Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ .

(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an
Es ist $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ .
Berechne $f (0)$ :
$f(0)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 0}=25-20\cdot 1=5$
Zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt die Wassertemperatur $5^{\circ} \mathrm{C}$ .
(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ $\;\Rightarrow\;$ $t_1\approx 30{,}8$ .
Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Temperatur von $12^{\circ} \mathrm{C}$ .
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(i)
Berechne $f (0)$ .
(ii)
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ .
(i) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten. (2 P)
(ii) Geben Sie $f^{'} (30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
(i) Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten
Für die mittlere Änderungsrate gilt:
$\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}=\dfrac{\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 30}\right)-5}{30}\approx0{,}23$
Die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten beträgt rund $0{,}23 \;\frac{{ }^{\circ} \mathrm{C}}{\mathrm{min}}$ .
(ii) Gib $f^{'} (30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Es ist $f^{\prime}(30) \approx 0{,}18$ .
$30$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank nimmt die Wassertemperatur mit einer momentanen Rate von etwa $0{,}18\;\frac{{}^\circ \text{C}}{\text{min}}$ zu.
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Teil (i)
Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$
Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
Teil (ii)
Bestimme $f^{'} (30)$ und interpretiere diesen Wert.
Ausgehend von einem beliebigen Zeitpunkt $t^{*}$ dauert es eine gewisse Zeit, bis die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^{*}$ und der Raumtemperatur angenommen hat.
Zeigen Sie, dass diese Zeitdauer unabhängig von t* ist. (4 P)

Zeige, dass diese Zeitdauer unabhängig von t* ist
Bekannt ist: Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ und $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ .
Der Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^{*}$ und der Raumtemperatur ist gegeben durch $\dfrac{1}{2}(f(t^*)+25)$ .
Dann soll gelten:
$f\left(t^{*}+t\right)=\frac{1}{2}\left(f(t^{*})+25\right)$
$\Rightarrow\;$ $25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014\cdot (t^*+t)}=\frac{1}{2}\left(50-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014\cdot t^*}\right)$
Hinweis: Für die Berechnung mit dem $C A S$ wurde statt $t^{*}$ die Variable $c$ gewählt:
Die Gleichung hat also die Lösung $t=\frac{500 \cdot \ln (2)}{7} \approx 49{,}51$ , die nicht von $t^{*}$ (bzw. von $c$ ) abhängt.
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Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.
Beschreiben Sie, durch welche Transformationen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht
Gegeben sind $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ und $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$
$f\xrightarrow{\text{Spiegelung an t-Achse}}-f(t)=-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ anschließend
$\xrightarrow{\text{Verschiebung um 30 in positive y-Richtung}}-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}+30=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}=g(t)$
Die Transformationen sind also:
Spiegelung an der t-Achse
Verschiebung um $30$ in positive y-Richtung
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Was bewirkt eine Spiegelung an der t-Achse?
Was ändert sich, wenn der Funktionsgraph in positive y-Richtung verschoben wird?
Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:
$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab. (2 P)
$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Beurteile jede der folgenden Aussagen:
$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.
Gegeben ist $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ . Dann ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}$ .
Die Aussage $\mathrm{I}$ ist richtig.
Begründung:
Wegen $g^{\prime}(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}<0$ ist für alle $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $g$ streng monoton fallend, d.h. die Temperatur nimmt stetig ab.
$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein
Die Aussage $\mathrm{II}$ ist richtig.
Begründung:
Es ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}=-f'(t)$
Für jedes $t \in \mathbb{R}$ stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten überein.
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Teil I
Berechne $g^{'} (t)$ . Was bedeutet es, wenn die Ableitung negativ ist?
Teil II
Vergleiche die Beträge der beiden Ableitungen $g^{'} (t)$ und $f^{'} (t)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an

(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12∘C12^{\circ} \mathrm{C}12∘C beträgt

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(i) Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 303030 Minuten

(ii) Gib f′(30)f'(30)f′(30) und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

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Zeige, dass diese Zeitdauer unabhängig von t* ist

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Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von fff hervorgeht

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Beurteile jede der folgenden Aussagen:

I\mathrm{I}I Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

II\mathrm{II}II Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein

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(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt

(i) Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten

(ii) Gib $f^{'} (30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht

$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein