B1

Beschreibe, wie der Graph von $q^{\mathrm{\prime }}q\text{'}$ aus dem Graphen von $qq$ erzeugt werden kann

Gegeben: $q(x)=e^{-x}q(x)=e^\{-x\}$

Weiterhin: Für die erste Ableitungsfunktion von $qq$ gilt $q^{\mathrm{\prime }}(x)=-q(x)q^\{\backslash prime\}(x)=-q(x)$.

Der Graph von $q^{\mathrm{\prime }}q^\{\backslash prime\}$ kann aus dem Graphen von $qq$ durch eine Spiegelung an der $xx$-Achse erzeugt werden.

Zeige, dass die Graphen von $pp$ und $qq$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben

Gegeben: $p(x)=-x^2-x+1p(x)=-x^\{2\}-x+1$ und $q(x)=e^{-x}q(x)=e^\{-x\}$

Die Graphen von $pp$ und $qq$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $yy$-Achse.

Für $x=0x=0$ ist $p(0)=1p(0)=1$ und $q(0)=e^0=1q(0)=e^0=1$.

Der gemeinsame Punkt liegt auf der $yy$-Achse und ist der Punkt $P(0\mid 1)P(0\; \backslash mid\; 1)$.

Weiterhin gilt: $p^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x-1p\text{'}(x)=-2x-1$ und $q^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}q\text{'}(x)=-e^\{-x\}$:

Dann ist $p^{\mathrm{\prime }}(0)=-1p\text{'}(0)=-1$ und $q^{\mathrm{\prime }}(0)=-1q\text{'}(0)=-1$.

Die Graphen von $pp$ und $qq$ haben einen gemeinsamen Punkt $P(0\mid 1)P(0\; \backslash mid\; 1)$ und sie haben in diesem Punkt die gleiche Steigung $-1-1$. Deshalb haben sie auch im Punkt $PP$ eine gemeinsame Tangente.

Gib eine Gleichung dieser Tangente an

$t(x)=m\cdot x+bt(x)=m\backslash cdot\; x+b$ mit $m=-1m=-1$ und $b=1b=1$ folgt dann:

$t(x)=-x+1t(x)=-x+1$

Die Gleichung dieser Tangente lautet $t(x)=-x+1t(x)=-x+1$.

Gib den Wert des Integrals ${\displaystyle {\int }_0^2(q(x)-p(x))\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(q(x)-p(x))\; \backslash mathrm\{d\}\; x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch

${\displaystyle {\int }_0^2(q(x)-p(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^2(e^{-x}-(-x^2-x+1))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^2(e^{-x}+x^2+x-1))\mathrm{d}x}}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(q(x)-p(x))\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(e^\{-x\}-(-x^\{2\}-x+1))\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(e^\{-x\}+x^\{2\}+x-1))\; \backslash mathrm\{d\}\; x$

Der Term ${\displaystyle \frac{11\cdot e^2-3}{3\cdot e^2}}\backslash dfrac\{11\backslash cdot\; e^2-3\}\{3\backslash cdot\; e^2\}$ kann noch vereinfacht werden.

$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^2(q(x)-p(x))\mathrm{d}x=\frac{11}{3}-e^{-2}\approx \mathrm{3,53}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(q(x)-p(x))\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash dfrac\{11\}\{3\}-e^\{-2\}\backslash approx3\{,\}53$

Die Fläche, die die Graphen von $pp$ und $qq$ sowie die Gerade mit der Gleichung $x=2x=2$ einschließen, hat einen Inhalt von ca. $\mathrm{3,53}3\{,\}53$ Flächeneinheiten.

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $hh$ und die $xx$-Achse einschließen

Gegeben: $h(x)=(x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}h(x)=\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$

Berechne die Nullstellen $h(x)=0h(x)=0$:

$0=(x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}0=\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$

Verwende Satz vom Nullprodukt:

$e^{-x}\mathrm{\ne }0e^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\Rightarrow x^2-x-1=0x\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-x-1=0$

Der TR liefert $x={\displaystyle \frac{-\sqrt{5}+1}{2}}\vee x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}x=\backslash dfrac\{-\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}\; \backslash vee\; x=\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}$.

