Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $hh$ und die $xx$-Achse einschließen

Gegeben: $h(x)=(x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}h(x)=\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$

Berechne die Nullstellen $h(x)=0h(x)=0$:

$0=(x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}0=\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$

Verwende Satz vom Nullprodukt:

$e^{-x}\mathrm{\ne }0e^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\Rightarrow x^2-x-1=0x\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-x-1=0$

Der TR liefert $x={\displaystyle \frac{-\sqrt{5}+1}{2}}\vee x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}x=\backslash dfrac\{-\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}\; \backslash vee\; x=\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}$.

Berechne nun das Integral $A=\mid {\displaystyle {\int }_{\frac{-\sqrt{5}+1}{2}}^{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}h(x)\mathrm{d}x}\mid \approx \mathrm{1,28}A=\backslash left|\backslash displaystyle\backslash int\_\{\backslash frac\{-\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}\}^\{\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}\}\; h(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}\; x\backslash right|\; \backslash approx\; 1\{,\}28$

Die Größe der Fläche, die der Graph von $hh$ und die $xx$-Achse einschließen, beträgt rund $\mathrm{1,28}\mathrm{F}\mathrm{E}1\{,\}28\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $h^{\mathrm{\prime }}(x)=0h^\{\backslash prime\}(x)=0$.

Die Nullstellen sind also $x=0\vee x=3x=0\; \backslash vee\; x=3$.

Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $hh$ nur zwei Extrempunkte.

Da $h^{\mathrm{\prime }}h^\{\backslash prime\}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln.

Gesucht ist also der Abstand $dd$ der Punkte $T(0\mid h(0))=T(0\mid -1)T(0\; \backslash mid\; h(0))=T(0\; \backslash mid-1)$ und $H(3\mid h(3))=H(3\mid 5{\mathrm{e}}^{-3})H(3\; \backslash mid\; h(3))=H\backslash left(3\; \backslash mid\; 5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\backslash right)$.

Es gilt: $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}d=\backslash sqrt\{(x\_2-x\_1)^2+(y\_2-y\_1)^2\}$

$\Rightarrow d=\sqrt{(3-0{)}^2+(5{\mathrm{e}}^{-3}-(-1){)}^2}\approx \mathrm{3,25}\backslash Rightarrow\backslash ;d=\backslash sqrt\{(3-0)^2+(5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}-(-1))^2\}\backslash approx3\{,\}25$

Der Abstand der Extrempunkte beträgt rund $\mathrm{3,25}\mathrm{L}\mathrm{E}3\{,\}25\backslash ;\backslash mathrm\{LE\}$.

Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt

Gegeben: $T(0\mid -1)T(0\; \backslash mid-1)$ und $H(3\mid 5{\mathrm{e}}^{-3})H\backslash left(3\; \backslash mid\; 5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\backslash right)$.

Der Flächeninhalt des Rechtecks $TPHQTPHQ$ berechnet sich durch:

$A_{\mathrm{\square }}=\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }y=3\cdot (5{\mathrm{e}}^{-3}+1)\approx \mathrm{3,75}A\_\{\backslash square\}=\backslash Delta\; x\backslash cdot\; \backslash Delta\; y=3\; \backslash cdot\backslash left(5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}+1\backslash right)\; \backslash approx\; 3\{,\}75$.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt rund $\mathrm{3,75}\mathrm{F}\mathrm{E}3\{,\}75\; \backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Schraffiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $hh$ und der Geraden mit der Gleichung $y=-1y=-1$ über dem Intervall $[0;3][0;3]$.

Ihr Inhalt beträgt $A_{\text{schraffiert}}={\displaystyle {\int }_0^3(h(x)-(-1))\mathrm{d}x}A\_\{\backslash text\{schraffiert\}\}=\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}(h(x)-(-1))\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x$.

Der berechnete Term lässt sich noch vereinfachen:

${\displaystyle {\int }_0^3(h(x)-(-1))\mathrm{d}x=3-12{\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{2,40}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}(h(x)-(-1))\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=3-12\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\; \backslash approx\; 2\{,\}40$

Der Inhalt der schraffierten Fläche $A_{\text{schraffiert}}A\_\{\backslash text\{schraffiert\}\}$ beträgt rund $\mathrm{2,40}\mathrm{F}\mathrm{E}2\{,\}40\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Damit ergibt sich ein Anteil von ${\displaystyle \frac{A_{\text{schraffiert}}}{A_{\mathrm{\square }}}}={\displaystyle \frac{3-12{\mathrm{e}}^{-3}}{3\cdot (5{\mathrm{e}}^{-3}+1)}}\approx \mathrm{0,641}\backslash dfrac\{A\_\{\backslash text\{schraffiert\}\}\}\{A\_\{\backslash square\}\}=\backslash dfrac\{3-12\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\}\{3\; \backslash cdot\backslash left(5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}+1\backslash right)\}\; \backslash approx\; 0\{,\}641$, also von ca. $\mathrm{64,1}\mathrm{\%}64\{,\}1\; \backslash \%$.