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B5

  1. 1

    B5 Aufgabe 1

    Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer HĂ€ngebrĂŒcke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400  m400\ \m . Die WasseroberflĂ€che liegt 20  m20\ \m unterhalb der Fahrbahn.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Die beiden Pfeiler gliedern die BrĂŒcke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

    Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine LĂ€ngeneinheit 10  m10\ \m in der RealitĂ€t. In der Seitenansicht der BrĂŒcke verlĂ€uft die xx-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die yy-Achse entlang der Symmetrieachse.

    Im rechten Abschnitt der BrĂŒcke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm r(x)=253100⋅e111(32−x)−253100r(x)=\frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}-\frac{253}{100} beschrieben.

    1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der BrĂŒcke insgesamt 640  m640\ \m lang ist. (3 P)

    2. Auch im linken Abschnitt der BrĂŒcke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden.

      Geben Sie einen passenden Term l(x)l(x) sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 P)

    3. Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler ĂŒber der WasseroberflĂ€che. (2 P)

    4. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen −0,7-0{,}7 und 0,70{,}7 liegt. (3 P)

    5. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein FlĂ€chenstĂŒck.

      Ermitteln Sie dessen Inhalt in der RealitÀt. (3 P)

  2. 2

    B5 Aufgabe 2

    Die folgende Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer HĂ€ngebrĂŒcke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400  m400\ \m. Die WasseroberflĂ€che liegt 20  m20\ \m unterhalb der Fahrbahn.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Die beiden Pfeiler gliedern die BrĂŒcke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

    Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine LĂ€ngeneinheit 10  m10\ \m in der RealitĂ€t. In der Seitenansicht der BrĂŒcke verlĂ€uft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

    Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der BrĂŒcke betrachtet. Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm s(x)=(18)6⋅(x4+2560x2)+125256s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256} beschrieben.

    1. BegrĂŒnden Sie, dass der Term von ss damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der BrĂŒcke achsensymmetrisch ist. (2 P)

    2. Zwei der Halteseile im mittleren BrĂŒckenabschnitt haben eine LĂ€nge von jeweils 64306164000 m[≈10,00 m]\dfrac{643061}{64000} \mathrm{~m}[\approx 10{,}00 \mathrm{~m}].

      Berechnen Sie die Stellen in der RealitÀt, an denen sich diese Halteseile befinden. (2 P)

    3. Zwei Punkte des Tragseils in der rechten HĂ€lfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von 40  m40\ \m und einen Höhenunterschied von 5  m5\ \m.

      Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. (2 P)


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