Beschreibe, wie der Graph von $q^{\mathrm{\prime }}q\text{'}$ aus dem Graphen von $qq$ erzeugt werden kann

Gegeben: $q(x)=e^{-x}q(x)=e^\{-x\}$

Weiterhin: Für die erste Ableitungsfunktion von $qq$ gilt $q^{\mathrm{\prime }}(x)=-q(x)q^\{\backslash prime\}(x)=-q(x)$.

Der Graph von $q^{\mathrm{\prime }}q^\{\backslash prime\}$ kann aus dem Graphen von $qq$ durch eine Spiegelung an der $xx$-Achse erzeugt werden.

Zeige, dass die Graphen von $pp$ und $qq$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben

Gegeben: $p(x)=-x^2-x+1p(x)=-x^\{2\}-x+1$ und $q(x)=e^{-x}q(x)=e^\{-x\}$

Die Graphen von $pp$ und $qq$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $yy$-Achse.

Für $x=0x=0$ ist $p(0)=1p(0)=1$ und $q(0)=e^0=1q(0)=e^0=1$.

Der gemeinsame Punkt liegt auf der $yy$-Achse und ist der Punkt $P(0\mid 1)P(0\; \backslash mid\; 1)$.

Weiterhin gilt: $p^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x-1p\text{'}(x)=-2x-1$ und $q^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}q\text{'}(x)=-e^\{-x\}$:

Dann ist $p^{\mathrm{\prime }}(0)=-1p\text{'}(0)=-1$ und $q^{\mathrm{\prime }}(0)=-1q\text{'}(0)=-1$.

Die Graphen von $pp$ und $qq$ haben einen gemeinsamen Punkt $P(0\mid 1)P(0\; \backslash mid\; 1)$ und sie haben in diesem Punkt die gleiche Steigung $-1-1$. Deshalb haben sie auch im Punkt $PP$ eine gemeinsame Tangente.

Gib eine Gleichung dieser Tangente an

$t(x)=m\cdot x+bt(x)=m\backslash cdot\; x+b$ mit $m=-1m=-1$ und $b=1b=1$ folgt dann:

$t(x)=-x+1t(x)=-x+1$

Die Gleichung dieser Tangente lautet $t(x)=-x+1t(x)=-x+1$.

Gib den Wert des Integrals ${\displaystyle {\int }_0^2(q(x)-p(x))\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(q(x)-p(x))\; \backslash mathrm\{d\}\; x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch

${\displaystyle {\int }_0^2(q(x)-p(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^2(e^{-x}-(-x^2-x+1))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^2(e^{-x}+x^2+x-1))\mathrm{d}x}}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(q(x)-p(x))\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(e^\{-x\}-(-x^\{2\}-x+1))\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(e^\{-x\}+x^\{2\}+x-1))\; \backslash mathrm\{d\}\; x$

Der Term ${\displaystyle \frac{11\cdot e^2-3}{3\cdot e^2}}\backslash dfrac\{11\backslash cdot\; e^2-3\}\{3\backslash cdot\; e^2\}$ kann noch vereinfacht werden.

$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^2(q(x)-p(x))\mathrm{d}x=\frac{11}{3}-e^{-2}\approx \mathrm{3,53}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}(q(x)-p(x))\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash dfrac\{11\}\{3\}-e^\{-2\}\backslash approx3\{,\}53$

Die Fläche, die die Graphen von $pp$ und $qq$ sowie die Gerade mit der Gleichung $x=2x=2$ einschließen, hat einen Inhalt von ca. $\mathrm{3,53}3\{,\}53$ Flächeneinheiten.