Gib den Wert $cc$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an

Gegeben ist $w(x)=4\cdot (x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}+4w(x)=4\; \backslash cdot\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}+4$

Es gilt: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n\cdot e^{-x}=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; x^n\backslash cdot\; e^\{-x\}=0$. Daher ist $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }w(x)=4\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; w(x)=4$.

Demnach ist $c=4c=4$, d. h., die momentane Durchflussrate nähert sich langfristig einem Wert von $4\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}4\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{~s\}\}$.

Bestimme diejenigen Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ übereinstimmt

Die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ ist $w^{\mathrm{\prime }}(x)w\text{'}(x)$.

Die mittlere Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ wird berechnet mit ${\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10-0}}\backslash dfrac\{w(10)-w(0)\}\{10-0\}$.

Damit erhält man folgende Gleichung:

$w^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10}}w^\{\backslash prime\}(x)=\backslash dfrac\{w(10)-w(0)\}\{10\}$

Die Gleichung hat die Lösungen $x_{1}x\_\{1\}$ und $x_{2}x\_\{2\}$ mit $x_1\approx \mathrm{0,04}x\_\{1\}\; \backslash approx\; 0\{,\}04$ und $x_2\approx \mathrm{2,51}x\_\{2\}\; \backslash approx\; 2\{,\}51$.

An den Stellen $x_1\approx \mathrm{0,04}x\_\{1\}\; \backslash approx\; 0\{,\}04$ und $x_2\approx \mathrm{2,51}x\_\{2\}\; \backslash approx\; 2\{,\}51$ stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ überein.

Bestimme die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem sie am stärksten abnimmt

Betrachte den Graphen der Funktion $ww$. Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}x\_\{w\}$ vor, für die $x_w>3x\_\{w\}>3$ gilt. Die Analyse des Graphen ergibt als zugehörigen Wendepunkt $WP(\mathrm{4,3}\mid \mathrm{4,72})WP(4\{,\}3\; \backslash mid\; 4\{,\}72)$.

Mit CAS kann die Wendestelle durch $w^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0w\text{'}\text{'}(x)=0$ bestimmt werden.

Für $x>3x>3$ erhält man $x_w=\mathrm{0,5}\cdot (\sqrt{13}+5)\approx \mathrm{4,3}x\_w=0\{,\}5\backslash cdot(\backslash sqrt\{13\}+5)\backslash approx4\{,\}3$

Berechne: $w(\mathrm{4,3})\approx \mathrm{4,72}\Rightarrow WP(\mathrm{4,3}\mid \mathrm{4,72})w(4\{,\}3)\backslash approx4\{,\}72\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;WP(4\{,\}3\; \backslash mid\; 4\{,\}72)$.

Damit beträgt die momentane Durchflussrate zum gesuchten Zeitpunkt ca. $\mathrm{4,72}\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}4\{,\}72\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{~s\}\}$.

(i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt

Berechne:

${\displaystyle {\int }_0^{2}w(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{4,75}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}\; w(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x\; \backslash approx\; 4\{,\}75$

In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $\mathrm{4,75}{\mathrm{m}}^{3}4\{,\}75\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$ Wasser an der Messstelle vorbei.

(ii) Berechne die dafür infrage kommenden Zeiträume

Gegeben: An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei.

Das Integral über $w(x)w(x)$ gibt die seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließende Wassermenge an. Sie soll $13{\mathrm{m}}^{3}13\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$ betragen.

Dies führt zu der Gleichung ${\displaystyle {\int }_t^{t+3}w(x)\mathrm{d}x=13}\backslash displaystyle\backslash int\_\{t\}^\{t+3\}\; w(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=13$.

Die Gleichung hat für $t\ge 0t\; \backslash geq\; 0$ die Lösungen $t_{1}t\_\{1\}$ und $t_{2}t\_\{2\}$ mit $t_1\approx \mathrm{0,8}t\_\{1\}\; \backslash approx\; 0\{,\}8$ und $t_2\approx \mathrm{4,4}t\_\{2\}\; \backslash approx\; 4\{,\}4$.

Wegen $[t_1;t_1+3][t\_1;t\_1+3]$ und $[t_2;t_2+3][t\_2;t\_2+3]$ kommen die Zeiträume von etwa $\mathrm{0,8}\mathrm{s}0\{,\}8\; \backslash mathrm\{~s\}$ bis $\mathrm{3,8}\mathrm{s}3\{,\}8\; \backslash mathrm\{~s\}$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $\mathrm{4,4}\mathrm{s}4\{,\}4\; \backslash mathrm\{~s\}$ bis $\mathrm{7,4}\mathrm{s}7\{,\}4\; \backslash mathrm\{~s\}$ nach Beobachtungsbeginn infrage.