Teil B: Analysis 1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ .
1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
  (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  (i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an
  Es ist $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ .
  Berechne $f (0)$ :
  $f(0)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 0}=25-20\cdot 1=5$
  Zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt die Wassertemperatur $5^{\circ} \mathrm{C}$ .
  (ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt
  Löse die Gleichung $f (t) = 12$ $\;\Rightarrow\;$ $t_1\approx 30{,}8$ .
  Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Temperatur von $12^{\circ} \mathrm{C}$ .
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  (i)
  Berechne $f (0)$ .
  (ii)
  Löse die Gleichung $f (t) = 12$ .
2. (i) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten. (2 P)
  (ii) Geben Sie $f^{'} (30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
  (i) Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten
  Für die mittlere Änderungsrate gilt:
  $\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}=\dfrac{\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 30}\right)-5}{30}\approx0{,}23$
  Die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten beträgt rund $0{,}23 \;\frac{{ }^{\circ} \mathrm{C}}{\mathrm{min}}$ .
  (ii) Gib $f^{'} (30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
  Es ist $f^{\prime}(30) \approx 0{,}18$ .
  $30$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank nimmt die Wassertemperatur mit einer momentanen Rate von etwa $0{,}18\;\frac{{}^\circ \text{C}}{\text{min}}$ zu.
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  Teil (i)
  Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$
  Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
  Teil (ii)
  Bestimme $f^{'} (30)$ und interpretiere diesen Wert.
3. Ausgehend von einem beliebigen Zeitpunkt $t^{*}$ dauert es eine gewisse Zeit, bis die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^{*}$ und der Raumtemperatur angenommen hat.
  Zeigen Sie, dass diese Zeitdauer unabhängig von t* ist. (4 P)
  
