B5 - lernen mit Serlo!

B5 Aufgabe 2

Die folgende Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\ \m$ . Die Wasseroberfläche liegt $20\ \m$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\ \m$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$ beschrieben.

Begründen Sie, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist
Gegeben ist $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$ .
Die Funktion $s$ ist eine ganzrationale Funktion, der Funktionsterm enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. $s$ ist symmetrisch zur y-Achse
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Betrachte die Potenzen von $x$ .
Zwei der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt haben eine Länge von jeweils $\dfrac{643061}{64000} \mathrm{~m}[\approx 10{,}00 \mathrm{~m}]$ .
Berechnen Sie die Stellen in der Realität, an denen sich diese Halteseile befinden. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Berechne die Stellen in der Realität, an denen sich diese Halteseile befinden
Beachte die Längeneinheit.
Gegeben ist die Seillänge $=\dfrac{643061}{64000} \mathrm{~m}\;\Rightarrow\;$ Seillänge $=\dfrac{643061}{640000} \mathrm{~LE}$
Löse die Gleichung $s(x)=\dfrac{643061}{640000}$ .
Die Gleichung hat die beiden Lösungen $x=-7{,}2 \vee x=7{,}2$ ⁣ $(\mathrm{LE})$
Die Halteseile befinden sich in der Realität jeweils $72 \mathrm{~m}$ links bzw. rechts der Brückenmitte.
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Gegeben ist die Seillänge $=\dfrac{643061}{64000} \mathrm{~m}$ .
Beachte die Längeneinheit.
Löse die Gleichung $s (x) =$ Seillänge in $\mathrm{LE}$ .
Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40\ \m$ und einen Höhenunterschied von $5 m$ .
Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist
Gegeben: Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40\ \m=4 \mathrm{~LE}$ und einen Höhenunterschied von $5\ \m= 0{,}5\mathrm{~LE}$ .
Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0{,}5\mathrm{~LE}$ betragen.
Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $s (x) - s (x - 4) = 0,5$ .
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Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40\ \m=4 \mathrm{~LE}$ und einen Höhenunterschied von $5\ \m= 0{,}5\mathrm{~LE}$ .
Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0{,}5\mathrm{~LE}$ betragen.
Stelle die entsprechende Gleichung auf.

B5 Aufgabe 2

Begründe, dass der Term von sss damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist

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Berechne die Stellen in der Realität, an denen sich diese Halteseile befinden

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Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist

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Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist