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B4

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  1. 1

    B4 Aufgabe 1

    Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei 1000010000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

    Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

    Dabei ergab sich folgendes Bild: 26  %26 \;\% der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in 16  %16\;\% der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in 10%10 \% der Fälle mit der Bahn.

    Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

    1. Stellen Sie die Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 P)

    2. Bei einer Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn zur Anreise genutzt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inlandsreise handelte. (2 P)

  2. 2

    B4 Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei 1000010000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

    Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

    Dabei ergab sich folgendes Bild: 26  %26 \;\% der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in 16  %16 \;\% der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in 10  %10 \;\% der Fälle mit der Bahn.

    Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

    Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden 2020 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

    Die Zufallsgröße XX gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den 2020 Urlaubsreisen an.

    1. Erläutern Sie, warum für 0k200 \leq k \leq 20 zur Berechnung von P(X=k)P(X=k) in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann. (2 P)

    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den 2020 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind. (2 P)

    3. Bestimmen Sie für die 2020 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der 2σ2 \sigma-Umgebung um den Erwartungswert von XX liegt. (4 P)

  3. 3

    B4 Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgaben 1 und 2.

    Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei 1000010000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

    Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

    Dabei ergab sich folgendes Bild: 26  %26 \;\% der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in 16  %16 \;\% der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in 10  %10 \;\% der Fälle mit der Bahn.

    Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

    Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden 2020 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

    Die Zufallsgröße XX gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den 2020 Urlaubsreisen an.

    1. Bestimmen Sie, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99  %99\; \% auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte. (3 P)

  4. 4

    B4 Aufgabe 4

    Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgaben 1, 2 und 3.

    Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei 1000010000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

    Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

    Dabei ergab sich folgendes Bild: 26  %26 \;\% der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in 16  %16 \;\% der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in 10  %10 \;\% der Fälle mit der Bahn.

    Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

    Das Team des Instituts für Tourismus hat den Eindruck, dass sich in der Region der Anteil der Inlandsreisen im Jahr 2022 im Vergleich zum Jahr 2019 erhöht hat.

    Um dies zu untersuchen, erfasst das Team für 100100 Reisen aus dem Jahr 2022, ob es sich um eine Inlands- oder Auslandsreise gehandelt hat.

    Bei 3434 oder mehr Inlandsreisen geht das Team davon aus, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat, obwohl der Anteil unverändert geblieben ist. (2 P)

    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf 30  %30\;\% gestiegen ist.

      (2 P)


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