  Zeige, dass diese Zeitdauer unabhängig von t* ist
  Bekannt ist: Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ und $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ .
  Der Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^{*}$ und der Raumtemperatur ist gegeben durch $\dfrac{1}{2}(f(t^*)+25)$ .
  Dann soll gelten:
  $f\left(t^{*}+t\right)=\frac{1}{2}\left(f(t^{*})+25\right)$
  $\Rightarrow\;$ $25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014\cdot (t^*+t)}=\frac{1}{2}\left(50-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014\cdot t^*}\right)$
  Hinweis: Für die Berechnung mit dem $C A S$ wurde statt $t^{*}$ die Variable $c$ gewählt:
  Die Gleichung hat also die Lösung $t=\frac{500 \cdot \ln (2)}{7} \approx 49{,}51$ , die nicht von $t^{*}$ (bzw. von $c$ ) abhängt.
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4. Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.
  Beschreiben Sie, durch welche Transformationen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht
  Gegeben sind $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ und $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$
  $f\xrightarrow{\text{Spiegelung an t-Achse}}-f(t)=-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ anschließend
  $\xrightarrow{\text{Verschiebung um 30 in positive y-Richtung}}-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}+30=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}=g(t)$
  Die Transformationen sind also:
  Spiegelung an der t-Achse
  Verschiebung um $30$ in positive y-Richtung
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  Was bewirkt eine Spiegelung an der t-Achse?
  Was ändert sich, wenn der Funktionsgraph in positive y-Richtung verschoben wird?
5. Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:
  $\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab. (2 P)
  $\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
  Beurteile jede der folgenden Aussagen:
  $\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.
  Gegeben ist $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ . Dann ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}$ .
  Die Aussage $\mathrm{I}$ ist richtig.
  Begründung:
  Wegen $g^{\prime}(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}<0$ ist für alle $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $g$ streng monoton fallend, d.h. die Temperatur nimmt stetig ab.
  $\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein
  Die Aussage $\mathrm{II}$ ist richtig.
  Begründung:
  Es ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}=-f'(t)$
  Für jedes $t \in \mathbb{R}$ stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten überein.
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  Teil I
  Berechne $g^{'} (t)$ . Was bedeutet es, wenn die Ableitung negativ ist?
  Teil II
  Vergleiche die Beträge der beiden Ableitungen $g^{'} (t)$ und $f^{'} (t)$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.
1. Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
  Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms
  Gegeben ist $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
  Dann gilt:
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\left(1-x^{2}\right)}_{\rightarrow -\infty}\cdot \underbrace{\mathrm{e}^{x}}_{\rightarrow 0}=0$
  $e^{x}$ geht stärker gegen $0$ als $(1 - x^{2})$ gegen minus unendlich geht.
  Der Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ ist gleich null.
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  Betrachte die einzelnen Faktoren.
2. $G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten eine Fläche $A$ ein.
  Die Gerade $m$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H(-1+\sqrt{2} \mid h(-1+\sqrt{2}))$ von $G_{h}$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
  Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.
  (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
  Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$ oder $x = 1$ .
  Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x)\; \mathrm{d} x=\dfrac{4}{e}$ .
  Berechne $A_1=\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x\approx0{,}95$ . Dann ist $A_2=A-A_1=\dfrac{4}{e}-0{,}95\approx0{,}52$ .
  Die größere Fläche ist also $A_{1}$ :
  Gesucht ist also das Verhältnis $\dfrac{A_1}{A}$ :
  $\dfrac{A_1}{A}=\frac{\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x}{\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x} \approx 0{,}647$
  Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64{,}7\ \%$ .
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  Berechne die Nullstellen von $h$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
  Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h(x)\; \mathrm{d} x$ .
  Welche der beiden Teilflächen hat den größeren Flächeninhalt $\;\Rightarrow\;A_{\text{größer}}$
  Berechne dann das Verhältnis $\dfrac{A_{\text{größer}}}{A}$ .
3. Es gibt eine Zahl $b > 1$ , sodass die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche $A$ .
  Bestimmen Sie $b$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme $b$
  Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
  Zwei gleich große Flächen
  Die orangefarbige Fläche soll den gleichen Flächeninhalt haben wie die grüne Fläche.
  Da die orangefarbige Fläche unterhalb der x-Achse liegt, gilt:
  $A_{\text{grün}}+A_{\text{orange}}=0\;\Rightarrow\; \displaystyle\int_{-1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x=0$
  Diese Gleichung kann mit $\text{nsolve}$ gelöst werden und man erhält für $b > 1$ die Lösung $b \approx 1{,}55692...$ .
  Für $b\approx1{,}56$ hat die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt wie die Fläche $A$ .
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  Die Fläche $A$ liegt oberhalb der x-Achse.
  Die Fläche $\displaystyle\int_{1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x$ liegt unterhalb der x-Achse.
  Beide Flächen sind für $b > 1$ gleich groß, wenn $\displaystyle\int_{-1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x=0$ ist.
4. Gegeben ist die für $x \leq-1$ definierte Funktion $k$ mit $k(x)=\int_{x}^{-1} h(t) \mathrm{d} t$ . Ihr Graph wird mit $G_{k}$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_{h}$ und $G_{k}$ . Für $x \rightarrow-\infty$ kommt $G_{k}$ der Geraden $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.
