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B1

  1. 1

    B1 Aufgabe 1

    Gegeben sind die in R\mathbb{R} definierten Funktionen p:xx2x+1p: x \mapsto-x^{2}-x+1 und q:xexq: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}.

    Die Graphen von pp und qq haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der yy-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von qq gilt q(x)=q(x)q^{\prime}(x)=-q(x).

    1. Beschreiben Sie, wie der Graph von qq' aus dem Graphen von qq erzeugt werden kann. (2 P)

    2. Zeigen Sie, dass die Graphen von pp und qq in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

      (2 P + 1 P)

    3. Geben Sie den Wert des Integrals 02(q(x)p(x))dx\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x)) \mathrm{d} x an und interpretieren Sie diesen Wert geometrisch. (1 P + 2 P)

  2. 2

    B1 Aufgabe 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion h:x(x2x1)exh: x \mapsto\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}.

    1. Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von hh und die xx-Achse einschließen. (3 P)

    2. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von hh sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)

    3. Die beiden Extrempunkte TT und HH des Graphen von hh bilden zusammen mit den Punkten PP und QQ ein Rechteck TPHQT P H Q, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion hh in zwei Teilstücke zerlegt

      (siehe Abbildung 1).

      Ermitteln Sie, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)

      Abbildung 1

      Abbildung 1

  3. 3

    B1 Aufgabe 3

    Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

    Die in R\mathbb{R} definierte Funktion w:x4(x2x1)ex+4w: x \mapsto 4 \cdot\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}+4 beschreibt für x0x \geq 0 die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist xx die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und w(x)w(x) die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

    Abbildung 2 zeigt den Graphen von ww.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Für xx \rightarrow \infty gilt w(x)cw(x) \rightarrow c.

      Geben Sie den Wert cc sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

      (2 P)

    2. Bestimmen Sie diejenigen Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion ww mit der mittleren Änderungsrate der Funktion ww über dem Intervall [0;10][0;10] übereinstimmt. (3 P)

    3. Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem sie am stärksten abnimmt. (3 P)

    4. (i) Bestimmen Sie die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt. (2 P)

      (ii) An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei.

      Berechnen Sie die dafür infrage kommenden Zeiträume. (4 P)


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