang hat

Wenn $C_4\in g$, dann gilt auch:

$\overline{B_4{C}_4}$ liegt auf $g$

Dann folgt: $\overline{A{B}_4}⟂g$

Unter allen Stecken hat die Strecke $\overline{A{B}_4}$ die kürzeste Länge.

Wegen $u=3\cdot |\overline{A{B}_n}|$ hat somit das Rechteck $A{B}_4{C}_4{D}_4$ den minimalen Umfang.

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$

Es gilt:

$u(x)=\sqrt{\mathrm{9,54}{x}^2-27x+324}\mathrm{LE}$ mit $x\in ℝ$

$u(x)$ soll minimal werden. Dazu betrachtet man den Term unter der Wurzel.

$f(x)=\mathrm{9,54}{x}^2-27x+324$

Es handel sich hier um eine nach oben geöffnete und gestreckte Parabel.

Gesucht ist der x-Wert des Scheitelpunktes $x_S$. Für $x_S$ ist $f(x)$ minimal und damit ist auch $u(x)$ minimal.

Bestimme den Scheitelpunkt von $f(x)$:

Somit ist $f(x)=\mathrm{9,54}(x-\mathrm{1,42}{)}^2+\mathrm{304,90}$.

Der Scheitelpunkt hat die $x$-Koordinate $x_S=\mathrm{1,42}$.

Setze $x_S=\mathrm{1,42}$ in $u(x)$ ein:

$u(\mathrm{1,42})=\sqrt{f(\mathrm{1,42})}=\sqrt{\mathrm{9,54}(\mathrm{1,42}-\mathrm{1,42}{)}^2+\mathrm{304,90}}=\sqrt{\mathrm{304,90}}\approx \mathrm{17,46}$

Der minimale Umfang beträgt rund $\mathrm{17,46}\mathrm{LE}$ und die zugehörige Belegung für $x$ ist $x=\mathrm{1,42}$.

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll, mit $q={\displaystyle \frac{1}{2}};\omega ={45}^{\circ }$

Es gilt: $|\overline{AC}|=12\mathrm{cm}$; $|\overline{BD}|=8\mathrm{cm}$; $|\overline{CS}|=\mathrm{9,5}\mathrm{cm}$.

Wegen $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist die Strecke in der Zeichnung nur $|\overline{BD}|=4\mathrm{cm}$ lang.

Berechne das Maß des Winkels $SCA$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$

Maß des Winkels $SCA$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $SCM$. Hier gilt:

$\cos \sphericalangle SCA={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \overline{AC}}{\overline{SC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot 12}{\mathrm{9,5}}}\approx \mathrm{0,6316}$

$\Rightarrow \sphericalangle SCA={\cos }^{-1}(\mathrm{0,6316})\approx {\mathrm{50,83}}^{\circ }$

Länge der Strecke $\overline{MS}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $SCM$.

Benutze den Satz des Pythagoras:

$|\overline{MS}{|}^2={\overline{CS}}^2-(\mathrm{0,5}\cdot \overline{AC}{)}^2\Rightarrow |\overline{MS}|=\sqrt{{\mathrm{9,5}}^2-(\mathrm{0,5}\cdot 12{)}^2}\approx \mathrm{7,37}$

Das Maß des Winkels $SCA$ beträgt rund ${\mathrm{50,83}}^{\circ }$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$ beträgt rund $\mathrm{7,37}\mathrm{cm}$.

Zeichne die Pyramide $AC{P}_{1}B$ für $\phi ={35}^{\circ }$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige, dass für die Länge der Strecken $\overline{A{P}_n}$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $|\overline{A{P}_n}|(\phi )={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}$

Betrachte das Dreieck $A{P}_{n}C$.

In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}$

Nach Aufgabe a) ist der Winkel $\sphericalangle SCA={\mathrm{50,83}}^{\circ }$. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel $\sphericalangle AC{P}_n$.

