Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\text{ m}640\backslash \; \backslash m$ lang ist

Gegeben: Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $r(x)=\frac{253}{100}\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{11}(32-x)}-\frac{253}{100}r(x)=\backslash frac\{253\}\{100\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{11\}(32-x)\}-\backslash frac\{253\}\{100\}$ beschrieben.

Berechne die Nullstelle von $rr$:

$0=\frac{253}{100}\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{11}(32-x)}-\frac{253}{100}0=\; \backslash frac\{253\}\{100\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{11\}(32-x)\}-\backslash frac\{253\}\{100\}$

Für $x=32x=32$ ist ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{11}(32-32)}=e^0=1\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{11\}(32-32)\}=e^0=1$ und damit ist der Term $\frac{253}{100}\cdot 1-\frac{253}{100}\backslash frac\{253\}\{100\}\; \backslash cdot\; 1-\backslash frac\{253\}\{100\}$ gleich null.

Die $yy$-Achse verläuft entlang der Symmetrieachse der Brücke.

Daher ist die Brückenlänge gleich $2\cdot 32\cdot 10=6402\backslash cdot\; 32\; \backslash cdot\; 10=640$ (eine Längeneinheit entspricht $10\text{ m}10\backslash \; \backslash m$ in der Realität).

Die Fahrbahn der Brücke ist insgesamt $640\text{ m}640\backslash \; \backslash m$ lang.

Gib einen passenden Term $l(x)l(x)$ an

Wegen der Symmetrie muss $rr$ an der y-Achse gespiegelt werden:

$l(x)=r(-x)=\frac{253}{100}\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{11}(32+x)}-\frac{253}{100}l(x)=r(-x)=\backslash frac\{253\}\{100\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{11\}(32+x)\}-\backslash frac\{253\}\{100\}$

Gib das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt

Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}400\backslash \; \backslash m$.

Die Gesamtlänge der Brücke ist $640\text{ m}640\backslash \; \backslash m$. Der linke und der rechte Abschnitt der Brücke sind zusammen $(640-400)\text{ m}=240\text{ m}(640-400)\backslash \; \backslash m=240\backslash \; \backslash m$ lang.

Ein Abschnitt der Brücke hat demnach eine Länge von $120\text{ m}120\backslash \; \backslash m$ bzw. $12\text{ LE}12\backslash \; \backslash text\{LE\}$.

Der linke Abschnitt der Brücke reicht also von $-32-32$ bis $-32+12=-20-32+12=-20$.

Das Intervall, in dem der Term $l(x)l(x)$ das Abspannseil darstellt, ist $-32\le x\le -20-32\; \backslash leq\; x\; \backslash leq-20$.

Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche

Berechne $r(20)r(20)$:

$r(20)\approx \mathrm{5,00}r(20)\backslash approx\; 5\{,\}00$ (das sind wieder $\text{LE}\backslash text\{LE\}$)

Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}20\backslash \; \backslash m$ unterhalb der Fahrbahn.

Deshalb beträgt die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche ungefähr $5\cdot 10\mathrm{m}+20\mathrm{m}=70\mathrm{m}5\; \backslash cdot\; 10\; \backslash mathrm\{~m\}+20\; \backslash mathrm\{~m\}=70\; \backslash mathrm\{~m\}$.

Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $-\mathrm{0,7}-0\{,\}7$ und $\mathrm{0,7}0\{,\}7$ liegt

Berechne $r^{\mathrm{\prime }}(20)r\text{'}(20)$:

Die Steigung an der Stelle $2020$ beträgt: $r^{\mathrm{\prime }}(20)=-\frac{23}{100}\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{12}{11}}\approx -\mathrm{0,68}r^\{\backslash prime\}(20)=-\backslash frac\{23\}\{100\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{12\}\{11\}\}\backslash approx-0\{,\}68$.

Der berechnete Wert liegt zwischen $-\mathrm{0,7}-0\{,\}7$ und $\mathrm{0,7}0\{,\}7$.

Ermittele dessen Inhalt in der Realität

Die Fläche wird im Modell durch $x=20x=20$ (Position des Pfeilers) und die Nullstelle bei $x=32x=32$ (Ende des Abspannseils) begrenzt.

Berechne $A={\displaystyle {\int }_{20}^{32}r(x)\mathrm{d}x}A=\backslash displaystyle\backslash int\_\{20\}^\{32\}\; r(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}\; x$:

Es ist $A={\displaystyle {\int }_{20}^{32}r(x)\mathrm{d}x=\frac{253}{100}\cdot (11\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{12}{11}}-23)\approx \mathrm{24,66}\text{FE}}A=\backslash displaystyle\backslash int\_\{20\}^\{32\}\; r(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash frac\{253\}\{100\}\; \backslash cdot\backslash left(11\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{12\}\{11\}\}-23\backslash right)\; \backslash approx\; 24\{,\}66\backslash ;\backslash text\{FE\}$.

Eine Längeneinheit sind $10\text{ m}10\backslash \; \backslash m$ und eine Flächeneinheit sind $100{\text{m}}^{2}100\backslash ;\backslash text\{m\}^2$.

Der Flächeninhalt beträgt demnach etwa $\mathrm{24,66}\cdot 100=2466{\mathrm{m}}^{2}24\{,\}66\backslash cdot\; 100=2466\; \backslash mathrm\{~m\}^\{2\}$.