Teil B: Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer $A$ beschleunigt $10$ Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer $B$ beschleunigt $12$ Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten $15$ Sekunden dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $A$ in den ersten $10$ Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{3}{1000} x^{4}-\frac{8}{100} x^{3}+\frac{6}{10} x^{2}$ beschrieben.

(Die Funktion $f$ ist Teil der Aufgabe 1.)

Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $B$ wird in den ersten $12$ Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit

\displaystyle h(x)=\frac{1}{576} x^{4}-\frac{1}{18} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}

beschrieben.

Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f (x)$ bzw. $h (x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ drei Sekunden nach dem Start sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von $8$ Meter pro Sekunde erreicht.
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Berechne $f (3)$ :
$f(3) \approx3{,}483$
Die Geschwindigkeit beträgt etwa $3{,}48 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .
$f (x) = 8$ hat im betrachteten Zeitraum die Lösung $x \approx5{,}82$ , d. h. die
Geschwindigkeit von $8$ Meter pro Sekunde wird etwa $5,82$ Sekunden nach dem Start erreicht.
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Teil 1
Berechne $f (3)$ .
Teil 2
Bestimme die Lösung von $f (x) = 8$ .
Ermitteln Sie die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt. (1 P)
Zeigen Sie durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt
Bestimme $h (12)$ :
$h (12) = 12$
Die konstante Geschwindigkeit beträgt $12\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .
Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist
Bestimme $h^{'} (12)$ :
$h^{'} (12) = 0$ , d.h. die Tangente hat an der Stelle $x = 0$ die Steigung null (waagrechte Tangente).
Der Graph von $h$ hat an der untersuchten Stelle keinen Knick.
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Teil 1
Bestimme $h (12)$ .
Teil 2
Bestimme $h^{'} (12)$ .
Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit beider Radfahrer gleich groß ist. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_{S}$ bezeichnet.
Bestimmen Sie rechnerisch $x_{S}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
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Suche die Lösung von $f (x) = h (x)$ für $0 < x < 10$ .
Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& d(x)=f(x)-h(x) . \\& d^{\prime}(x)=0 \text { hat für } 0<x<x_{S} \text { nur die Lösung } x_{1} \text { mit } x_{1} \approx 3{,}64 . \\& d^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) \approx-0{,}13<0 . \\& d\left(x_{1}\right)=0{,}37 .\end{aligned}$
Geben Sie die Bedeutung von $d (x)$ für $0<x<x_{S}$ im Sachzusammenhang an und interpretieren Sie das Ergebnis $0,37$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Gib die Bedeutung von $d (x)$ für $0<x<x_{S}$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37$
$d (x)$ gibt für den Zeitpunkt $x$ Sekunden nach dem Start an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer $A$ schneller ist als Radfahrer $B$ .
Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten innerhalb der ersten $x_{S}$ Sekunden nach dem Start beträgt etwa $0,37$ Meter pro Sekunde.
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$d (x)$ ist die Differenz der beiden Geschwindigkeiten der Radfahrer.
Die weiteren Zeilen der Rechnung beschreiben die Berechnung eines Extremums. Was wird hier maximal?
(i) Zeigen Sie, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt. (2 P)
(ii) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Zeige, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt
Gegeben: Radfahrer $A$ legt in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurück.
Berechne das Integral über $f (x)$ von $0$ bis $8,3$ .
$\displaystyle\int_{0}^{8{,}3} f(x)\; \mathrm{d} x \approx 43{,}075$ .
Radfahrer $A$ hat in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurückgelegt.
(ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist
Gegeben: Die zurückgelegte Strecke beträgt $43$ Meter.
Löse die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{t} h(x)\;\mathrm{d} x=43$ .
Die Gleichung hat für $0 \leq t \leq 12$ die Lösung $t_{1}$ mit $t_{1} \approx 8{,}29$ .
Der Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist, liegt ungefähr $8,3$ Sekunden nach dem Start vor.
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(i)
Berechne das Integral über $f (x)$ von $0$ bis $8,3$ .
(ii)
Löse die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{t} h(x)\; \mathrm{d} x=43$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

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Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer BBB ab dem Zeitpunkt 121212 Sekunden nach dem Start bewegt

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer BBB gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle 121212 keinen Knick aufweist

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Gib die Bedeutung von d(x)d(x)d(x) für 0<x<xS0<x<x_{S}0<x<xS​ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis 0,370{,}370,37

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(i) Zeige, dass Radfahrer AAA in den ersten 8,38{,}38,3 Sekunden ungefähr 434343 Meter zurücklegt

(ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer BBB 434343 Meter vom Start entfernt ist

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Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist

Gib die Bedeutung von $d (x)$ für $0<x<x_{S}$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37$

(i) Zeige, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt

(ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist