Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Ein Tetraeder, das mit den Augenzahlen $1, 2, 3$ und $4$ beschriftet ist, wird zum Würfeln verwendet. Das Tetraeder wurde so manipuliert, dass die Augenzahlen nicht alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.
Beschreiben Sie in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann:
$0{,}9^{10}+\binom{10}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2} \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{8}$
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann: $0{,}9^{10}+\binom{10}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2} \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{8}$
Gegeben ist: Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.
Der 1. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ nullmal auftritt.
Der 2. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ einmal auftritt.
Der 3. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ zweimal auftritt.
Somit beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ höchstens zweimal auftritt.
Die Variable $X$ steht für die Anzahl des Auftretens der Augenzahl $4$ .
Dann gilt:
$P(X\leq 2)=0{,}9^{10}+\binom{10}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2} \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{8}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Betrachte die einzelnen Terme des Ereignisses.
Beachte, dass die Augenzahl $4$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auftritt.
Mit dem Tetraeder wird dreimal gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“ ist in der folgenden Tabelle dargestellt:
k
0
1
2
3
$P (X = k)$
$\frac{27}{125}$
$\frac{54}{125}$
$\frac{36}{125}$
$\frac{8}{125}$
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$
Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“. Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n = 3$ .
Für den Erwartungswert gilt dann:
$E(x)=1\cdot\dfrac{54}{125}+2\cdot \dfrac{36}{125}+3\cdot \dfrac{8}{125}=\dfrac{150}{125}=\dfrac{6}{5}$
Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ beträgt $\dfrac{6}{5}$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$
Es ist $E(x)=\dfrac{6}{5}$ . Andererseits ist $E(x)=n\cdot p=3\cdot p$ .
$\Rightarrow\;3\cdot p=\dfrac{6}{5}\;\Rightarrow\;p=\dfrac{2}{5}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ beträgt $\dfrac{2}{5}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Berechne den Erwartungswert: $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{c c l}\text{E}(\text X) = x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \end{array}$
Teil 2
Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n = 3$ $\;\Rightarrow\;$ $E(x)=n\cdot p=3\cdot p$ .
Erstelle mit dem Ergebnis aus Teil 1 eine Gleichung und löse nach $p$ auf.

k	0	1	2	3
$P (X = k)$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 6

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße XXX

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl 111

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$