Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 4

Die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ der Raute $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ .

Die Raute $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $\overline{MS}$ .

Es gilt: $|\overline{AC}| =12\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{BD}| =8\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{CS}| =9{,}5\;\mathrm{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der
Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circ$
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $S C A$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$ .
$[$ Teilergebnisse: $\sphericalangle SCA = 50{,}83^\circ; |\overline{MS}|= 7{,}37 \;\mathrm{cm}]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll, mit $q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circ$
Es gilt: $|\overline{AC}| =12\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{BD}| =8\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{CS}| =9{,}5\;\mathrm{cm}$ .
Wegen $q=\dfrac{1}{2}$ ist die Strecke in der Zeichnung nur $|\overline{BD}| =4\;\mathrm{cm}$ lang.
Pyramide $A B C D S$
Berechne das Maß des Winkels $S C A$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$
Maß des Winkels $S C A$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ . Hier gilt:
$\cos\sphericalangle SCA=\dfrac{0{,}5\cdot\overline{AC}}{\overline{SC}}=\dfrac{0{,}5\cdot12}{9{,}5}\approx0{,}6316$
$\Rightarrow\;\sphericalangle SCA=\cos^{-1}(0{,}6316)\approx50{,}83^\circ$
Länge der Strecke $\overline{MS}$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Benutze den Satz des Pythagoras:
$|\overline{MS}|^2=\overline{CS}^2-(0{,}5\cdot\overline{AC})^2\;\Rightarrow\;|\overline{MS}|=\sqrt{9{,}5^2-(0{,}5\cdot 12)^2}\approx7{,}37$
Das Maß des Winkels $S C A$ beträgt rund $50{,}83^\circ$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$ beträgt rund $7{,}37\;\mathrm{cm}$ .
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Teil 1
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke $\overline{BD}$ : $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega= 45^\circ$
Teil 2
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Winkelberechnung: Benutze den $\cos$ .
Streckenlänge: Benutze den Satz des Pythagoras.
Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $\overline{CS}$ . Die Winkel $C A P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit
$\varphi \in \;]0^\circ;50{,}83^\circ]$ . Die Punkte $P_{n}$ sind zusammen mit den Punkten $A$ und $C$ die
Eckpunkte von Dreiecken $A C P_{n}$ . Die Dreiecke $A C P_{n}$ sind Grundflächen von
Pyramiden mit der Spitze $B$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A C P_{1} B$ für $\varphi= 35^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel konstruieren
Zeichne die Pyramide $A C P_{1} B$ für $\varphi= 35^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Pyramide $A C P_{1} B$
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Zeichne an die Strecke $\overline{AC}$ im Punkt $A$ den Winkel $\varphi= 35^\circ$ . Der freie Schenkel schneidet die Strecke $\overline{CS}$ im Punkt $P_{1}$ .

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $\overline{AP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$ .

Für die Strecke $\overline{AP_2}$ gilt: $|\overline{AP_2}| =10\;\mathrm{cm}$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $\varphi$ . (3,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Zeige, dass für die Länge der Strecken $\overline{AP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$

Betrachte das Dreieck $A P_{n} C$ .

In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:

$\dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}$

Nach Aufgabe a) ist der Winkel $\sphericalangle SCA=50{,}83^\circ$ . Dieser Winkel ist gleich dem Winkel $\sphericalangle ACP_n$ .

Dann gilt für den Winkel $A P_{n} C$ :

$\sphericalangle AP_nC=180^\circ -(\varphi+50{,}83^\circ)$

Wende nun den Sinussatz an:

$\dfrac{|\overline{AP_n}|}{\sin 50{,}83^\circ}=\dfrac{|\overline{AC}|}{\sin\sphericalangle AP_nC}=\dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin(180^\circ -(\varphi+50{,}83^\circ))}$ mit $\varphi \in \;]0^\circ;50{,}83^\circ]$

Wegen $\sin(180^\circ -\alpha)=\sin \alpha$ kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:

$\dfrac{|\overline{AP_n}|}{\sin 50{,}83^\circ}=\dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin(180^\circ -(\varphi+50{,}83^\circ))}=\dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}$

$\Rightarrow\; |\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{12\cdot\sin50{,}83^\circ}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$

Berechne den zugehörigen Wert von $\varphi$

Für die Strecke $\overline{AP_2}$ gilt: $|\overline{AP_2}| =10\;\mathrm{cm}$ .

Dann folgt:

$10=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}$ mit $\varphi \in \;]0^\circ;50{,}83^\circ]$

$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}$	$\displaystyle \cdot\sin(\varphi+50{,}83^\circ)$
	↓	Löse nach $\varphi$ auf.
$\displaystyle 10\cdot\sin(\varphi+50{,}83^\circ)$	$=$	$\displaystyle 9{,}30$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle \sin(\varphi+50{,}83^\circ)$	$=$	$\displaystyle 0{,}93$	$\displaystyle \sin^{-1}$
$\displaystyle \varphi+50{,}83^\circ$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}(0{,}93)$
$\displaystyle \varphi+50{,}83^\circ$	$=$	$\displaystyle 68{,}43^\circ$	$\displaystyle -50{,}83^\circ$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 17{,}60^\circ$

$L=\{17{,}60^\circ\}$

Der zugehörige Wert von $\varphi$ beträgt $17{,}60^\circ$ .

