Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte $A (2 ∣ 4 ∣ 5), B (1 ∣ 2 ∣ 3)$ und $C (7 ∣ 5 ∣ - 3)$ .

Zeigen Sie, dass die Vektoren $\overrightarrow{B A}$ und $\overrightarrow{B C}$ orthogonal zueinander sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{B A}$ und $\overrightarrow{B C}$ orthogonal zueinander sind
Berechne die beiden Vektoren $\overrightarrow{B A}$ und $\overrightarrow{B C}$ und ihr Skalarprodukt:
$\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}7\\5\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\-6\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{B A}\circ \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\3\\-6\end{pmatrix}=1\cdot 6+2\cdot 3+2\cdot(-6)=6+6-12=0$
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{B A}$ und $\overrightarrow{B C}$ ist gleich null. Sie sind orthogonal zueinander.
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Berechne die beiden Vektoren $\overrightarrow{B A}$ und $\overrightarrow{B C}$ und ihr Skalarprodukt.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes $D$ an, der die Punkte $A, B$ und $C$ zu einem Rechteck $A B C D$ ergänzt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an, der die Punkte $A, B$ und $C$ zu einem Rechteck $A B C D$ ergänzt
Berechne den Vektor $\overrightarrow{OD}$ :
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{B C}=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\3\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\7\\-1\end{pmatrix}$
Also hat der Punkt $D$ die Koordinaten $D (8 ∣ 7 ∣ - 1)$ .
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Berechne den Vektor $\overrightarrow{OD}$ .
Berechne $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{B C}$ .
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$
$A_{A B C D}=|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}|$
$A_{A B C D}=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}} \cdot \sqrt{6^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{81}=3 \cdot 9=27$
Der Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ beträgt $27\;\mathrm{FE}$ .
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Berechne $A_{A B C D}=|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}|$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Zeige, dass die Vektoren BA→\overrightarrow{B A}BA und BC→\overrightarrow{B C}BC orthogonal zueinander sind

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Gib die Koordinaten des Punktes DDD an, der die Punkte A,BA, BA,B und CCC zu einem Rechteck ABCDABCDABCD ergänzt

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Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks ABCDABCDABCD

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Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{B A}$ und $\overrightarrow{B C}$ orthogonal zueinander sind

Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an, der die Punkte $A, B$ und $C$ zu einem Rechteck $A B C D$ ergänzt

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$