  (i) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt und dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. (1 P + 2 P)
  (ii) Deuten Sie damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  (i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt
  Es gilt:
  $k(-1)=\displaystyle\int_{-1}^{-1} h(x)\; \mathrm{d} x=0$ wegen der übereinstimmenden Grenzen des Integrals.
  (i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft
  Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . (siehe Abbildung bei d)
  Deshalb ist für $x < - 1$ auch $k (x) < 0$ .
  (ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch
  Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
  Fläche unterhalb der x-Achse
  Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
  Die Annäherung von $G_{k}$ an die Gerade $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ bedeutet daher für $G_{h}$ geometrisch, dass der Inhalt der oben beschriebenen Fläche für kleiner werdende Werte von $c$ dem Wert $\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahekommt.
  In der Zeichnung ist der Wert des Integrals $k(-12)=\displaystyle\int_{-12}^{-1} h(t)\; \mathrm{d} t\approx-1{,}47$ angegeben (grüne Fläche) $\;\Rightarrow\;$ $-\dfrac{4}{e}\approx-1{,}4715...$
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  (i)
  Teil 1
  Wenn die Grenzen des Integrals übereinstimmen, ist der Wert des Integrals gleich null.
  Teil 2
  Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . Welche Folgen hat das für $k (x)$ ?
  (ii)
  Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
  Welchem Wert nähert sich diese Fläche für kleiner werdendes $c$ an?
5. Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ und $a > 0$ . Der Graph von $h_{a}$ wird mit $G_{h_{a}}$ bezeichnet.
  Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind
  Gegeben ist: $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$
  Gefordert wird, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ positiv sein sollen.
  Dann folgt daraus:
  $h_{a}(x)=\underbrace{\frac{1}{a}}_{>0\;\text{weil}\;a>0} \cdot\underbrace{\left(a-x^{2}\right)}_{>0} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{x}}_{>0\;\text{für alle x}\;}$
  Demnach muss $a - x^{2} > 0$ sein $\;\Rightarrow\;a>x^2\;\Rightarrow\;\sqrt{a}>|x|$ .
  Für $x\geq 0$ ist $x<\sqrt{a}$ .
  Für $x < 0$ ist $-x<\sqrt{a}\;\Rightarrow\;x>-\sqrt{a}$
  Zusammengefasst gilt dann: $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ ,
  Für jedes $a > 0$ sind die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv.
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  Betrachte die drei Terme, aus denen sich $h (x)$ zusammensetzt. Alle drei Terme müssen größer null sein, damit $h (x) > 0$ ist.
  Untersuche dann den 2. Term.
6. Es gibt einen Wert von $a$ , sodass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
  Berechnen Sie diesen Wert von $a$ . (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Berechne diesen Wert von $a$
  Für die Extremwerte berechne $h_{a}^{\prime}(x)=0$ .
  Die Gleichung liefert die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1}=-1-\sqrt{a+1}$ und $x_{2}=-1+\sqrt{a+1}$ .
  Gefordert ist, dass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
  Das führt zu der Gleichung $x_{1} \cdot x_{2}=h_{a}\left(x_{1}\right) \cdot h_{a}\left(x_{2}\right)$ .
  Wegen $a > 0$ besitzt die Gleichung $x_{1} \cdot x_{2}=h_{a}\left(x_{1}\right) \cdot h_{a}\left(x_{2}\right)$ nur die Lösung $a=\dfrac{2}{\mathrm{e}} \approx 0{,}74$ als einzige Lösung.
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  Für die Extremwerte berechne $h_{a}^{\prime}(x)=0$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
  Gefordert ist, dass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
  Das führt zu der Gleichung $x_{1} \cdot x_{2}=h_{a}\left(x_{1}\right) \cdot h_{a}\left(x_{2}\right)$ .
  Löse die angegebene Gleichung.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B: Analysis 1

Aufgabe 1

(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an

(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12∘C12^{\circ} \mathrm{C}12∘C beträgt

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(i) Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 303030 Minuten

(ii) Gib f′(30)f'(30)f′(30) und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

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Zeige, dass diese Zeitdauer unabhängig von t* ist

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Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von fff hervorgeht

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Beurteile jede der folgenden Aussagen:

I\mathrm{I}I Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

II\mathrm{II}II Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein

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Aufgabe 2

Gib den Grenzwert von hhh für x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

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Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche AAA hat

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Bestimme bbb

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(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass kkk die Nullstelle −1-1−1 besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass GkG_{k}Gk​ im Bereich x<−1x<-1x<−1 unterhalb der xxx-Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert −4e-\frac{4}{\mathrm{e}}−e4​ in Bezug auf GhG_{h}Gh​ geometrisch

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes a>0a>0a>0 die Funktionswerte von hah_{a}ha​ nur für −a<x<a-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}−a​<x<a​ positiv sind

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Berechne diesen Wert von aaa

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(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt

(i) Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten

(ii) Gib $f^{'} (30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht

$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein

Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat

Bestimme $b$

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind

Berechne diesen Wert von $a$