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B1 Aufgabe 2

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion h:x↩(x2−x−1)⋅e−xh: x \mapsto\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}.

  1. Bestimmen Sie die GrĂ¶ĂŸe der FlĂ€che, die der Graph von hh und die xx-Achse einschließen. (3 P)

  2. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von hh sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)

  3. Die beiden Extrempunkte TT und HH des Graphen von hh bilden zusammen mit den Punkten PP und QQ ein Rechteck TPHQT P H Q, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion hh in zwei TeilstĂŒcke zerlegt

    (siehe Abbildung 1).

    Ermitteln Sie, welchen Anteil an der FlĂ€che des Rechtecks die FlĂ€che des schraffierten TeilstĂŒcks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)

    Abbildung 1

    Abbildung 1