B4 - lernen mit Serlo!

B4 Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgaben 1 und 2.

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei $10000$ Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region.

Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren.

Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 %$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 %$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 %$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden $20$ der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den $20$ Urlaubsreisen an.

Bestimmen Sie, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreimal-Mindestens-Aufgaben
Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte
Die Anzahl der Fragebögen, auf denen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte, wird als binomialverteilt angenommen, mit unbekanntem $n$ und $p = 0,74$ .
Dann gilt:
$P(Y \geq 5) =1-P(Y \leq 4) \geq 0{,}99\;\Rightarrow\;0{,}01\geq P(Y \leq 4)$
Berechne nun für einige Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit $P_{n;0{,}74}(Y \leq 4)$ .
$n=9\;\Rightarrow\;P_{9;0{,}74}(Y \leq 4)\approx0{,}0571>0{,}01$
$n=10\;\Rightarrow\;P_{10;0{,}74}(Y \leq 4)\approx0{,}0239>0{,}01$
$n=11\;\Rightarrow\;P_{11;0{,}74}(Y \leq 4)\approx0{,}0095<0{,}01\;\checkmark$
Es müssen mindestens elf Fragebögen ausgewählt werden.
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B4 Aufgabe 3

Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 %99\; \%99% auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte

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Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte