Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann: ${\mathrm{0,9}}^{10}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right)\cdot {\mathrm{0,1}}^1\cdot {\mathrm{0,9}}^9+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right)\cdot {\mathrm{0,1}}^2\cdot {\mathrm{0,9}}^8$

Gegeben ist: Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{0,1}$ auf.

Der 1. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ nullmal auftritt.

Der 2. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ einmal auftritt.

Der 3. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ zweimal auftritt.

Somit beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ höchstens zweimal auftritt.

Die Variable $X$ steht für die Anzahl des Auftretens der Augenzahl $4$.

Dann gilt:

$P(X\le 2)={\mathrm{0,9}}^{10}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right)\cdot {\mathrm{0,1}}^1\cdot {\mathrm{0,9}}^9+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right)\cdot {\mathrm{0,1}}^2\cdot {\mathrm{0,9}}^8$

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$

Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“. Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n=3$.

Für den Erwartungswert gilt dann:

$E(x)=1\cdot {\displaystyle \frac{54}{125}}+2\cdot {\displaystyle \frac{36}{125}}+3\cdot {\displaystyle \frac{8}{125}}={\displaystyle \frac{150}{125}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$

Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$beträgt ${\displaystyle \frac{6}{5}}$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$

Es ist $E(x)={\displaystyle \frac{6}{5}}$. Andererseits ist $E(x)=n\cdot p=3\cdot p$.

$\Rightarrow 3\cdot p={\displaystyle \frac{6}{5}}\Rightarrow p={\displaystyle \frac{2}{5}}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ beträgt ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.