Berechne nun das Integral $A=\mid {\displaystyle {\int }_{\frac{-\sqrt{5}+1}{2}}^{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}h(x)\mathrm{d}x}\mid \approx \mathrm{1,28}A=\backslash left|\backslash displaystyle\backslash int\_\{\backslash frac\{-\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}\}^\{\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}\}\; h(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}\; x\backslash right|\; \backslash approx\; 1\{,\}28$

Die Größe der Fläche, die der Graph von $hh$ und die $xx$-Achse einschließen, beträgt rund $\mathrm{1,28}\mathrm{F}\mathrm{E}1\{,\}28\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $h^{\mathrm{\prime }}(x)=0h^\{\backslash prime\}(x)=0$.

Die Nullstellen sind also $x=0\vee x=3x=0\; \backslash vee\; x=3$.

Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $hh$ nur zwei Extrempunkte.

Da $h^{\mathrm{\prime }}h^\{\backslash prime\}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln.

Gesucht ist also der Abstand $dd$ der Punkte $T(0\mid h(0))=T(0\mid -1)T(0\; \backslash mid\; h(0))=T(0\; \backslash mid-1)$ und $H(3\mid h(3))=H(3\mid 5{\mathrm{e}}^{-3})H(3\; \backslash mid\; h(3))=H\backslash left(3\; \backslash mid\; 5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\backslash right)$.

Es gilt: $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}d=\backslash sqrt\{(x\_2-x\_1)^2+(y\_2-y\_1)^2\}$

$\Rightarrow d=\sqrt{(3-0{)}^2+(5{\mathrm{e}}^{-3}-(-1){)}^2}\approx \mathrm{3,25}\backslash Rightarrow\backslash ;d=\backslash sqrt\{(3-0)^2+(5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}-(-1))^2\}\backslash approx3\{,\}25$

Der Abstand der Extrempunkte beträgt rund $\mathrm{3,25}\mathrm{L}\mathrm{E}3\{,\}25\backslash ;\backslash mathrm\{LE\}$.

Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt

Gegeben: $T(0\mid -1)T(0\; \backslash mid-1)$ und $H(3\mid 5{\mathrm{e}}^{-3})H\backslash left(3\; \backslash mid\; 5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\backslash right)$.

Der Flächeninhalt des Rechtecks $TPHQTPHQ$ berechnet sich durch:

$A_{\mathrm{\square }}=\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }y=3\cdot (5{\mathrm{e}}^{-3}+1)\approx \mathrm{3,75}A\_\{\backslash square\}=\backslash Delta\; x\backslash cdot\; \backslash Delta\; y=3\; \backslash cdot\backslash left(5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}+1\backslash right)\; \backslash approx\; 3\{,\}75$.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt rund $\mathrm{3,75}\mathrm{F}\mathrm{E}3\{,\}75\; \backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Schraffiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $hh$ und der Geraden mit der Gleichung $y=-1y=-1$ über dem Intervall $[0;3][0;3]$.

Ihr Inhalt beträgt $A_{\text{schraffiert}}={\displaystyle {\int }_0^3(h(x)-(-1))\mathrm{d}x}A\_\{\backslash text\{schraffiert\}\}=\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}(h(x)-(-1))\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x$.

Der berechnete Term lässt sich noch vereinfachen:

${\displaystyle {\int }_0^3(h(x)-(-1))\mathrm{d}x=3-12{\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{2,40}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}(h(x)-(-1))\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=3-12\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\; \backslash approx\; 2\{,\}40$

Der Inhalt der schraffierten Fläche $A_{\text{schraffiert}}A\_\{\backslash text\{schraffiert\}\}$ beträgt rund $\mathrm{2,40}\mathrm{F}\mathrm{E}2\{,\}40\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Damit ergibt sich ein Anteil von ${\displaystyle \frac{A_{\text{schraffiert}}}{A_{\mathrm{\square }}}}={\displaystyle \frac{3-12{\mathrm{e}}^{-3}}{3\cdot (5{\mathrm{e}}^{-3}+1)}}\approx \mathrm{0,641}\backslash dfrac\{A\_\{\backslash text\{schraffiert\}\}\}\{A\_\{\backslash square\}\}=\backslash dfrac\{3-12\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\}\{3\; \backslash cdot\backslash left(5\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}+1\backslash right)\}\; \backslash approx\; 0\{,\}641$, also von ca. $\mathrm{64,1}\mathrm{\%}64\{,\}1\; \backslash \%$.

Gib den Wert $cc$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an

Gegeben ist $w(x)=4\cdot (x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}+4w(x)=4\; \backslash cdot\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}+4$

Es gilt: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n\cdot e^{-x}=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; x^n\backslash cdot\; e^\{-x\}=0$. Daher ist $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }w(x)=4\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; w(x)=4$.

