Teil B: Analysis 2

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{3}{1000} x^{4}-\frac{8}{100} x^{3}+\frac{6}{10} x^{2}$ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left\lvert\,-\frac{5}{8}\right.\right)$ .
Abbildung 1
1. Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ .
  Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
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  Für GTR.
  $f^{'} (x)$ besitzt für $x = 0$ und für $x = 10$ eine Nullstelle.
  Betrachte den Graphen.
  Für CAS.
  Da $x = 0$ als Extremstelle bekannt ist, wird nur $x = 10$ geprüft.
  Berechne $f^{'} (9)$ und $f^{'} (11)$ . Liegt ein Vorzeichenwechsel vor?
2. Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q\left(\left.-\frac{1}{4} \right\rvert\,-1\right)$ wird mit $t$ bezeichnet.
  Ermitteln Sie eine Gleichung von $t$ und weisen Sie rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ ist.
  $[$ Zur Kontrolle: $t: y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}$ . $]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Ermittle eine Gleichung von $t$
  Aus $P\left(0 \left\lvert\,-\frac{5}{8}\right.\right)$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b=-\frac{5}{8}$ .
  Setze in $y=m \cdot x+b= m \cdot x-\frac{5}{8}$ die Koordinaten von $Q$ ein:
  $-1=m \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{5}{8}\;\Rightarrow\;-\dfrac{3}{8}=m \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)\;\Rightarrow\;m=\dfrac{3}{2}$
  Damit erhält man:
  $\displaystyle t: y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}$
  Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ ist
  $t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ , wenn:
  $f (5) = t (5)$
  $f^{'} (5) = m_{t}$
  Berechne: $f (5) = 6,875$ und $t(5)=6{,}875 \;\Rightarrow\;f(5)=t(5)\;\checkmark$
  $f^{'} (5) = 1,5$ und $m_t=\dfrac{3}{2}=1{,}5\;\Rightarrow\;f'(5)=m_t\;\checkmark$
  Beide Bedingungen sind erfüllt:
  $\Rightarrow\;t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ .
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  Teil 1
  Aus $P$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b$ .
  Setze in $y=m \cdot x+b$ die Koordinaten von $Q$ ein.
  Teil 2
  $t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ , wenn $f (5) = t (5)$ und $f^{'} (5) = m_{t}$ .
3. Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.
  Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
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  Für GTR.
  Für die Integrationsgrenzen berechne $f (x) = t (x)$ $\;\Rightarrow\;$ relevante Schnittstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
  Berechne den Flächeninhalt: $A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}(t(x)-f(x))\;\mathrm{d}x$
  Für CAS.
  Für die Integrationsgrenzen berechne $f (x) = t (x)$ $\;\Rightarrow\;$ $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$
  Berechne den Flächeninhalt: $A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_3}(t(x)-f(x))\;\mathrm{d}x$
4. Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben
  Mögliche Lösung 1:
  Abbildung 1 mit zwei Tangenten
  Mögliche Lösung 2:
  Abbildung 1 mit zwei Tangenten
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  Zeichne von $P$ ausgehend zwei Tangenten an den Graphen von $f$ .
5. Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ entsteht durch Transformationen aus dem Graphen von $f$ . Der Punkt $(12 ∣ 12)$ des Graphen von $g$ entsteht dabei aus dem Punkt $(10 ∣ 10)$ des Graphen von $f$ und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt
  $\displaystyle g(x)=a \cdot f(b \cdot x) \text { mit } a, b>0.$
  Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an
  Die Funktion $f$ wird mit dem Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt und anschließend mit dem Faktor $\dfrac{1}{b}$ in x-Richtung gestreckt.
  $\underbrace{f\xrightarrow{\cdot a}a\cdot f}_\text{Streckung in y-Richt.mit Faktor a}\;\;\;\;\underbrace{\xrightarrow{f(b\cdot x)}a\cdot f(b\cdot x)}_{\text{Streckung in x-Richt.mit Faktor\;}\frac{1}{b}}=g(x)$
  Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$
  Der Punkt $(12 ∣ 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 ∣ 10)$ des
  Graphen von $f$ erzeugt:
  $\Rightarrow\; g(12)=a\cdot f(10)\;\Rightarrow\;12=a\cdot 10\;\Rightarrow\;a=\dfrac{6}{5}$
  Weiterhin folgt: $12=\dfrac{1}{b}\cdot 10\;\Rightarrow\;b=\dfrac{5}{6}$
  Die Werte von $𝑎$ und $b$ sind $a=\dfrac{6}{5}$ und $b=\dfrac{5}{6}$ .
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  Teil 1
  Es handelt sich einmal um eine Streckung in y-Richtung und um eine Streckung in x-Richtung.
  Teil 2
  Der Punkt $(12 ∣ 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 ∣ 10)$ des Graphen von $f$ erzeugt. Stelle zwei Gleichungen zur Berechnung von $a$ und $b$ auf.
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer $A$ beschleunigt $10$ Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer $B$ beschleunigt $12$ Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten $15$ Sekunden dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $A$ in den ersten $10$ Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{3}{1000} x^{4}-\frac{8}{100} x^{3}+\frac{6}{10} x^{2}$ beschrieben.
(Die Funktion $f$ ist Teil der Aufgabe 1.)
Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $B$ wird in den ersten $12$ Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit
$\displaystyle h(x)=\frac{1}{576} x^{4}-\frac{1}{18} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}$
beschrieben.
Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f (x)$ bzw. $h (x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.
Abbildung 2
1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ drei Sekunden nach dem Start sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von $8$ Meter pro Sekunde erreicht.
  (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Berechne $f (3)$ :
  $f(3) \approx3{,}483$
  Die Geschwindigkeit beträgt etwa $3{,}48 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .
  $f (x) = 8$ hat im betrachteten Zeitraum die Lösung $x \approx5{,}82$ , d. h. die
  Geschwindigkeit von $8$ Meter pro Sekunde wird etwa $5,82$ Sekunden nach dem Start erreicht.
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  Teil 1
  Berechne $f (3)$ .
  Teil 2
  Bestimme die Lösung von $f (x) = 8$ .
2. Ermitteln Sie die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt. (1 P)
  Zeigen Sie durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt
  Bestimme $h (12)$ :
  $h (12) = 12$
  Die konstante Geschwindigkeit beträgt $12\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .
  Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist
  Bestimme $h^{'} (12)$ :
  $h^{'} (12) = 0$ , d.h. die Tangente hat an der Stelle $x = 0$ die Steigung null (waagrechte Tangente).
  Der Graph von $h$ hat an der untersuchten Stelle keinen Knick.
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  Teil 1
  Bestimme $h (12)$ .
  Teil 2
  Bestimme $h^{'} (12)$ .
3. Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit beider Radfahrer gleich groß ist. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_{S}$ bezeichnet.
  Bestimmen Sie rechnerisch $x_{S}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
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  Suche die Lösung von $f (x) = h (x)$ für $0 < x < 10$ .
4. Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& d(x)=f(x)-h(x) . \\& d^{\prime}(x)=0 \text { hat für } 0<x<x_{S} \text { nur die Lösung } x_{1} \text { mit } x_{1} \approx 3{,}64 . \\& d^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) \approx-0{,}13<0 . \\& d\left(x_{1}\right)=0{,}37 .\end{aligned}$
  Geben Sie die Bedeutung von $d (x)$ für $0<x<x_{S}$ im Sachzusammenhang an und interpretieren Sie das Ergebnis $0,37$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Gib die Bedeutung von $d (x)$ für $0<x<x_{S}$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37$
  $d (x)$ gibt für den Zeitpunkt $x$ Sekunden nach dem Start an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer $A$ schneller ist als Radfahrer $B$ .
  Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten innerhalb der ersten $x_{S}$ Sekunden nach dem Start beträgt etwa $0,37$ Meter pro Sekunde.
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  $d (x)$ ist die Differenz der beiden Geschwindigkeiten der Radfahrer.
  Die weiteren Zeilen der Rechnung beschreiben die Berechnung eines Extremums. Was wird hier maximal?
5. (i) Zeigen Sie, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt. (2 P)
  (ii) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  (i) Zeige, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt
  Gegeben: Radfahrer $A$ legt in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurück.
  Berechne das Integral über $f (x)$ von $0$ bis $8,3$ .
  $\displaystyle\int_{0}^{8{,}3} f(x)\; \mathrm{d} x \approx 43{,}075$ .
  Radfahrer $A$ hat in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurückgelegt.
  (ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist
  Gegeben: Die zurückgelegte Strecke beträgt $43$ Meter.
  Löse die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{t} h(x)\;\mathrm{d} x=43$ .
  Die Gleichung hat für $0 \leq t \leq 12$ die Lösung $t_{1}$ mit $t_{1} \approx 8{,}29$ .
  Der Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist, liegt ungefähr $8,3$ Sekunden nach dem Start vor.
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  (i)
  Berechne das Integral über $f (x)$ von $0$ bis $8,3$ .
  (ii)
  Löse die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{t} h(x)\; \mathrm{d} x=43$ .