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Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$ .
Berechnen Sie sodann, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ kleiner
ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Zeige, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Pyramide $A C P_{n} B$
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$
Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.
$G=\frac{1}{2}\cdot A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|\right)=\frac{1}{4}\cdot12 \cdot8=24\;\mathrm{cm}^2$
Für die Höhe dieser Pyramide (siehe Abbildung) gilt:
$\sin\varphi=\dfrac{h_P}{|\overline{AP_n}|}\;$
$\Rightarrow\;h_P=\sin\varphi\cdot|\overline{AP_n}|=\sin\varphi\cdot\dfrac{9{,}30\;\mathrm{cm}}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}=\dfrac{9{,}30\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$
$V(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 24 \cdot \dfrac{9{,}30\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}=\dfrac{74{,}40\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$
Für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$\displaystyle V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$
Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$
Zum Winkel $35^\circ$ gehört das Volumen:
$V(35^\circ)=\dfrac{74{,}40\cdot\sin35^\circ}{\sin(35^\circ+50{,}83^\circ)}\approx42{,}79\;\mathrm{cm}^3$
$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$
Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.
$G= A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=\frac{1}{2}\cdot12 \cdot8=48\;\mathrm{cm}^2$
Die Höhe dieser Pyramide ist $h_P=|\overline{MS}|=7{,}37\;\mathrm{cm}$ (siehe Aufgabe a).
Dann folgt:
$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot 48\cdot7{,}37=117{,}92\;\mathrm{cm}^3$
Berechne das Verhältnis:
$\dfrac{117{,}92-42{,}79}{117{,}92}\approx0{,}6371$ oder $63{,}71\;\%$
Das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ ist um rund $63{,}71\;\%$ kleiner als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ .
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Teil 1
Das Pyramidenvolumen berechnet man mit $V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_P$ .
Die Grundfläche der Pyramide ist eine halbe Raute.
Für die Höhenberechnung der Pyramide benutzt man den $\sin$ .
Teil 2
Berechne mit der erhaltenen Volumenformel das Volumen $V(35^\circ)$ .
Berechne das Volumen der gesamten Pyramide $V_{P}$ . (Die Grundfläche der Pyramide ist eine Raute.)
Bilde dann das Verhältnis: $\dfrac{V_P-V(35^\circ)}{V_P}$
Die Pyramide $A C P_{3} B$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A P_{3} S B$ .
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ zum Volumen der
Pyramide $A B C D S$ ? Begründen Sie. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S$ ? Begründe
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Pyramiden $A P_{3} S B$ und $A C P_{3} B$
Die grüne $(A P_{3} S B)$ und die braune $(A C P_{3} B)$ Pyramide sind zusammen genau halb so groß wie die Pyramide $A B C D S$ .
$\Rightarrow\; V_{AC{P_3}B}+V_{A{P_3}SB}=0{,}5\cdot V_{ABCDS}$
Die Pyramide $A C P_{3} B$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A P_{3} S B$ .
$\Rightarrow\;V_{AC{P_3}B}=V_{A{P_3}SB}$
Es folgt:
$2\cdot V_{A{P_3}SB}=0{,}5 \cdot V_{ABCDS}\;\Rightarrow\;V_{A{P_3}SB}=0{,}25 \cdot V_{ABCDS}$
Das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ beträgt $\dfrac{1}{4}$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ .
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Es gilt: $V_{AC{P_3}B}+V_{A{P_3}SB}=0{,}5\cdot V_{ABCDS}$
Weiterhin gilt: $V_{AC{P_3}B}=V_{A{P_3}SB}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B 4

Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDSABCDS, wobei die Strecke AC‾\overline{AC}AC auf der Schrägbildachse und der Punkt AAA links vom Punkt CCC liegen soll, mit q=12; ω=45∘q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circq=21​; ω=45∘

Pyramide ABCDSABCDSABCDS

Berechne das Maß des Winkels SCASCASCA und die Länge der Strecke MS‾\overline{MS}MS

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Zeichne die Pyramide ACP1BACP_1BACP1​B für φ=35∘\varphi= 35^\circφ=35∘ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

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Zeige, dass für die Länge der Strecken APn‾\overline{AP_n}APn​​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: ∣APn‾∣(φ)=9,30sin⁡(φ+50,83∘) cm|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}∣APn​​∣(φ)=sin(φ+50,83∘)9,30​cm

Berechne den zugehörigen Wert von φ\varphiφ

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Zeige, dass für das Volumen VVVder Pyramiden ACPnBACP_nBACPn​B in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: V(φ)=74,40⋅sin⁡φsin⁡(φ+50,83∘) cm3V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3V(φ)=sin(φ+50,83∘)74,40⋅sinφ​cm3

Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide ACP1BACP_1BACP1​B kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCDSABCDSABCDS

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In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide ACP3BACP_3BACP3​B zum Volumen der Pyramide ABCDSABCDSABCDS? Begründe

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Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll, mit $q=\dfrac{1}{2};\ \omega= 45^\circ$

Pyramide $A B C D S$

Berechne das Maß des Winkels $S C A$ und die Länge der Strecke $\overline{MS}$

Zeichne die Pyramide $A C P_{1} B$ für $\varphi= 35^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige, dass für die Länge der Strecken $\overline{AP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{AP_n}|(\varphi)=\dfrac{9{,}30}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}$

Berechne den zugehörigen Wert von $\varphi$

Zeige, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A C P_{n} B$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{74{,}40\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+50{,}83^\circ)}\;\mathrm{cm}^3$

Berechne, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $A C P_{1} B$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$

In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide $A C P_{3} B$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S$ ? Begründe