Demnach ist $c=4c=4$, d. h., die momentane Durchflussrate nähert sich langfristig einem Wert von $4\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}4\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{~s\}\}$.

Bestimme diejenigen Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ übereinstimmt

Die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ ist $w^{\mathrm{\prime }}(x)w\text{'}(x)$.

Die mittlere Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ wird berechnet mit ${\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10-0}}\backslash dfrac\{w(10)-w(0)\}\{10-0\}$.

Damit erhält man folgende Gleichung:

$w^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10}}w^\{\backslash prime\}(x)=\backslash dfrac\{w(10)-w(0)\}\{10\}$

Die Gleichung hat die Lösungen $x_{1}x\_\{1\}$ und $x_{2}x\_\{2\}$ mit $x_1\approx \mathrm{0,04}x\_\{1\}\; \backslash approx\; 0\{,\}04$ und $x_2\approx \mathrm{2,51}x\_\{2\}\; \backslash approx\; 2\{,\}51$.

An den Stellen $x_1\approx \mathrm{0,04}x\_\{1\}\; \backslash approx\; 0\{,\}04$ und $x_2\approx \mathrm{2,51}x\_\{2\}\; \backslash approx\; 2\{,\}51$ stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ überein.

Bestimme die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem sie am stärksten abnimmt

Betrachte den Graphen der Funktion $ww$. Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}x\_\{w\}$ vor, für die $x_w>3x\_\{w\}>3$ gilt. Die Analyse des Graphen ergibt als zugehörigen Wendepunkt $WP(\mathrm{4,3}\mid \mathrm{4,72})WP(4\{,\}3\; \backslash mid\; 4\{,\}72)$.

Mit CAS kann die Wendestelle durch $w^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0w\text{'}\text{'}(x)=0$ bestimmt werden.

Für $x>3x>3$ erhält man $x_w=\mathrm{0,5}\cdot (\sqrt{13}+5)\approx \mathrm{4,3}x\_w=0\{,\}5\backslash cdot(\backslash sqrt\{13\}+5)\backslash approx4\{,\}3$

Berechne: $w(\mathrm{4,3})\approx \mathrm{4,72}\Rightarrow WP(\mathrm{4,3}\mid \mathrm{4,72})w(4\{,\}3)\backslash approx4\{,\}72\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;WP(4\{,\}3\; \backslash mid\; 4\{,\}72)$.

Damit beträgt die momentane Durchflussrate zum gesuchten Zeitpunkt ca. $\mathrm{4,72}\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}4\{,\}72\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{~s\}\}$.

(i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt

Berechne:

${\displaystyle {\int }_0^{2}w(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{4,75}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}\; w(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x\; \backslash approx\; 4\{,\}75$

In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $\mathrm{4,75}{\mathrm{m}}^{3}4\{,\}75\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$ Wasser an der Messstelle vorbei.

(ii) Berechne die dafür infrage kommenden Zeiträume

Gegeben: An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei.

Das Integral über $w(x)w(x)$ gibt die seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließende Wassermenge an. Sie soll $13{\mathrm{m}}^{3}13\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$ betragen.

Dies führt zu der Gleichung ${\displaystyle {\int }_t^{t+3}w(x)\mathrm{d}x=13}\backslash displaystyle\backslash int\_\{t\}^\{t+3\}\; w(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=13$.

Die Gleichung hat für $t\ge 0t\; \backslash geq\; 0$ die Lösungen $t_{1}t\_\{1\}$ und $t_{2}t\_\{2\}$ mit $t_1\approx \mathrm{0,8}t\_\{1\}\; \backslash approx\; 0\{,\}8$ und $t_2\approx \mathrm{4,4}t\_\{2\}\; \backslash approx\; 4\{,\}4$.

Wegen $[t_1;t_1+3][t\_1;t\_1+3]$ und $[t_2;t_2+3][t\_2;t\_2+3]$ kommen die Zeiträume von etwa $\mathrm{0,8}\mathrm{s}0\{,\}8\; \backslash mathrm\{~s\}$ bis $\mathrm{3,8}\mathrm{s}3\{,\}8\; \backslash mathrm\{~s\}$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $\mathrm{4,4}\mathrm{s}4\{,\}4\; \backslash mathrm\{~s\}$ bis $\mathrm{7,4}\mathrm{s}7\{,\}4\; \backslash mathrm\{~s\}$ nach Beobachtungsbeginn infrage.