Teil B: Analysis 2

Ermittle eine Gleichung von $t$

Aus $P\left(0|-\frac{5}{8}\right)$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b=-\frac{5}{8}$.

Setze in $y=m\cdot x+b=m\cdot x-\frac{5}{8}$ die Koordinaten von $Q$ ein:

$-1=m\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})-{\displaystyle \frac{5}{8}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{8}}=m\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Damit erhält man:

Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$ ist

$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$, wenn:

• $f(5)=t(5)$

• $f^{\prime }(5)=m_t$

Berechne: $f(5)=\mathrm{6,875}$ und $t(5)=\mathrm{6,875}\Rightarrow f(5)=t(5)✓$

$f^{\prime }(5)=\mathrm{1,5}$ und $m_t={\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{1,5}\Rightarrow f^{\prime }(5)=m_t✓$

Beide Bedingungen sind erfüllt:

$\Rightarrow t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$.

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$, die die $y$-Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

Mögliche Lösung 1:

Mögliche Lösung 2:

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an

Die Funktion $f$ wird mit dem Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt und anschließend mit dem Faktor ${\displaystyle \frac{1}{b}}$ in x-Richtung gestreckt.

$\underset{\text{Streckung in y-Richt.mit Faktor a}}{\underbrace{f\stackrel{\stackrel{}{\cdot a}}{\to }a\cdot f}}\underset{\text{Streckung in x-Richt.mit Faktor}\frac{1}{b}}{\underbrace{\stackrel{\stackrel{}{f(b\cdot x)}}{\to }a\cdot f(b\cdot x)}}=g(x)$

Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$

Der Punkt $(12|12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10|10)$ des

Graphen von $f$ erzeugt:

$\Rightarrow g(12)=a\cdot f(10)\Rightarrow 12=a\cdot 10\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{5}}$

Weiterhin folgt: $12={\displaystyle \frac{1}{b}}\cdot 10\Rightarrow b={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Die Werte von $𝑎$ und $b$ sind $a={\displaystyle \frac{6}{5}}$ und $b={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

Berechne $f(3)$:

$f(3)\approx \mathrm{3,483}$

Die Geschwindigkeit beträgt etwa $\mathrm{3,48}\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

$f(x)=8$ hat im betrachteten Zeitraum die Lösung $x\approx \mathrm{5,82}$, d. h. die

Geschwindigkeit von $8$ Meter pro Sekunde wird etwa $\mathrm{5,82}$ Sekunden nach dem Start erreicht.

Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt

Bestimme $h(12)$:

$h(12)=12$

Die konstante Geschwindigkeit beträgt $12\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist

Bestimme $h^{\prime }(12)$:

$h^{\prime }(12)=0$, d.h. die Tangente hat an der Stelle $x=0$ die Steigung null (waagrechte Tangente).

Der Graph von $h$ hat an der untersuchten Stelle keinen Knick.

Gib die Bedeutung von $d(x)$ für $0<x<x_S$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $\mathrm{0,37}$

$d(x)$ gibt für den Zeitpunkt $x$ Sekunden nach dem Start an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer $A$ schneller ist als Radfahrer $B$.

Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten innerhalb der ersten $x_S$ Sekunden nach dem Start beträgt etwa $\mathrm{0,37}$ Meter pro Sekunde.

(i) Zeige, dass Radfahrer $A$ in den ersten $\mathrm{8,3}$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt

Gegeben: Radfahrer $A$ legt in den ersten $\mathrm{8,3}$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurück.

Berechne das Integral über $f(x)$ von $0$ bis $\mathrm{8,3}$.

$${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{8,3}}f(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{43,075}}$$.

Radfahrer $A$ hat in den ersten $\mathrm{8,3}$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurückgelegt.

(ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist

Gegeben: Die zurückgelegte Strecke beträgt $43$ Meter.

Löse die Gleichung $${\displaystyle {\int }_0^{t}h(x)\mathrm{d}x=43}$$.

Die Gleichung hat für $0\le t\le 12$ die Lösung $t_1$ mit $t_1\approx \mathrm{8,29}$.

Der Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist, liegt ungefähr $\mathrm{8,3}$ Sekunden nach dem Start vor.