Dann gilt für den Winkel $A{P}_{n}C$:

$\sphericalangle A{P}_{n}C={180}^{\circ }-(\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })$

Wende nun den Sinussatz an:

${\displaystyle \frac{|\overline{A{P}_n}|}{\sin {\mathrm{50,83}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{|\overline{AC}|}{\sin \sphericalangle A{P}_{n}C}}={\displaystyle \frac{12\mathrm{cm}}{\sin ({180}^{\circ }-(\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ }))}}$ mit $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{50,83}}^{\circ }]$

Wegen $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:

${\displaystyle \frac{|\overline{A{P}_n}|}{\sin {\mathrm{50,83}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{12\mathrm{cm}}{\sin ({180}^{\circ }-(\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ }))}}={\displaystyle \frac{12\mathrm{cm}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}$

$\Rightarrow |\overline{A{P}_n}|(\phi )={\displaystyle \frac{12\cdot \sin {\mathrm{50,83}}^{\circ }}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}$

Berechne den zugehörigen Wert von $\phi$

Für die Strecke $\overline{A{P}_2}$ gilt: $|\overline{A{P}_2}|=10\mathrm{cm}$.

Dann folgt:

$10={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}$ mit $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{50,83}}^{\circ }]$

$L=\{{\mathrm{17,60}}^{\circ }\}$

Der zugehörige Wert von $\phi$ beträgt ${\mathrm{17,60}}^{\circ }$.

Zeige, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $AC{P}_{n}B$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $V(\phi )={\displaystyle \frac{\mathrm{74,40}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}{\mathrm{cm}}^3$

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

$V_P={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P$

Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.

$G=\frac{1}{2}\cdot A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|)=\frac{1}{4}\cdot 12\cdot 8=24{\mathrm{cm}}^2$

Für die Höhe dieser Pyramide (siehe Abbildung) gilt:

$\sin \phi ={\displaystyle \frac{h_P}{|\overline{A{P}_n}|}}$

$\Rightarrow h_P=\sin \phi \cdot |\overline{A{P}_n}|=\sin \phi \cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}\mathrm{cm}}{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\mathrm{cm}$

$V(\phi )={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 24\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{9,30}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{\mathrm{74,40}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}{\mathrm{cm}}^3$

Für das Volumen $V$der Pyramiden $AC{P}_{n}B$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:

Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $AC{P}_{1}B$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $ABCDS$

Zum Winkel ${35}^{\circ }$ gehört das Volumen:

$V({35}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{74,40}\cdot \sin {35}^{\circ }}{\sin ({35}^{\circ }+{\mathrm{50,83}}^{\circ })}}\approx \mathrm{42,79}{\mathrm{cm}}^3$

$V_{ABCDS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P$

Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.

$G=A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48{\mathrm{cm}}^2$

Die Höhe dieser Pyramide ist $h_P=|\overline{MS}|=\mathrm{7,37}\mathrm{cm}$ (siehe Aufgabe a).

Dann folgt:

$V_{ABCDS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 48\cdot \mathrm{7,37}=\mathrm{117,92}{\mathrm{cm}}^3$

Berechne das Verhältnis:

${\displaystyle \frac{\mathrm{117,92}-\mathrm{42,79}}{\mathrm{117,92}}}\approx \mathrm{0,6371}$ oder $\mathrm{63,71}\%$

Das Volumen der Pyramide $AC{P}_{1}B$ ist um rund $\mathrm{63,71}\%$ kleiner als das Volumen der Pyramide $ABCDS$.

In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $AC{P}_{3}B$ zum Volumen der Pyramide $ABCDS$? Begründe

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Die grüne $(A{P}_{3}SB)$ und die braune $(AC{P}_{3}B)$ Pyramide sind zusammen genau halb so groß wie die Pyramide $ABCDS$.

$\Rightarrow V_{AC{P}_{3}B}+V_{A{P}_{3}SB}=\mathrm{0,5}\cdot V_{ABCDS}$

Die Pyramide $AC{P}_{3}B$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A{P}_{3}SB$.

$\Rightarrow V_{AC{P}_{3}B}=V_{A{P}_{3}SB}$

Es folgt:

$2\cdot V_{A{P}_{3}SB}=\mathrm{0,5}\cdot V_{ABCDS}\Rightarrow V_{A{P}_{3}SB}=\mathrm{0,25}\cdot V_{ABCDS}$

Das Volumen der Pyramide $AC{P}_{3}B$ beträgt ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ des Volumens der Pyramide $ABCDS$.