B4

B4 Aufgabe 1

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei $10000$ Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 %$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 %$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 %$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

Stellen Sie die Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Stelle die Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm dar
Übertage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm:
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Übertage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm.
Bei einer Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn zur Anreise genutzt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inlandsreise handelte. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inlandsreise handelte
Gesucht ist $P_{B} (I)$ :
$P_B(I)=\dfrac{P(B\cap I)}{P(B)}=\dfrac{0{,}26\cdot 0{,}16}{0{,}26\cdot 0{,}16+0{,}74\cdot 0{,}1}\approx0{,}3599$
Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inlandsreise handelte, beträgt rund $0,3599$ .
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Gesucht ist $P_{B} (I)$ .

2

B4 Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei $10000$ Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 %$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 %$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 %$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden $20$ der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den $20$ Urlaubsreisen an.

Erläutern Sie, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Erläutere, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den $20$ Urlaubsreisen an.
Da es nur die Unterscheidung „Inlandsreise“ und „Auslandsreise“ gibt und aufgrund des im Vergleich zur Grundgesamtheit kleinen Stichprobenumfangs die Wahrscheinlichkeit für eine Inlandsreise nahezu konstant ist, kann für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden.
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Es gibt nur die Unterscheidung „Inlandsreise“ und „Auslandsreise“.
Der Stichprobenumfang ist klein im Vergleich zur Grundgesamtheit.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind
Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,26$ .
Berechne $P_{20 ;\; 0{,}26}(X \geq 6)$ :
$P_{20 ;\; 0{,}26}(X \geq 6)=\text{binomCdf(20{,}0.26{,}6,20)} \approx 0{,}4235$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind, beträgt rund $0,4335$ .
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Berechne $P_{20 ;\; 0{,}26}(X \geq 6)$ .
Bestimmen Sie für die $20$ Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Bestimme für die $20$ Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt
Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,26$ .
Berechne $μ \mu$ und $\sigma$ .
$\mu=n\cdot p= 20\cdot 0{,}26=5{,}2$
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{ 20\cdot 0{,}26\cdot 0{,}74}\approx1{,}9616$
Dann gilt: $P_{20; \; 0{,}26}(5{,}2-2 \cdot \sigma \leq X \leq 5{,}2+2 \cdot \sigma)$
$5{,}2-2\cdot 1{,}9616=1{,}2768$ und $5{,}2+2\cdot 1{,}9616=9{,}1232$
Damit erhält man mit den entsprechenden Rundungen das Intervall $[2; 9]$ .
$\Rightarrow\;$ $P_{20 ;\; 0{,}26}(2 \leq X \leq 9)=\text{binomCdf(20{,}0.26{,}2,9)} \approx 0{,}9622$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt, beträgt rund $0,9622$ .
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Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,26$ .
Berechne $μ \mu$ und $\sigma$ .
Berechne $P_{20; \; 0{,}26}(\mu-2 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+2 \cdot \sigma)$ .
Achte auf die richtigen Rundungen der Intervallgrenzen.

3

B4 Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgaben 1 und 2.

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei $10000$ Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 %$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 %$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 %$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden $20$ der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den $20$ Urlaubsreisen an.

Bestimmen Sie, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreimal-Mindestens-Aufgaben
Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte
Die Anzahl der Fragebögen, auf denen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte, wird als binomialverteilt angenommen, mit unbekanntem $n$ und $p = 0,74$ .
Dann gilt:
$P(Y \geq 5) =1-P(Y \leq 4) \geq 0{,}99\;\Rightarrow\;0{,}01\geq P(Y \leq 4)$
Berechne nun für einige Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit $P_{n;0{,}74}(Y \leq 4)$ .
$n=9\;\Rightarrow\;P_{9;0{,}74}(Y \leq 4)\approx0{,}0571>0{,}01$
$n=10\;\Rightarrow\;P_{10;0{,}74}(Y \leq 4)\approx0{,}0239>0{,}01$
$n=11\;\Rightarrow\;P_{11;0{,}74}(Y \leq 4)\approx0{,}0095<0{,}01\;\checkmark$
Es müssen mindestens elf Fragebögen ausgewählt werden.
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4

B4 Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgaben 1, 2 und 3.

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei $10000$ Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 %$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 %$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 %$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

Das Team des Instituts für Tourismus hat den Eindruck, dass sich in der Region der Anteil der Inlandsreisen im Jahr 2022 im Vergleich zum Jahr 2019 erhöht hat.

Um dies zu untersuchen, erfasst das Team für $100$ Reisen aus dem Jahr 2022, ob es sich um eine Inlands- oder Auslandsreise gehandelt hat.

Bei $34$ oder mehr Inlandsreisen geht das Team davon aus, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat, obwohl der Anteil unverändert geblieben ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat, obwohl der Anteil unverändert geblieben ist
Gegeben sind $n = 100$ und $p = 0,26$ .
Berechne $P_{100;0{,}26}(Z \geq 34)=\text{binomCdf}(100{,}0.26{,}34{,}100) \approx 0{,}0465$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Team fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat, obwohl der Anteil unverändert geblieben ist, beträgt rund 0,0465.
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Berechne $P_{100;0{,}26}(Z \geq 34)$ .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf $30 %$ gestiegen ist.
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf $30 %$ gestiegen ist
Mit $n = 100$ und $p = 0,3$ folgt:
$P_{100;0{,}3}(Z \leq 33)=\text{binomCdf}(100{,}0.3{,}0,33) \approx 0{,}7793$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf $30 %$ gestiegen ist, beträgt rund $0,7793$ .
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Berechne $P_{100;0{,}3}(Z \leq 33)$ .

B4

B4 Aufgabe 1

Stelle die Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

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Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inlandsreise handelte

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B4 Aufgabe 2

Erläutere, warum für 0≤k≤200 \leq k \leq 200≤k≤20 zur Berechnung von P(X=k)P(X=k)P(X=k) in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 202020 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind

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Bestimme für die 202020 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der 2σ2 \sigma2σ-Umgebung um den Erwartungswert von XXX liegt

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B4 Aufgabe 3

Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 %99\; \%99% auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte

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B4 Aufgabe 4

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat, obwohl der Anteil unverändert geblieben ist

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf 30 %30\;\%30% gestiegen ist

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Erläutere, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P (X = k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den $20$ Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind

Bestimme für die $20$ Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt

Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf $30 %$ gestiegen ist