Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms
Gegeben ist $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Dann gilt:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\left(1-x^{2}\right)}_{\rightarrow -\infty}\cdot \underbrace{\mathrm{e}^{x}}_{\rightarrow 0}=0$
$e^{x}$ geht stärker gegen $0$ als $(1 - x^{2})$ gegen minus unendlich geht.
Der Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ ist gleich null.
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Betrachte die einzelnen Faktoren.
$G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten eine Fläche $A$ ein.
Die Gerade $m$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H(-1+\sqrt{2} \mid h(-1+\sqrt{2}))$ von $G_{h}$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x)\; \mathrm{d} x=\dfrac{4}{e}$ .
Berechne $A_1=\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x\approx0{,}95$ . Dann ist $A_2=A-A_1=\dfrac{4}{e}-0{,}95\approx0{,}52$ .
Die größere Fläche ist also $A_{1}$ :
Gesucht ist also das Verhältnis $\dfrac{A_1}{A}$ :
$\dfrac{A_1}{A}=\frac{\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x}{\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x} \approx 0{,}647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64{,}7\ \%$ .
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Berechne die Nullstellen von $h$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h(x)\; \mathrm{d} x$ .
Welche der beiden Teilflächen hat den größeren Flächeninhalt $\;\Rightarrow\;A_{\text{größer}}$
Berechne dann das Verhältnis $\dfrac{A_{\text{größer}}}{A}$ .
Es gibt eine Zahl $b > 1$ , sodass die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche $A$ .
Bestimmen Sie $b$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme $b$
Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
Zwei gleich große Flächen
Die orangefarbige Fläche soll den gleichen Flächeninhalt haben wie die grüne Fläche.
Da die orangefarbige Fläche unterhalb der x-Achse liegt, gilt:
$A_{\text{grün}}+A_{\text{orange}}=0\;\Rightarrow\; \displaystyle\int_{-1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x=0$
Diese Gleichung kann mit $\text{nsolve}$ gelöst werden und man erhält für $b > 1$ die Lösung $b \approx 1{,}55692...$ .
Für $b\approx1{,}56$ hat die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt wie die Fläche $A$ .
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Die Fläche $A$ liegt oberhalb der x-Achse.
Die Fläche $\displaystyle\int_{1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x$ liegt unterhalb der x-Achse.
Beide Flächen sind für $b > 1$ gleich groß, wenn $\displaystyle\int_{-1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x=0$ ist.
Gegeben ist die für $x \leq-1$ definierte Funktion $k$ mit $k(x)=\int_{x}^{-1} h(t) \mathrm{d} t$ . Ihr Graph wird mit $G_{k}$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_{h}$ und $G_{k}$ . Für $x \rightarrow-\infty$ kommt $G_{k}$ der Geraden $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.
(i) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt und dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. (1 P + 2 P)
(ii) Deuten Sie damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt
Es gilt:
$k(-1)=\displaystyle\int_{-1}^{-1} h(x)\; \mathrm{d} x=0$ wegen der übereinstimmenden Grenzen des Integrals.
(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft
Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . (siehe Abbildung bei d)
Deshalb ist für $x < - 1$ auch $k (x) < 0$ .
(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch
Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
Fläche unterhalb der x-Achse
Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
Die Annäherung von $G_{k}$ an die Gerade $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ bedeutet daher für $G_{h}$ geometrisch, dass der Inhalt der oben beschriebenen Fläche für kleiner werdende Werte von $c$ dem Wert $\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahekommt.
In der Zeichnung ist der Wert des Integrals $k(-12)=\displaystyle\int_{-12}^{-1} h(t)\; \mathrm{d} t\approx-1{,}47$ angegeben (grüne Fläche) $\;\Rightarrow\;$ $-\dfrac{4}{e}\approx-1{,}4715...$
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(i)
Teil 1
Wenn die Grenzen des Integrals übereinstimmen, ist der Wert des Integrals gleich null.
Teil 2
Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . Welche Folgen hat das für $k (x)$ ?
(ii)
Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
Welchem Wert nähert sich diese Fläche für kleiner werdendes $c$ an?
Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ und $a > 0$ . Der Graph von $h_{a}$ wird mit $G_{h_{a}}$ bezeichnet.
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind
Gegeben ist: $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$
Gefordert wird, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ positiv sein sollen.
Dann folgt daraus:
$h_{a}(x)=\underbrace{\frac{1}{a}}_{>0\;\text{weil}\;a>0} \cdot\underbrace{\left(a-x^{2}\right)}_{>0} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{x}}_{>0\;\text{für alle x}\;}$
Demnach muss $a - x^{2} > 0$ sein $\;\Rightarrow\;a>x^2\;\Rightarrow\;\sqrt{a}>|x|$ .
Für $x\geq 0$ ist $x<\sqrt{a}$ .
Für $x < 0$ ist $-x<\sqrt{a}\;\Rightarrow\;x>-\sqrt{a}$
Zusammengefasst gilt dann: $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ ,
Für jedes $a > 0$ sind die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv.
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Betrachte die drei Terme, aus denen sich $h (x)$ zusammensetzt. Alle drei Terme müssen größer null sein, damit $h (x) > 0$ ist.
Untersuche dann den 2. Term.
Es gibt einen Wert von $a$ , sodass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Berechnen Sie diesen Wert von $a$ . (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Berechne diesen Wert von $a$
Für die Extremwerte berechne $h_{a}^{\prime}(x)=0$ .
Die Gleichung liefert die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1}=-1-\sqrt{a+1}$ und $x_{2}=-1+\sqrt{a+1}$ .
Gefordert ist, dass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Das führt zu der Gleichung $x_{1} \cdot x_{2}=h_{a}\left(x_{1}\right) \cdot h_{a}\left(x_{2}\right)$ .
Wegen $a > 0$ besitzt die Gleichung $x_{1} \cdot x_{2}=h_{a}\left(x_{1}\right) \cdot h_{a}\left(x_{2}\right)$ nur die Lösung $a=\dfrac{2}{\mathrm{e}} \approx 0{,}74$ als einzige Lösung.
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Für die Extremwerte berechne $h_{a}^{\prime}(x)=0$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Gefordert ist, dass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Das führt zu der Gleichung $x_{1} \cdot x_{2}=h_{a}\left(x_{1}\right) \cdot h_{a}\left(x_{2}\right)$ .
Löse die angegebene Gleichung.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Gib den Grenzwert von hhh für x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

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Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche AAA hat

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Bestimme bbb

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(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass kkk die Nullstelle −1-1−1 besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass GkG_{k}Gk​ im Bereich x<−1x<-1x<−1 unterhalb der xxx-Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert −4e-\frac{4}{\mathrm{e}}−e4​ in Bezug auf GhG_{h}Gh​ geometrisch

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes a>0a>0a>0 die Funktionswerte von hah_{a}ha​ nur für −a<x<a-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}−a​<x<a​ positiv sind

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Berechne diesen Wert von aaa

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Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat

Bestimme $b$

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind

Berechne diesen Wert von $a$