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Teil B: Analysis 2

Aufgabe 1

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Ermittle eine Gleichung von ttt

Weise rechnerisch nach, dass ttt die Tangente an den Graphen von fff im Punkt (5∣f(5))(5|f(5))(5∣f(5)) ist

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Skizziere in Abbildung 1 zwei von ttt verschiedene Tangenten an den Graphen von fff, die die yyy-Achse im Punkt PPP schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

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Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von aaa und bbb an

Berechne die Werte von 𝑎𝑎a und 𝑏𝑏b

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Aufgabe 2

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Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer BBB ab dem Zeitpunkt 121212 Sekunden nach dem Start bewegt

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer BBB gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle 121212 keinen Knick aufweist

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Gib die Bedeutung von d(x)d(x)d(x) für 0<x<xS0<x<x_{S}0<x<xS​ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis 0,370{,}370,37

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(i) Zeige, dass Radfahrer AAA in den ersten 8,38{,}38,3 Sekunden ungefähr 434343 Meter zurücklegt

(ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer BBB 434343 Meter vom Start entfernt ist

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Ermittle eine Gleichung von $t$

Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ ist

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an

Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$

Ermittele die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt $12$ Sekunden nach dem Start bewegt

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist

Gib die Bedeutung von $d (x)$ für $0<x<x_{S}$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37$

(i) Zeige, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt

(ii) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist