B4 - lernen mit Serlo!

B4 Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei $10000$ Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 %$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 %$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 %$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden $20$ der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den $20$ Urlaubsreisen an.

Erläutern Sie, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Erläutere, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den $20$ Urlaubsreisen an.
Da es nur die Unterscheidung „Inlandsreise“ und „Auslandsreise“ gibt und aufgrund des im Vergleich zur Grundgesamtheit kleinen Stichprobenumfangs die Wahrscheinlichkeit für eine Inlandsreise nahezu konstant ist, kann für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden.
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Es gibt nur die Unterscheidung „Inlandsreise“ und „Auslandsreise“.
Der Stichprobenumfang ist klein im Vergleich zur Grundgesamtheit.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind
Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,26$ .
Berechne $P_{20 ;\; 0{,}26}(X \geq 6)$ :
$P_{20 ;\; 0{,}26}(X \geq 6)=\text{binomCdf(20{,}0.26{,}6,20)} \approx 0{,}4235$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind, beträgt rund $0,4335$ .
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Berechne $P_{20 ;\; 0{,}26}(X \geq 6)$ .
Bestimmen Sie für die $20$ Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Bestimme für die $20$ Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt
Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,26$ .
Berechne $μ \mu$ und $\sigma$ .
$\mu=n\cdot p= 20\cdot 0{,}26=5{,}2$
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{ 20\cdot 0{,}26\cdot 0{,}74}\approx1{,}9616$
Dann gilt: $P_{20; \; 0{,}26}(5{,}2-2 \cdot \sigma \leq X \leq 5{,}2+2 \cdot \sigma)$
$5{,}2-2\cdot 1{,}9616=1{,}2768$ und $5{,}2+2\cdot 1{,}9616=9{,}1232$
Damit erhält man mit den entsprechenden Rundungen das Intervall $[2; 9]$ .
$\Rightarrow\;$ $P_{20 ;\; 0{,}26}(2 \leq X \leq 9)=\text{binomCdf(20{,}0.26{,}2,9)} \approx 0{,}9622$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt, beträgt rund $0,9622$ .
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Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,26$ .
Berechne $μ \mu$ und $\sigma$ .
Berechne $P_{20; \; 0{,}26}(\mu-2 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+2 \cdot \sigma)$ .
Achte auf die richtigen Rundungen der Intervallgrenzen.

B4 Aufgabe 2

Erläutere, warum für 0≤k≤200 \leq k \leq 200≤k≤20 zur Berechnung von P(X=k)P(X=k)P(X=k) in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 202020 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind

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Bestimme für die 202020 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der 2σ2 \sigma2σ-Umgebung um den Erwartungswert von XXX liegt

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Erläutere, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind

Bestimme für die $20$ Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt