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B1 Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in R\mathbb{R} definierte Funktion w:x4(x2x1)ex+4w: x \mapsto 4 \cdot\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}+4 beschreibt für x0x \geq 0 die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist xx die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und w(x)w(x) die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von ww.

Abbildung 2

Abbildung 2

  1. Für xx \rightarrow \infty gilt w(x)cw(x) \rightarrow c.

    Geben Sie den Wert cc sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

    (2 P)

  2. Bestimmen Sie diejenigen Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion ww mit der mittleren Änderungsrate der Funktion ww über dem Intervall [0;10][0;10] übereinstimmt. (3 P)

  3. Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem sie am stärksten abnimmt. (3 P)

  4. (i) Bestimmen Sie die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt. (2 P)

    (ii) An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei.

    Berechnen Sie die dafür infrage kommenden Zeiträume. (4 P)